Di pesawat ruang angkasa dapat didefinisikan dengan cara yang berbeda (dengan satu poin dan vektor dan vektor dari dua poin, tiga poin, dll).Hal ini dalam persamaan ini pesawat mungkin memiliki berbagai jenis.Juga, dalam kondisi tertentu pesawat bisa paralel, tegak lurus, berpotongan, dllTentang hal ini dan berbicara dalam artikel ini.Kita akan belajar untuk membuat persamaan keseluruhan dari pesawat dan tidak hanya.
normal persamaan
Misalkan ada ruang R3, yang memiliki segi empat sistem koordinat XYZ.Kita mendefinisikan α vektor, yang akan dirilis dari awal titik A. Melalui akhir α vektor menggambar P pesawat, yang tegak lurus untuk itu.
Let P pada sembarang titik Q = (x, y, z).Radius vektor dari titik Q menandatangani surat p.Panjang α vektor adalah sama dengan p = IαI dan Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).
Ini adalah vektor satuan, yang diarahkan ke samping, serta vektor α.α, β, dan γ - adalah sudut yang dibentuk antara Ʋ vektor dan arah positif sumbu ruang x, y, z, masing-masing.Proyeksi titik pada vektor Ʋ QεP adalah konstan, yang sama dengan p (p, Ʋ) = p (r≥0).
Persamaan di atas masuk akal, ketika p = 0.Satu-satunya pesawat P dalam kasus ini akan berpotongan titik D (α = 0), yang merupakan asal, dan vektor satuan Ʋ, dibebaskan dari titik O akan tegak lurus terhadap P, meskipun arahnya, yang berarti bahwa Ʋ vektor ditentukanup untuk menandatangani.Persamaan sebelumnya adalah pesawat kami II, dinyatakan dalam bentuk vektor.Namun dalam koordinat dari jenisnya untuk menjadi begitu:
P lebih besar dari atau sama dengan 0. Kami telah menemukan persamaan dari pesawat dalam ruang dengan cara normal.Persamaan umum
Jika persamaan dalam koordinat kalikan nomor yang tidak sama dengan nol, kita mendapatkan persamaan setara dengan ini yang mendefinisikan sangat pesawat.Ini akan memiliki pandangan:
sini A, B, C - adalah jumlah pada waktu yang sama berbeda dari nol.Persamaan ini disebut sebagai persamaan bidang bentuk umum.Persamaan
pesawat.Persamaan
kasus tertentu dalam bentuk umum dapat dimodifikasi dengan kondisi tambahan.Pertimbangkan beberapa dari mereka.
berasumsi bahwa koefisien A adalah sama dengan 0. Ini berarti bahwa pesawat sejajar dengan diberikan sumbu Ox.Dalam hal ini, mengubah bentuk persamaan: Vu + Cz + D = 0.Bentuk yang mirip
dari persamaan akan berubah dan dalam kondisi berikut:
- Pertama, ketika B = 0, maka perubahan persamaan untuk Ax + Cz + D = 0 yang akan menunjukkan sejajar dengan sumbu-y.
- Kedua, jika C = 0, persamaan berubah menjadi Ax + By + D = 0, akan ada pembicaraan tentang sejajar dengan sumbu yang telah ditentukan Oz.
- Ketiga, ketika D = 0, persamaan akan terlihat seperti Ax + By + Cz = 0, yang berarti bahwa pesawat memotong O (asal).
- Keempat, jika A = B = 0, maka perubahan persamaan untuk Cz + D = 0, yang akan membuktikan sejajar dengan Oxy.
- Kelima, jika B = C = 0, persamaan menjadi Ax + D = 0, yang berarti bahwa pesawat sejajar dengan Oyz.
- Keenam, jika A = C = 0, persamaan mengambil bentuk Vu + D = 0, maka akan ada sejajar dengan laporan Oxz.
jenis persamaan di bagian
Dalam kasus di mana jumlah A, B, C, D berbeda dari nol, bentuk persamaan (0) mungkin sebagai berikut:
x / a + y / b + z / a= 1,
dimana = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.
Dapatkan persamaan hasil dari pesawat di potong.Perlu dicatat bahwa pesawat ini akan memotong Ox sumbu pada koordinat (a, 0,0), Dy - (0, b, 0) dan Oz - (0,0, s).
