Dans le plan de l'espace peut être défini de différentes façons (par un point et un vecteur et le vecteur de deux points, trois points, etc.).Il est dans cette équation du plan peut avoir diverses natures.En outre, sous certaines conditions, le plan peut être parallèle, perpendiculaire, intersection, etc.Sur ce point et parler dans cet article.Nous allons apprendre à faire l'équation globale du plan, et pas seulement.
normal équation
Supposons qu'il y ait un espace R3, qui dispose d'un système de coordonnées rectangulaires XYZ.Nous définissons les α vectoriels, qui seront publiées à partir du point initial A. Grâce à l'extrémité du vecteur α dessiner le plan P, qui est perpendiculaire.
Soit P sur un point arbitraire Q = (x, y, z).Le rayon vecteur du point Q signer la lettre p.La longueur du vecteur α est égale à p = IαI et Ʋ = (cos, cosβ, cosγ).
Il est un vecteur unitaire, qui est dirigé vers le côté, ainsi que vecteur α.α, β, γ et - est l'angle formé entre le Ʋ de vecteur et directions positives des axes de l'espace x, y, z, respectivement.La projection d'un point sur le vecteur Ʋ QεP est une constante, qui est égal à p (p, Ʋ) = p (R≥0).
L'équation ci-dessus est logique, lorsque p = 0.Le seul plan P dans ce cas croisera point D (α = 0), qui est à l'origine, et le vecteur de l'unité Ʋ, sorti du point O sera perpendiculaire à P, en dépit de sa direction, ce qui signifie que le Ʋ vecteur déterminépour signer.L'équation précédente est notre plan II, exprimé sous forme de vecteur.Mais dans les coordonnées de son genre à être si:
P est supérieur ou égal à 0. Nous avons trouvé l'équation du plan dans l'espace d'une manière normale.Équation générale
Si l'équation en coordonnées multiplier un nombre qui ne soit pas égale à zéro, on obtient l'équation équivalente à ce qui définit le plan même.Il aura une vue:
Ici A, B, C - est le nombre en même temps différent de zéro.Cette équation est appelée l'équation de la forme générale plane.Équation
de l'avion.Notamment les cas
équationen forme générale peut être modifié avec des conditions supplémentaires.Examinons quelques-uns d'entre eux.
supposons que le coefficient A est égal à 0. Cela signifie que le plan est parallèle à un axe donné Ox.Dans ce cas, changer la forme de l'équation: Vu + Cz + D = 0.
forme similaire de l'équation va changer et dans les conditions suivantes:
- abord, lorsque B = 0, l'équation des changements à Ax + Cz + D = 0 qui indiquerait parallèle à l'axe des ordonnées.
- Deuxièmement, si C = 0, l'équation se transforme en Ax + By + D = 0, il n'y aura parlé parallèle à l'axe prédéterminé Oz.
- Troisièmement, lorsque D = 0, l'équation devrait ressembler à Ax + By + Cz = 0, ce qui signifierait que le plan coupe O (l'origine).
- Quatrièmement, si A = B = 0, l'équation des changements à Cz + D = 0, qui se révélera parallèle à Oxy.
- Cinquièmement, si B = C = 0, l'équation devient Ax + D = 0, ce qui signifie que le plan est parallèle à Oyz.
- Sixièmement, si A = C = 0, l'équation prend la forme Vu + D = 0, alors il y aura parallèlement au rapport Oxz.
équations de type dans les sections de
Dans le cas où le nombre de A, B, C, D sont différents de zéro, la forme de l'équation (0) peut être comme suit:
x / a + b / y + z / a= 1, dans lequel une
= -D / A, b = D / B, c = D / C
Obtenez une équation de résultat de l'avion en morceaux.Il est à noter que ce plan coupera l'axe OX au point de coordonnées (a, 0,0), Dy - (0, b, 0) et Oz - (0,0, s).
Compte tenu de l'équation x / a + Y / b + z / c = 1, il est facile de visualiser le positionnement de l'avion par rapport à un système de coordonnées donné.Coordonnées
vecteur de la normale
vecteur normal n au plan P a pour coordonnées, qui sont les coefficients de l'équation générale de l'avion, soit n (A, B, C).
Afin de déterminer les coordonnées de la normale n, est assez pour savoir l'équation générale d'un plan donné.
Lors de l'utilisation des équations dans les segments, ce qui est de la forme x / a + Y / b + z / c = 1, comme pour l'utilisation de l'équation générale peut être coordonnées de tout vecteur normal d'un plan donné écrit: (1 / a + 1 / b +1 / s).
noter que le vecteur normal aide à résoudre divers problèmes.Les plus courants sont les problèmes, est une preuve de plans perpendiculaires ou parallèles, la tâche de trouver les angles entre les plans ou les angles entre les plans et les lignes.
