étudié les mathématiques avancées devraient être connus que la somme d'une série de puissance dans l'intervalle de convergence d'un certain nombre d'entre nous, est un nombre continu et illimité de fois fonction différenciée.La question se pose: est-il possible de faire valoir que, compte tenu d'un arbitraire fonction f (x) - est la somme d'une série de puissance?Autrement dit, dans quelles conditions le f f-Ia (x) peut être représentée par une série de puissance?L'importance de cette question est qu'il est possible de remplacer environ Q-uw f (x) est la somme des premiers termes d'une série de puissance, qui est polynomiale.Une telle fonction de remplacement est assez simple expression - polynomiale -. Est pratique et dans la résolution de certains problèmes dans l'analyse mathématique, à savoir dans la résolution des intégrales dans le calcul des équations différentielles, et ainsi de suite D.
prouvé que pour certains f-ii f (x)qui peut calculer les dérivés de la (n + 1) ième ordre, y compris la dernière, dans les environs de (α - R; X0 + R) d'un point x = α est une formule juste:
Cette formule est nommé d'après le célèbre scientifique Brooke Taylor.La série, qui est dérivé de la précédente, a appelé une série de Maclaurin: règle
qui permet de produire une expansion de série de Maclaurin:
- déterminer les dérivées de la première, deuxième, troisième ... commande.
- calculé, qui sont dérivés de x = 0.Série
- Enregistrez Maclaurin pour cette fonction, et ensuite pour déterminer l'intervalle de convergence.
- déterminer l'intervalle (R; R), où le reste de formule Maclaurin
Rn (x) - & gt;0 pour n - & gt;l'infini.Si elle existe, il la fonction f (x) doit être égal à la somme de la série de Maclaurin.
Considérons maintenant la série de Maclaurin pour les fonctions individuelles.
1. Ainsi, le premier est f (x) = ex.Bien entendu, par leurs caractéristiques telles f-a Ia dérivés d'une variété de commandes, et f (k) (x) = ex, où k est égal à l'ensemble des nombres naturels.En substituant x = 0.Nous obtenons f (k) (0) = e0 = 1, k = 1,2 ... Sur la base de ce qui précède, un certain nombre de départ est le suivant: 2.
série de Maclaurin pour la fonction f (x) = sin x.Préciser immédiatement que f-Ia pour toutes les inconnues auront dérivés que f '(x) = cos x = sin (x + n / 2), f' '(x) = sin x = sin (x2 * + n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), où k est égal à un entier positif.Cela est, en effectuant des calculs simples, nous pouvons conclure que la série pour f (x) = sin x est de ce type:
3. Considérons maintenant la Faculté de f (x) = x cos théologique.Il est pour l'ensemble de l'inconnu a dérivées d'ordre arbitraire, et | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) | & lt; = 1, k = 1,2 ... encore une fois, la productioncertains calculs, nous constatons que la série pour f (x) = cos x ressemblerait à ceci:
Donc, nous avons listé les caractéristiques les plus importantes qui peuvent être étendus dans une série de Maclaurin, mais ils complètent la série de Taylor pour certaines fonctions.Maintenant, nous allons les énumérer ainsi.Il convient également de noter que Taylor et Maclaurin série sont une partie importante de la série d'ateliers dans des solutions de mathématiques supérieures.Ainsi, la série de Taylor.
1. Le premier est la série de f-ii f (x) = ln (1 + x).Comme dans les exemples précédents, pour cela nous avons f (x) = ln (1 + x) peut être plié dans une rangée, en utilisant la forme générale de la série de Maclaurin.Cependant, cette fonction peut être obtenue Maclaurin beaucoup plus facile.L'intégration d'une série géométrique, nous obtenons la série pour f (x) = ln (1 + i) de l'échantillon:
2. Et la seconde, qui sera finale dans cet article, est la série pour f (x) = arctg de.Pour x appartenant à l'intervalle [-1, 1] est l'expansion de la foire:
Voilà tout.Dans cet article, nous étions considérés comme le Maclaurin et Taylor série la plus utilisée dans les mathématiques supérieures, en particulier dans les collèges techniques et économiques.