Mengingat persamaan x / a + y / b + z / c = 1, mudah untuk memvisualisasikan penempatan pesawat relatif terhadap sistem koordinat yang diberikan.
koordinat vektor
vektor normal n normal terhadap bidang P memiliki koordinat, yang merupakan koefisien dari persamaan umum dari pesawat, yaitu n (A, B, C).
Untuk menentukan koordinat n normal, cukup untuk mengetahui persamaan umum dari pesawat yang diberikan.
Bila menggunakan persamaan di segmen, yang memiliki bentuk x / a + y / b + z / c = 1, seperti ketika menggunakan persamaan umum dapat koordinat setiap vektor normal sebuah pesawat diberikan tertulis: (1 / a + 1 / b +1 / s).
dicatat bahwa vektor normal membantu untuk memecahkan berbagai masalah.Yang paling umum adalah masalah, adalah bukti pesawat tegak lurus atau paralel, tugas mencari sudut antara pesawat atau sudut antara pesawat dan garis.
persamaan pandangan pesawat sesuai dengan koordinat titik dan vektor
vektor nol n normal, tegak lurus dengan pesawat tertentu, yang disebut normal (normal) untuk pesawat yang diberikan.
menganggap bahwa koordinat ruang (persegi panjang sistem koordinat) Oxyz bertanya:
- Mₒ titik dengan koordinat (hₒ, uₒ, zₒ);
- nol vektor n = A * i + j + B C * * k.
diperlukan untuk membuat persamaan dari pesawat yang melewati titik tegak lurus terhadap Mₒ n normal.Di ruang
memilih titik sembarang dan membiarkan M nya (x y, z).Biarkan vektor radius setiap titik M (x, y, z) adalah r = x * i + y * j + z * k, dan vektor radius titik Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j + zₒ * k.Titik M milik pesawat diberikan, jika vektor tegak lurus terhadap vektor MₒM n.Kami menulis kondisi orthogonality dengan cara produk skalar:
[MₒM, n] = 0
Sejak MₒM = r-rₒ, persamaan vektor dari pesawat akan terlihat seperti ini:
[r - rₒ, n] = 0.
Persamaan ini mungkin memiliki bentuk yang berbeda.Untuk tujuan ini, sifat dari produk skalar, dan mengubah sisi kiri dari persamaan.[r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Jika [rₒ, n] dilambangkan sebagai s, kita mendapatkan persamaan berikut: [r, n] - c = 0 atau [r, n] = s, yang menyatakan konsistensi proyeksi pada vektor normal dari radius-vektor dari poin yang diberikan milik pesawat.
Sekarang Anda bisa mendapatkan jenis rekaman bidang koordinat persamaan vektor kami [r - rₒ, n] = 0. Karena r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * kdan n = A * i + j + B C * * k, kita memiliki:
ternyata, terbentuk dalam persamaan kami dari bidang yang melewati titik tegak lurus terhadap n biasa:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S (z-zₒ) = 0.
Tipe persamaan pesawat sesuai dengan koordinat dua titik dan sebuah pesawat vektor collinear
Tentukan dua titik M '(x', y ', z') dan M '(x ", y", z "), serta vektor(A ', A "dan ‴).
Sekarang kita bisa menyamakan pesawat diberikan, yang akan berlangsung melalui poin yang ada M 'dan M ", serta setiap titik M dengan koordinat (x, y, z) sejajar dengan vektor yang diberikan.
ini vektor M'M {x, x ', y, y'; zz '} dan M "M = {x" x', y 'y'; z "-z '} harus coplanarvektor a = (a ', sebuah ", ‴ a), dan itu berarti (M'M, M' M, a) = 0.
