Ruumis tasapinna saab määratleda erinevalt (ühe punkti ning vektori ja vektor kahte aspekti, kolme punkti jne).On selles valemis tasapinna võib olla mitmesuguseid.Ka teatud tingimustel lennuk saab paralleelselt, risti, lõikuvad jmsSellel ja rääkida selles artiklis.Õpime tegema üldise võrrandi lennuk ja mitte ainult.
Normal võrrand
Oletame, et on ruumi R3, mis on ristkoordinaatide süsteem XYZ.Me määratleda vektori α, mis kestab vabastatakse alguspunkti A. Läbi lõppu vektori α juhtida lennuk P, mis on sellega risti.
Olgu P suvalise punkti Q = (x, y, z).Raadius vektor punkti Q kirjutama kirja p.Pikkus vektori α võrdub p = IαI ja Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).
On ühikvektori, mis on suunatud küljele, samuti vektori α.α, β ja γ - nurk, mis moodustub vahel vektori Ʋ ja positiivse suunad teljed space x, y, z, vastavalt.Projektsioon punkt vektori Ʋ QεP on pidev, mis on võrdne p (p, Ʋ) = p (r≥0).
Eespool esitatud võrrandi mõtet, kui p = 0.Ainuke lennuk P sel juhul lõikuvad punktis D (α = 0), mis on pärit, ja ühikvektor Ʋ, vabastatakse punkti O on risti P vaatamata suunas, mis tähendab, et vektor Ʋ kindlaksüles kirjutama.Eelmine võrrand on meie lennuk II, väljendatud vektor kujul.Aga koordinaadid omalaadne nii:
P on suurem kui või võrdne 0. Oleme leidnud võrrand lennuk ruumis tavapärasel.
Üldvõrrand
Kui võrrandi koordinaadid korrutada suvalise arvu, mis ei ole võrdne nulliga, saame võrrandi võrdub see, mis määratleb väga lennukiga.See on vaade:
Siin A, B, C - on arv samal ajal nullist erinev.Võrrand nimetatakse tasapinna võrrand üldvorm.
võrrandi lennuk.Erilist juhtudel
võrrand üldiselt vormi võib muuta lisatingimusi.Mõtle mõned neist.
eeldada, et koefitsient on võrdne 0. See tähendab, et lennuk on paralleelne antud teljega Ox.Sel juhul muuta kujul võrrandi: Vu + Cz + D = 0.
sarnasel kujul võrrandi muutub ja järgmistel tingimustel:
- Esiteks, kui B = 0, siis võrrandi muudatusi Ax + Cz + D = 0, mis viitaks paralleelne y-telg.
- Teiseks, kui C = 0, võrrand on ümber Ax + By + D = 0, siis on juttu paralleelselt etteantud telje Oz.
- Kolmandaks, kui D = 0, võrrand näeks Ax + By + Cz = 0, mis tähendab, et lõikab O (päritolu).
- Neljandaks, kui A = B = 0, siis võrrandi muudatusi Cz + D = 0, mis osutub paralleelne Oxy.
- Viiendaks, kui B = C = 0, siis Võrrand Ax + D = 0, mis tähendab, et lennuk on paralleelne Oyz.
- kuuenda, kui A = C = 0, võrrandi vormis Vu + D = 0, siis on paralleelselt aruande Oxz.
tüübist võrrandid osad
Juhul kui arv A, B, C, D on nullist erinev, kujul võrrandiga (0) võivad olla järgmised:
x / a + y / b + z / a= 1,
kusjuures a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.
siia tulemusena võrrand lennuk tükkideks.Tuleb märkida, et see tasand lõikub teljega Ox at koordinaatidega (a, 0,0), Dy - (0, b, 0) ning Oz - (0,0, s).
Arvestades võrrand x / a + y / b + z / c = 1, siis on kerge ette kujutada paigutamine lennuki suhtes antud koordinaatide süsteemi.
koordinaadid normaalse vektori
normaalse vektori n tasapinnaga P koordinaadid on, mis on koefitsientide Üldvõrrand tasapinnaga, st n (A, B, C).
Et määrata koordinaadid tavalise n, on piisavalt teada Üldvõrrand antud lennukiga.
Kui võrrandite segmentides, mis on kujul x / a + y / b + z / c = 1, nagu kasutades Üldvõrrand võib kirjutada koordinaadid iga normaalne vektor antud lennuk: (1 / a + 1 / b +1 / s).
väärib märkimist, et tavaline vektor aitab lahendada mitmesuguseid probleeme.Kõige levinum on probleeme, on tõend risti või paralleelsed, ülesande leida vahelised nurgad lennukid ja nurkade vahel lennukid ja read.
vaade lennuk võrrandi järgi koordinaadid punkti ja normaalne vektor
nullist erinev vektor n risti antud lennuk, nimetatakse normaalne (normaalne) antud lennukiga.
eeldada, et koordineerida kosmose (a ristkoordinaatide süsteem) Oxyz küsis:
- Mₒ punkti koordinaatidega (hₒ, uₒ, zₒ);
- nullvektor n = A * i + j + B C * * k.
vaja teha võrrand lennuk, mis läbib punkti risti normaalne Mₒ n.Ruumis
valida suvalise punkti ja lase tal M (x y, z).Lase raadiuses vektor mis tahes punkti M (x, y, z) on r = x * i + y * j + z * k ja raadius vektor punkti Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j + zₒ * k.Asi M kuulub antud lennuk, kui vektor on risti vektoriga MₒM n.Me kirjutada orthogonality seisukorras abil skalaarkorrutise:
[MₒM, n] = 0.
