En el avión espacial se puede definir de diferentes maneras (por un punto y un vector y el vector de dos puntos, tres puntos, etc.).Es en esta ecuación del plano puede tener diversos tipos.Además, bajo ciertas condiciones, el avión puede ser paralelas, perpendiculares, de intersección, etc.En esta y hablar en este artículo.Vamos a aprender a hacer la ecuación general del plano y no sólo.
normal ecuación
Supongamos que hay un espacio R3, que tiene un sistema de coordenadas rectangulares XYZ.Definimos los α vectoriales, que se dará a conocer desde el punto inicial A. A través del extremo del vector α dibujar el plano P, que es perpendicular a la misma.
Sea P en una arbitraria punto Q = (x, y, z).El radio vector del punto Q firmar la letra p.La longitud del vector α es igual a p = IαI y Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).
Es un vector unitario, que se dirige hacia el lado, así como vector α.α, β, γ y - es el ángulo formado entre el vector y Ʋ direcciones positivas de los ejes del espacio x, y, z, respectivamente.La proyección de un punto en el vector Ʋ QεP es una constante, que es igual a p (p, Ʋ) = p (r≥0).
La ecuación anterior tiene sentido, cuando p = 0.El único plano P en este caso se cruzará el punto D (α = 0), que es el origen, y la unidad de vector Ʋ, lanzado desde el punto O será perpendicular a P, a pesar de su dirección, lo que significa que el vector Ʋ determinahasta firmar.La ecuación anterior es nuestro plano II, expresada en forma vectorial.Pero en las coordenadas de su tipo en ser tan:
P es mayor o igual a 0. Hemos encontrado la ecuación del plano en el espacio de una manera normal.Ecuación general
Si la ecuación en las coordenadas multiplicar cualquier número que no es igual a cero, obtenemos la ecuación equivalente a esto que define el plano mismo.Tendrá una visión:
Aquí A, B, C - es el número al mismo tiempo diferente de cero.Esta ecuación se conoce como la ecuación plano de la forma general.
ecuación del plano.Particular ecuación
casos en forma general se puede modificar con las condiciones adicionales.Considere algunos de ellos.
asume que el coeficiente A es igual a 0. Esto significa que el plano es paralelo a un determinado eje Ox.En este caso, cambiar la forma de la ecuación: Vu + Cz + D = 0.
forma similar de la ecuación va a cambiar y en las siguientes condiciones:
- Primero, cuando B = 0, entonces la ecuación cambia a Ax + Cz + D = 0 que indicarían paralelo al eje y.
- segundo lugar, si C = 0, la ecuación se transforma en Ax + By + D = 0, habrá charla sobre paralelo al eje predeterminado Oz.
- En tercer lugar, cuando D = 0, la ecuación se vería como Ax + By + Cz = 0, lo que significaría que el avión cruza O (el origen).
- En cuarto lugar, si A = B = 0, entonces la ecuación cambia a Cz + D = 0, que resultará en paralelo a Oxy.
- En quinto lugar, si B = C = 0, la ecuación se convierte Ax + D = 0, lo que significa que el plano es paralelo al Oyz.
- En sexto lugar, si A = C = 0, la ecuación toma la forma Vu + D = 0, entonces no habrá paralelo al informe Oxz.Ecuaciones de tipo
en secciones de
en el caso donde el número de A, B, C, D son diferentes de cero, la forma de la ecuación (0) puede ser como sigue:
x / a + b / y + z / a= 1,
que a = -D / A, b = -D / B, c = D / C
Obtener una ecuación de avión en pedazos.Cabe señalar que este plano se cruzará el eje Ox en las coordenadas (a, 0,0), Dy - (0, b, 0) y Oz - (0,0, s).
En vista de la ecuación x / a + b / y + z / c = 1, es fácil visualizar la colocación del plano relativo a un sistema dado de coordenadas.
coordenadas del vector normal
vector normal n al plano P tiene coordenadas, que son los coeficientes de la ecuación general del plano, es decir, n (A, B, C).
el fin de determinar las coordenadas de la normal, n, es suficiente conocer la ecuación general de un plano dado.
Cuando se utiliza ecuaciones en segmentos, que tiene la forma x / a + b / y + z / c = 1, como cuando se utiliza la ecuación general se puede coordenadas de cualquier vector normal un plano dado escrito: (1 / a + 1 / b +1 / s).
pena señalar que el vector normal ayuda a resolver varios problemas.Los más comunes son los problemas, es una prueba de planos perpendiculares o paralelas, la tarea de encontrar los ángulos entre los planos o ángulos entre planos y líneas.
ecuación vista en planta de acuerdo con las coordenadas del punto y el vector normal
vector distinto de cero n, perpendicular a un plano dado, llamado normales (normal) para un plano dado.
asume que el espacio (un sistema de coordenadas rectangulares) Oxyz preguntó coordenadas: Punto
- Mₒ con coordenadas (hₒ, uₒ, zₒ);
- cero vector n = A * i + j + B C * * k.
necesario formular la ecuación del plano que pasa por el punto perpendicular a la Mₒ normales n.En el espacio
elegir cualquier punto arbitrario y la dejó M (x, y, z).Deje que el radio vector de cualquier punto M (x, y, z) es r = x * i + y * j + z * k, y el vector de radio del Mₒ punto (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j + zₒ * k.El punto M pertenece a un plano dado, si el vector es perpendicular al vector MₒM n.Escribimos la condición de ortogonalidad mediante el producto escalar:
[MₒM, n] = 0.