Jadi persamaan kami dari pesawat di ruang akan terlihat seperti ini:
persamaan jenis pesawat berpotongan tiga poin
Misalkan kita memiliki tiga poin (x ', y', z '), (x', y", z"), (x ‴ Memiliki ‴, z ‴), yang tidak termasuk ke dalam baris yang sama.Hal ini diperlukan untuk menulis persamaan dari pesawat yang melewati ditentukan tiga poin.Teori geometri berpendapat bahwa jenis pesawat tidak ada, itu hanya satu-satunya.Karena pesawat ini memotong titik (x ', y', z '), bentuk persamaan adalah sebagai berikut:
sini A, B, dan C yang berbeda dari nol pada saat yang sama.Juga diberikan pesawat memotong dua poin (x ', y', z ') dan (x ‴ Memiliki ‴, z ‴).Dalam hubungan ini harus dilakukan semacam ini kondisi:
Sekarang kita dapat membuat sistem yang seragam persamaan (linier) dengan diketahui u, v, w:
di kami kasus, x, y, atau z muncul sewenang-wenang titik yang memenuhiPersamaan (1).Mengingat persamaan (1) dan sistem persamaan (2) dan (3), suatu sistem persamaan yang ditunjukkan pada gambar di atas, memenuhi vektor N (A, B, C) yang trivial.Itu karena penentu sistem adalah nol.
Persamaan (1), yang kita punya, ini adalah persamaan pesawat.Setelah 3 titik dia benar-benar pergi, dan sangat mudah untuk memeriksa.Untuk melakukan hal ini, kita menguraikan determinan dari elemen yang terletak di baris pertama.Sifat yang ada dari penentu itu menyiratkan bahwa pesawat kami pada saat yang sama tiga salib awalnya diberi poin (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ Memiliki ‴, z ‴).Jadi kami memutuskan untuk menempatkan sebelum kita.
sudut dihedral antara pesawat
sudut dihedral adalah bentuk geometris spasial yang dibentuk oleh dua setengah pesawat yang datang dari baris yang sama.Dengan kata lain, ini bagian dari ruang, yang terbatas pada setengah-pesawat.
Misalkan kita memiliki dua pesawat dengan persamaan berikut:
Kita tahu bahwa vektor N = (A, B, C) dan N¹ = (A¹, H¹, S¹) sesuai dengan set tegak lurus pesawat.Dalam hal ini, sudut φ antara vektor N dan N¹ sudut sama (dihedral), yang terletak di antara pesawat ini.Produk skalar diberikan oleh:
NN¹ = | N || N¹ | cos φ,
justru karena
cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (+ ï¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (² + V ²s ² +)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).
cukup untuk mempertimbangkan 0≤φ≤π itu.
sebenarnya dua pesawat yang bersinggungan untuk membentuk dua sudut (dihedral): φ1 dan φ2.Jumlah tersebut sama dengan π mereka (φ1 + φ2 = π).Adapun cosinus mereka, nilai-nilai absolut mereka adalah sama, tetapi mereka tanda-tanda yang berbeda, yaitu, cos φ1 = -cos φ2.Jika dalam persamaan (0) digantikan oleh A, B dan C dari A, -B dan -C masing-masing, persamaan, kita memperoleh, akan menentukan bidang yang sama, hanya sudut φ cos di persamaan φ = NN1 / | N|| N1 | akan digantikan oleh π-φ.Persamaan
tegak lurus terhadap bidang tegak lurus terhadap
disebut pesawat, antara yang sudut adalah 90 derajat.Menggunakan materi yang disajikan di atas, kita dapat menemukan persamaan dari bidang tegak lurus ke yang lain.Misalkan kita memiliki dua pesawat: Ax + By + Cz + D = 0 dan A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.Kita dapat mengatakan bahwa mereka tegak lurus jika cosφ = 0.Ini berarti bahwa ï¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.
persamaan pesawat sejajar
Paralel disebut dua pesawat yang tidak mengandung poin umum.Kondisi
pesawat paralel (persamaan mereka adalah sama seperti pada paragraf sebelumnya) adalah bahwa vektor N dan N¹, yang mereka tegak lurus, collinear.Ini berarti bahwa kondisi berikut proporsionalitas:
A / A¹ = V / H¹ = C / S¹.
Jika kondisi proporsionalitas diperpanjang - A / A¹ = V / H¹ = C / S¹ = DD¹,
ini menunjukkan bahwa pesawat data yang sama.Ini berarti bahwa persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dan + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 menggambarkan satu pesawat.
jarak ke pesawat dari titik
Misalkan kita memiliki P pesawat, yang diberikan oleh Persamaan (0).Hal ini diperlukan untuk menemukan jarak nya dari titik dengan koordinat (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.Untuk melakukan ini, Anda perlu membawa persamaan P pesawat dalam bentuk normal:
(ρ, v) = p (r≥0).