Kuna MₒM = r-rₒ, vektor võrrandi lennuk näeb välja selline:
[r - rₒ, n] = 0.
Võrrandi võib olla erinev kuju.Selleks omadusi skalaarkorrutis ja transformeeritud vasakul pool võrrandit.[r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Kui [rₒ, n] tähistatakse s, saame järgmise võrrandi: [r, n] - c = 0 või [r, n] = s, mis väljendab järjepidevust prognoosid tavaline vektor raadiuses-vektorid antud punktid, mis kuuluvad lennukiga.
Nüüd saad mingi salvestus koordineerida meie lennuk vektor võrrand [r - rₒ, n] = 0. Kuna r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * kja n = A * i + j + B C * * k, meil:
selgub, moodustub meie võrrand, mis läbib punkti risti normaalne n:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.
liik tasapinna võrrandi järgi koordinaadid kahte aspekti ja vektori sirgel tasapinnal
Defineerige kahte aspekti M '(x', y ', z') ja M '(x ", y", z "), samuti vektor a(A 'A "ja ‴).
Nüüd saame samastada teatud lennuk, mis toimub läbi olemasolevate punktid M ja M ", samuti mis tahes punkti M koordinaatidega (x, y, z) paralleelselt antud vektor.
See M'M vektorid {x, x ', y, y'; zz '} ja M "M = {x" -x', y 'y'; z "-z '} peaks olema coplanarvektor a = (a 'tähendab ", et ‴), ning et vahendid (M'M, M' M, a) = 0.
Nii et meie võrrand lennuk ruumis näeks välja selline:
tüübile võrrand lennuk lõikuvad kolm punkti
Oletame, et meil kolm punkti (x ', y', z), (x ', y"z"), (x ‴ Have ‴, z ‴), mis ei kuulu samal joonel.On vaja kirjutada võrrand läbib kindlaksmääratud kolme aspekti.Teooria geomeetria väidab, et selline lennuk ei ole, see on lihtsalt üks ja ainus.Kuna see lõikab punkti (x ', y', z '), kujul võrrand on järgmine:
Siin A, B ja C on nullist erinev samaaegselt.Samuti antakse lõikab kaks punkti (x ', y', z) ja (x ‴ Have ‴, z ‴).Seoses sellega tuleks läbi viia selline tingimused:
Nüüd saame luua ühtse süsteemi võrrandid (lineaarne) ja tundmatud u, v, w:
Meie puhul x, y või z tundub meelevaldne punkt, mis vastabVõrrand (1).Arvestades võrrandi (1) ja võrrandite süsteemi (2) ja (3), võrrandite süsteemi joonisel näidatud eespool, vektor rahuldab N (A, B, C), mis on nontrivial.Ongi, sest määrav süsteem on null.
Equation (1), mis meil on see võrrand lennuk.Pärast 3 punkti ta tõesti läheb, ja seda on lihtne kontrollida.Selleks me lagunevad määraja, mis asuvad esimeses reas.Of olemasolevate omaduste määrajaks see tähendab, et meie plane samaaegselt kolme ristid algselt antud aspekti (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ have ‴, z ‴).Nii et me otsustasime panna enne meid.
dihedral vaheline nurk lennukid
dihedral nurk on ruumilise geomeetrilise kujundi moodustavad kaks pool-lennukid, mis on pärit samast line.Teisisõnu, seda ruumi osa, mis on piiratud selle poolestusaeg tasapinda.
Oletame, et meil kahel järgmiste valemite abil:
Me teame, et vektorid N = (A, B, C) ja N¹ = (¹, H¹, S¹) vastavalt seatud risti asetseval tasapinnal.Seoses sellega nurga φ vahel vektoreid N ja N¹ võrdse nurga (dihedral), mis asub nende vahel tasapinnal.Skalaarkorrutise esitatakse:
NN¹ = | N || N¹ | cos φ,
just
cos = NN¹ / | N || N¹ | = (+ ï ¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (å ² + V²s² +)) * (√ (¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).
on piisavalt arvestada, et 0≤φ≤π.
tegelikult kaks lennukid, mis lõikuvad moodustavad kaks nurka (dihedral): φ1 ja φ2.Summa on võrdne nende π (φ1 + φ2 = π).Nagu nende koosiinuste, nende absoluutväärtusi on võrdsed, kuid need on erinevad nähud, mis on üle, cos φ1 = cos φ2.Kui võrrandis (0) asendatakse A, B ja C -A, -B ja -C vastavalt võrrandi, saame, mis määravad samal tasapinnal, ainult nurk φ võrrandis cos φ = NN1 / | N|| N1 | asendatakse π-φ.