équation vue en plan selon les coordonnées du point et le vecteur normal
vecteur non nul n, perpendiculaire à un plan donné, dit normal (normal) pour un plan donné.
supposer que l'espace (un système de coordonnées rectangulaires) Oxyz demandé coordonnées: Point
- Mₒ de coordonnées (hₒ, uₒ, zₒ);
- vecteur nul n = A * i + j + B C * k *.
nécessaire de faire l'équation du plan qui passe par le point perpendiculaire à la normale Mₒ n.Dans l'espace
choisir un point quelconque et lui laisser M (x, y, z).Laissez le rayon vecteur d'un point M (x, y, z) est r = x * i + y * j + z * k, et le rayon vecteur du point Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j * k + zₒ.Le point M appartient à un plan donné, si le vecteur est perpendiculaire au vecteur MₒM n.Nous écrivons la condition d'orthogonalité au moyen du produit scalaire:
[MₒM, n] = 0.
Depuis MₒM = r-rₒ, l'équation de vecteur du plan ressemblera à ceci:
[r - rₒ, n] = 0.
Cette équation peut avoir une forme différente.A cet effet, les propriétés du produit scalaire, et transformé dans la partie gauche de l'équation.[r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Si [rₒ, n] notée s, on obtient l'équation suivante: [r, n] - c = 0 ou [R, n] = s, qui exprime la constance des saillies sur le vecteur normal du rayon vecteurs des points donnés qui appartiennent à l'avion.
Maintenant vous pouvez obtenir le type d'enregistrement coordonner notre avion vecteur équation [r - rₒ, n] = 0. Puisque r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * ket n = A * i + j + B C * * k, nous avons:
se révèle, est formé dans notre équation du plan passant par le point perpendiculaire à la normale n:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.
Forme d'équation de plan selon les coordonnées de deux points et un avion vecteur colinéaire
définir deux points M '(x', y ', z') et M "(x", y ", z"), ainsi que des illustrations et un(A ', A "et' '').
Maintenant, nous pouvons assimiler un plan donné, qui aura lieu par les points existants M 'et M ", ainsi que de tout point M de coordonnées (x, y, z) parallèle à un vecteur donné.
Cette M'M vecteurs {X, X ', Y, Y'; zz '} et M "M = {x" -x', y 'y'; z "z '} devrait être coplanairesvecteur a = (a ', a ", a' ''), et que des moyens (M'M, M 'M, a) = 0.
Donc notre équation d'un plan dans l'espace devrait ressembler à ceci:
équation de type plan coupant les trois points
Supposons que nous ayons trois points (x ', y', z '), (x', y", z"), (x '' '' '' Have, z '' '), qui ne fait pas partie de la même ligne.Il est nécessaire d'écrire l'équation du plan passant par les trois points spécifiés.La théorie de la géométrie fait valoir qu'il existe ce genre de plan, il est juste un seul et unique.Depuis ce plan coupe le point (x ', y', z '), la forme de son équation est la suivante:
Ici A, B, et C sont différentes de zéro dans le même temps.Aussi plan donné croise les deux points (x ', y', z ') et (x' '' '' 'Ont, z' '').A cet égard, doit être effectué ce genre de conditions:
Maintenant, nous pouvons créer un système uniforme d'équations (linéaires) avec inconnues u, v, w:
Dans notre cas, x, y ou z apparaît point arbitraire qui satisfaitL'équation (1).Compte tenu de l'équation (1) et un système d'équations (2) et (3), un système d'équations indiqué sur la figure ci-dessus, le vecteur satisfait à N (A, B, C) qui est non triviale.En effet, le déterminant du système est nulle.
équation (1), que nous avons, cela est l'équation du plan.Après 3 points elle va vraiment, et il est facile à vérifier.Pour ce faire, nous décomposons le déterminant des éléments situés dans la première rangée.Parmi les propriétés existantes du déterminant cela implique que notre avion dans le même temps trois croix des points initialement donnés (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x '' 'Have' '', z '' ').Nous avons donc décidé de mettre devant nous.Dièdre
entre les plans
angle dièdre est une forme géométrique spatiale formée par deux demi-plans qui viennent de la même ligne.En d'autres termes, cette partie de l'espace, qui est limitée à la demi-plan.
Supposons que nous ayons deux plans avec les équations suivantes:
Nous savons que les vecteurs N = (A, B, C) et N¹ = (A¹, H¹, S¹) selon l'ensemble des plans perpendiculaires.À cet égard, l'angle φ entre les vecteurs N et N¹ angle égal (dièdre), qui est situé entre ces plans.Le produit scalaire est donné par:
NN¹ = | N || N¹ | cos φ,
précisément parce
Cos ø = NN¹ / | N || N¹ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + V²s² +)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).
suffit de considérer que 0≤φ≤π.
fait deux avions qui se croisent pour former deux angles (dièdre): φ1 et φ2.Le montant est égal à leur π (+ φ1 φ2 = π).Quant à leurs cosinus, leurs valeurs absolues sont égaux, mais ils sont différents signes, qui est, cos φ1 = φ2 -cos.Si dans l'équation (0) est remplacé par A, B et C de -A, -B et -C respectivement, l'équation, on obtient, déterminera le même plan, l'angle φ que dans cos φ = équation NN1 / | N|| N1 | sera remplacé par π-φ.