Dalam hal ini, ρ (x, y, z) adalah vektor radius titik Q kami, terletak di n, P - adalah P jarak tegak lurus yang telah dibuang dari titik nol, v - adalah vektor satuan, yang terletak di arah dari.
perbedaan ρ-ρº radius vektor dari titik Q = (x, y, z), yang dimiliki oleh P dan vektor radius titik Q0 diberikan = (hₒ, uₒ, zₒ) adalah vektor seperti itu, nilai absolutyang proyeksi oleh v sama dengan jarak d, yang diperlukan untuk menemukan dari Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) ke P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, tapi
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = p (ρ0, v).
Ternyata,
d = | (ρ0, v) p |.
sekarang dilihat untuk menghitung jarak d dari Q0 ke pesawat P, Anda harus menggunakan bentuk normal dari pesawat persamaan, pergeseran ke kiri sungai, dan tempat terakhir dari x, y, pengganti z (hₒ, uₒ, zₒ).
demikian, kita menemukan nilai absolut dari ekspresi yang dihasilkan yang dicari d.
Menggunakan pengaturan bahasa, kita memperoleh jelas:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (² + V ² + s ²).
Jika titik Q0 diberikan adalah di sisi lain dari pesawat P sebagai asal, antara vektor ρ-ρ0 dan v adalah sudut tumpul, sehingga:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) p & gt; 0.
Dalam kasus ketika titik Q0 bersama-sama dengan asal terletak di sisi yang sama dari U, sudut yang dihasilkan adalah akut, yaitu:
d = (ρ-ρ0, v) = p - (ρ0, v) & gt;0.
Hasilnya adalah bahwa dalam kasus pertama (ρ0, v) & gt; p, yang kedua (ρ0, v) & lt; p.
bidang singgung dan persamaan yang
Adapun pesawat ke permukaan pada titik kontak Mº - pesawat yang berisi semua mungkin bersinggungan dengan kurva yang ditarik melalui titik itu di permukaan.
Dalam jenis persamaan F permukaan (x, y, z) = 0 persamaan bidang singgung pada titik singgung Mº (hº, uº, zº) akan terlihat seperti ini:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.
Jika Anda menentukan secara eksplisit z permukaan = f (x, y), bidang singgung dijelaskan oleh persamaan:
z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y- uº).
persimpangan dua pesawat
dalam ruang tiga dimensi adalah sistem koordinat (persegi panjang) Oxyz, diberikan dua pesawat P 'dan P ", yang tumpang tindih dan tidak sama.Karena setiap pesawat, yang dalam segi empat sistem koordinat didefinisikan oleh persamaan umum, kita mengasumsikan bahwa n 'dan n "diberikan oleh persamaan A' X + + V'u S'z + D '= 0 dan A" x + B "y +Dengan "D + z" = 0.Dalam hal ini kita memiliki yang normal n '(A, B', C ') dari pesawat P' dan n normal '(A, B', C ') dari pesawat P ".Seperti pesawat kami tidak sejajar dan tidak sesuai, vektor ini tidak collinear.Menggunakan bahasa matematika, kita memiliki kondisi ini dapat ditulis sebagai: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * Dalam ", λ * C"), λεR.Biarkan garis lurus yang terletak di persimpangan P 'dan P ", akan dilambangkan dengan huruf a, dalam hal ini a = n' ∩ P".
- ini adalah langsung, yang terdiri dari satu set poin (keseluruhan) pesawat P 'dan P ".Ini berarti bahwa koordinat titik milik garis dan harus secara bersamaan memenuhi persamaan A 'X + + V'u S'z + D' = 0 dan A "x + B" y + C "z + D" = 0.Kemudian, koordinat titik akan menjadi solusi tertentu dari persamaan berikut:
Hasilnya adalah bahwa keputusan (Umum) dari sistem persamaan akan menentukan koordinat setiap titik garis, yang akan menjadi titik persimpangan P 'dan P ", dan untuk menentukan langsung dandalam sistem koordinat Oxyz (persegi panjang) ruang.