Desde MₒM = r-rₒ, ecuación vectorial del avión se verá así:
[r - rₒ, n] = 0.
Esta ecuación puede tener una forma diferente.Para este propósito, las propiedades del producto escalar, y transformado el lado izquierdo de la ecuación.[r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Si [rₒ, n] denota como s, obtenemos la siguiente ecuación: [r, n] - c = 0 o [R, n] = s, que expresa la consistencia de las proyecciones sobre el vector normal del radio-vectores de los puntos dados que pertenecen al plano.
ya se puede obtener el tipo de grabación de coordinar nuestro vector ecuación avión [r - rₒ, n] = 0. Como r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * ky n = A * i + j + B C * * k, tenemos:
resulta que se forma en nuestra ecuación del plano que pasa por el punto perpendicular a la normal n:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.
Tipo de ecuación avión de acuerdo con las coordenadas de dos puntos y un avión de vectores colineales
Definir dos puntos M '(x', y ', z') y M '(x ", y" z "), así como vector a(A ', A "y' '').
Ahora podemos equiparar un plano dado, que se llevará a cabo a través de los puntos existentes M 'y M ", así como cualquier punto M de coordenadas (x, y, z) en paralelo a un vector dado.
Este vectores M'M {x, x ', y, y'; zz '} y M "M = {x" -x', y 'y'; z "z '} debe ser coplanarvector a = (a ', a ", un' ''), y que los medios (M'M, M 'M, a) = 0.
Así que nuestra ecuación de un plano en el espacio se vería así:
avión tipo de ecuación se cruzan los tres puntos
Supongamos que tenemos tres puntos (x ', y', z '), (x', y"z"), (x '' '' '' Have, z '' '), que no pertenecen a la misma línea.Es necesario escribir la ecuación del plano que pasa por los tres puntos especificados.La teoría de la geometría sostiene que este tipo de avión no existe, es sólo uno y único.Desde este plano intersecta el punto (x ', y', z '), la forma de su ecuación es como sigue:
Aquí A, B, y C son diferentes de cero al mismo tiempo.También plano dado intersecta los dos puntos (x ', y', z ') y (x' '' '' 'Tienes, z' '').En relación con esto debe llevarse a cabo este tipo de condiciones:
Ahora podemos crear un sistema uniforme de las ecuaciones (lineales) con incógnitas u, v, w:
En nuestro caso, x, y o z aparece punto arbitrario que satisfaceLa ecuación (1).Teniendo en cuenta la ecuación (1) y un sistema de ecuaciones (2) y (3), un sistema de ecuaciones se muestra en la figura anterior, el vector satisface N (A, B, C), que es no trivial.Eso es porque el determinante del sistema es cero.
La ecuación (1), lo que tenemos, esta es la ecuación del plano.Después de 3 puntos que realmente pasa, y es fácil de comprobar.Para ello, descomponemos el determinante de los elementos situados en la primera fila.De las propiedades existentes del determinante implica que nuestro avión a la vez tres cruces puntos dados inicialmente (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x '' 'Han' '', z '' ').Así que decidimos poner ante nosotros.
ángulo diedro entre los planos en ángulo diedro
es una forma geométrica espacial formada por dos semiplanos que provienen de la misma línea.En otras palabras, esta parte del espacio, que se limita a la media-avión.
Supongamos que tenemos dos planos con las siguientes ecuaciones:
Sabemos que los vectores N = (A, B, C) y N $ ¹ $ = (A¹, H¹, s¹) de acuerdo con el conjunto perpendicular aviones.En este sentido, el ángulo φ entre los vectores N y N $ ¹ $ igual ángulo (diedro), que se encuentra entre estos planos.El producto escalar es igual a:
NN¹ = | N || N $ ¹ $ | cos φ,
precisamente porque
cos = NN¹ / | N || N $ ¹ $ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + V²s² +)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (s¹) ²)).
es suficiente para considerar que 0≤φ≤π.
realidad dos planos que se entrecruzan para formar dos ángulos diedros (): φ1 y φ2.La cantidad es igual a su π (φ1 + φ2 = π).En cuanto a sus cosenos, sus valores absolutos son iguales, pero son diferentes signos, es decir, cos φ1 = φ2 -cos.Si en la ecuación (0) se sustituye por A, B y C de -A, -B y -C respectivamente, la ecuación, se obtiene, determinará el mismo plano, solamente el ángulo φ en cos φ = ecuación NN1 / | N|| N1 | será reemplazado por π-φ.Ecuación
perpendicular al plano perpendicular a
llama plano, entre los que el ángulo es de 90 grados.Utilizando el material presentado anteriormente, podemos encontrar la ecuación de un plano perpendicular a la otra.Supongamos que tenemos dos planos: Ax + By + Cz + D = 0 y A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.Podemos decir que son perpendiculares si cos = 0.Esto significa que AA¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.
ecuación plano paralelo
paralelo llamado dos planos que no contienen puntos comunes.Condición
de planos paralelos (sus ecuaciones son las mismas que en el párrafo anterior) es que los vectores N y N $ ¹ $, que a ellos perpendicular, colineales.Esto significa que las siguientes condiciones de proporcionalidad:
A / A $ ¹ $ = V / H¹ = C / s¹.