équationperpendiculaire au plan perpendiculaire à
appelé plan, entre lesquels l'angle est de 90 degrés.Utilisation du matériel présenté ci-dessus, nous pouvons trouver l'équation d'un plan perpendiculaire à l'autre.Supposons que nous ayons deux plans: Ax + By + Cz + D = 0 et A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.Nous pouvons dire qu'ils sont perpendiculaires si Cos ø = 0.Cela signifie que AA¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.
équation plan parallèle
parallèle appelé deux plans qui ne contiennent pas de points communs.
état des plans parallèles (leurs équations sont les mêmes que dans le paragraphe précédent) est que les vecteurs N et N¹, qui les perpendiculaire, colinéaires.Cela signifie que les conditions suivantes de proportionnalité:
A / A¹ = V / H¹ = C / S¹.
Si les conditions de proportionnalité sont prolongés - A / A¹ = V / C = H¹ / S¹ = DD¹,
cela signifie que le plan de données de la même.Cela signifie que l'équation Ax + By + Cz + D = 0 et + A¹h V¹u S¹z + + 0 = D¹ décrire un seul plan.
la distance au plan du point
Supposons que nous ayons un plan P, qui est donnée par l'équation (0).Il est nécessaire de trouver sa distance depuis le point de coordonnées (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.Pour ce faire, vous devez apporter l'équation du plan P sous la forme normale:
(ρ, v) = p (R≥0).
Dans ce cas, ρ (x, y, z) est le rayon vecteur de notre point Q, situé sur n, P - est la distance perpendiculaire P qui a été déchargée à partir du point zéro, v - est le vecteur de l'unité, qui est situé dans le sens d'une.
différence vecteur ρ-ρº rayon d'un point Q = (x, y, z), détenue par P et le rayon vecteur d'un point Q0 = donnée (hₒ, uₒ, zₒ) est un tel vecteur, la valeur absoluedont les projections par v est égale à la distance d, qui est nécessaire pour trouver de Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) à P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, mais
(ρ-ρ0, v) = (ρ, c) - (ρ0, v) = p (ρ0, v).
Il se trouve,
d = | (ρ0, v) p |.
voit maintenant de calculer la distance d de Q0 au plan P, vous devez utiliser la forme normale du plan de l'équation, le déplacement vers la gauche de la rivière, et le dernier lieu de x, y, z substitut (hₒ, uₒ, zₒ).
Ainsi, nous trouvons la valeur absolue de l'expression résultante qui est recherché d.
utilisant les paramètres de langue, nous obtenons l'évidence:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).
Si un point Q0 donné est de l'autre côté du plan P comme origine, entre le vecteur ρ-ρ0 et v est un angle obtus, ainsi:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) -p & gt; 0.
Dans le cas où le point Q0 conjointement avec l'origine située sur le même côté du U, l'angle généré est aigu, qui est:
d = (ρ-ρ0, v) = p - (ρ0, v) & gt;0.
Le résultat est que dans le premier cas (ρ0, v) & gt; p, le deuxième (ρ0, v) & lt; p.
plan tangent et son équation
Comme pour le plan à la surface au point de contact Mº - un plan contenant tous tangente possible de la courbe tracée par ce point à la surface.
Dans ce type d'équation de la surface F (x, y, z) = 0 équation du plan tangent au point de tangence Mº (hº, uº, zº) devrait ressembler à ceci:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.
Si vous spécifiez explicitement la surface z = f (x, y), le plan tangent est décrite par l'équation:
z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y- uº).
intersection de deux plans
dans l'espace tridimensionnel est un système de coordonnées (rectangulaire) Oxyz, étant donné deux plans P 'et P ", qui se chevauchent et ne sont pas les mêmes.Depuis tout plan, qui est dans un système de coordonnées rectangulaires est définie par l'équation générale, nous supposons que n 'et n "sont donnés par les équations A'x + + + V'u S'z d' = 0 et A" x + B "y +Par "D + z" = 0.Dans ce cas, nous avons normale n '(A', B ', C') du plan P 'et n la normale »(A', B ', C') du plan P".Comme notre avion ne sont pas parallèles et ne coïncident pas, ces vecteurs ne sont pas colinéaires.En utilisant le langage des mathématiques, nous avons cette condition peut être écrite comme: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * Dans ", λ * C"), λεR.Laissez la ligne droite qui se trouve à l'intersection P 'et P ", seront désignés par la lettre a, dans ce cas a = n' ∩ P".
un - ce qui est une directe, constitué d'un ensemble de points (globale) plans P 'et P ".Cela signifie que les coordonnées de tout point appartenant à la ligne et doivent simultanément satisfaire à l'équation A'x + + V'u S'z + D '= 0 et A "x + B" y + C "z + D" = 0.Ensuite, les coordonnées du point seront une solution particulière des équations suivantes:
Le résultat est que la décision (général) du système d'équations déterminera les coordonnées de chaque point de la ligne, qui sera le point d'intersection P 'et P ", et de déterminer le direct etdans un système de coordonnées Oxyz (rectangulaire) espace.