võrrand risti risti
nimega lennuk, mille vahel on nurk 90 kraadi.Kasutades esitatud materjali üle, leiame võrrandit risti teisele.Oletame, et meil kahel: Ax + By + Cz + D = 0 ja A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.Me ei saa öelda, et nad on risti kui cos = 0.See tähendab, et ï ¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.
võrrand paralleelpindade
Parallel nimetatakse kahe tasapinna, mis ei sisalda ühist punkti.
seisukorda paralleeltasandite (nende võrrandid on samad nagu eelmises punktis) on, et vektorid N ja N¹, millest need risti, sirgel.See tähendab, et järgmised tingimused proportsionaalsuse:
A / ¹ = V / H¹ = C / S¹.
Kui tingimused proportsionaalsuse laienevad - A / ¹ = V / H¹ = C / S¹ = DD¹,
näitab see, et andmed lennuk sama.See tähendab, et võrrandi ax + by + Cz + D = 0 ja + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 kirjeldada ühele tasapinnale.
kaugus lennukiga punkti
Oletame, et meil lennuk P, mis on antud võrrand (0).On vaja leida oma kauguses koordinaatidega (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.Selleks, teil on vaja tuua võrrand lennuk P tavalisel kujul:
(ρ, v) = p (r≥0).
Sel juhul ρ (x, y, z) on raadius vektori meie punkt Q, mis asub n, P - on ristkaugus P, mis on väljubtatakse nullpunkt, v - on ühikvektori, mis asub suunas.
erinevus ρ-ρº raadiuses vektor punkt Q = (x, y, z), mis kuulub P ja raadiusega vektor antud punkti Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) on selline vektor, absoluutväärtuskelle prognoosid v on võrdne kaugus d, mis on vajalik leida alates Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, kuid
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = p (ρ0, v).
Selgub,
d = | (ρ0, v) p |.
nüüd näinud, et arvutada kaugus d on Q0 tasapinnaga P, peate kasutama tavapärane vorm võrrandi lennuk, nihe vasakule jõe ja viimane koht x, y, z asendaja (hₒ, uₒ, zₒ).
Seega leiame absoluutväärtus tulemuseks väljend, mis on püüdnud d.
kasutamine keele seaded, saame selge:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (å ² + V² + s²).
Kui antud punktis Q0 paikneb teisel pool tasapinda P nagu päritolu, vahel vektori ρ-ρ0 ja v on nürinurga, seega:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) -p & gt; 0.
puhul, kui punkti Q0 koos päritolu asub samal pool U on loodud nurk on terav, et on:
d = (ρ-ρ0, v) = p - (ρ0, v) & gt;0.
Tulemuseks on see, et esimesel juhul (ρ0, v) & gt; p, teine (ρ0, v) & lt; p.
puutujatasand ja selle võrrand
Nagu lennuk pinna kontaktisikuks Mº - tasapind, mis vähegi võimalik puutuja kõveraga läbi tõmmatud, et punkti pinnal.
Seda tüüpi võrrandi pinda F (x, y, z) = 0 puutuja võrrandi tasandi suhtes puutepunkt Mº (hº, uº, zº) näeks välja selline:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.
Kui selgesõnaliselt määratletud pinda z = f (x, y), puutujatasandist kirjeldab võrrand:
z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y- uº).
ristmikul kahel
kolmemõõtmelises ruumis on koordinaatide süsteem (ristkülikukujuline) Oxyz, sest kahel P "ja P", mis kattuvad ja ei ole sama.Kuna kõik tasapinna, mis on ristkülikukujulise koordinaatide süsteemi on defineeritud Üldvõrrand eeldame, et n 'ja n "on antud võrrandid A'x + + V'u S'z + D' = 0 ja" x + B "y +Mis "D + z" = 0.Sel juhul on meil normaalne n '(A', B ', C') lennuk P "ja tavalise n '(A', B ', C') lennuk P".Kuna meie plane ei ole paralleelsed ja ei ühti, pole need vektorid sirgel.Kasutades keel, matemaatika, meil on see tingimus võib kirjutada: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * In ", λ * C"), λεR.Olgu sirge, mis asub ristumiskohas P "ja P", siis tähistatakse tähega a, sel juhul a = n '∩ P ".
a - see on otsene, mis koosneb punktide (üldine) lennukid P "ja P".See tähendab, et koordinaadid tahes punkti, mis kuulub rida ja peab samaaegselt rahuldavad võrrandit A'x + + V'u S'z + D = 0 ja "x + B" y + C "z + D" = 0.Siis koordinaadid punkti pannakse erilist lahendus järgmise võrrandi:
Tulemuseks on, et otsus (General) süsteemi võrrandid määravad koordinaadid iga punkti joone, mis on ristumiskohta P "ja P", ja teha kindlaks otsese jakoordinaatide süsteemi Oxyz (ristkülikukujuline) ruumi.