Si se amplían las condiciones de proporcionalidad - A / A $ ¹ $ = V / H¹ = C / s¹ = DD¹,
esto indica que el plano de datos de la misma.Esto significa que la ecuación Ax + By + Cz + D = 0 y + A¹h V¹u S¹z + + D $ ¹ $ = 0 describir un solo plano.
distancia al plano desde el punto
Supongamos que tenemos un plano P, que viene dada por la Ecuación (0).Es necesario encontrar a su distancia desde el punto de coordenadas (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.Para ello, es necesario llevar la ecuación del plano P en la forma normal:
(ρ, v) = p (r≥0).
En este caso, ρ (x, y, z) es el vector de radio de nuestro punto Q, situado en n, P - es la distancia P perpendicular que se ha descargado desde el punto cero, v - es el vector unitario, que se encuentra en la dirección de una.
diferencia-ρ ρº vector radio de un punto Q = (x, y, z), propiedad de P y el vector de radio de un punto de Q0 = dada (hₒ, uₒ, zₒ) es un vector tal, el valor absolutocuyas proyecciones por v es igual a la distancia d, que es necesario para encontrar desde Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) a P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, pero
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = p (ρ0, v).
Resulta,
d = | (ρ0, v) p |.
ve ahora para calcular la distancia d de Q0 al plano P, debe utilizar la forma normal del plano ecuación, el giro a la izquierda del río, y el último lugar de x, y, sustituto z (hₒ, uₒ, zₒ).
Por lo tanto, encontrar el valor absoluto de la expresión resultante que se busca d.
Usando la configuración de idioma, obtenemos lo obvio:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).
Si un punto Q0 dado está en el otro lado del plano P como el origen, entre el vector ρ-ρ0 y v es un ángulo obtuso, por lo tanto:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) -p & gt; 0.
En el caso cuando el Q0 punto junto con el origen situado en el mismo lado de la U, el ángulo generado es aguda, que es:
d = (ρ-ρ0, v) = p - (ρ0, v) y gt;0.
El resultado es que en el primer caso (ρ0, v) y gt; p, el segundo (ρ0, v) & lt; p.
plano tangente y su ecuación
Como para el plano de la superficie en el punto de contacto Mº - un plano que contiene todos los posibles tangente a la curva trazada a través de ese punto en la superficie.
En este tipo de ecuación de la superficie F (x, y, z) = 0 la ecuación del plano tangente en el Mº punto tangente (Hº, Uº, zº) se vería así:
Fx (Hº, Uº, zº) (x Hº)+ Fx (Hº, Uº, zº) (Uº y) + Fx (Hº, Uº, zº) (z-zº) = 0.
Si especifica explícitamente la superficie z = f (x, y), el plano tangente es descrita por la ecuación:
z-zº = f (Hº, Uº) (Hº x) + f (Hº, Uº) (y- Uº).
intersección de dos planos
en el espacio tridimensional es un sistema de coordenadas (rectangular) Oxyz, dados dos aviones P 'y P ", que se solapan y no son lo mismo.Desde cualquier plano, que se encuentra en un sistema de coordenadas rectangulares se define por la ecuación general, suponemos que n 'yn "es dado por las ecuaciones A'x + + V'u S'z + D' = 0 y A" x + B "y +Con "D + z" = 0.En este caso tenemos n normal "(A ', B', C ') del plano P' y la normal n '(A', B ', C') del plano P".Como nuestro avión no son paralelos y no coinciden, estos vectores no están alineados.Utilizando el lenguaje de las matemáticas, tenemos esta condición se puede escribir como: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * En ", λ * C"), λεR.Deje que la línea recta que se encuentra en la intersección P 'y P ", se denota por la letra a, en este caso a = n' ∩ P".
a - esta es una directa, que consiste en un conjunto de puntos (en general) aviones P 'y P ".Esto significa que las coordenadas de cualquier punto perteneciente a la línea y deben satisfacer simultáneamente la ecuación A'x + + V'u S'z + D '= 0 y A "x + B" y + C "z + D" = 0.A continuación, las coordenadas del punto serán una solución particular de las siguientes ecuaciones:
El resultado es que la decisión (general) del sistema de ecuaciones será determinar las coordenadas de cada punto de la línea, que será el punto de intersección P 'y P ", y para determinar la directa yen un sistema de coordenadas Oxyz (rectangular) espacio.
