Cramer - è una delle esatte modalità di sistemi di equazioni algebriche lineari (Slough) solving.La sua precisione a causa dell'uso di determinanti di matrici, nonché alcune delle restrizioni imposte nella dimostrazione del teorema.Sistema
di equazioni algebriche lineari con coefficienti appartenenti a, per esempio, una pluralità di R - numeri reali, da x1 sconosciuta, x2, ..., xn è chiamato l'insieme delle espressioni della forma
AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain xn = bi per i =1, 2, ..., m, (1)
dove aij, bi - sono numeri reali.Ciascuna di queste espressioni è chiamato una equazione lineare, aij - coefficienti delle incognite, bi - coefficienti libere delle equazioni.Soluzione
di (1) è detto vettore n-dimensionale x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), che una volta sostituito in per il incognite x1, x2, ..., xn ciascuna delle righe nel sistema diventavera uguaglianza.Sistema
si chiama coerente se ha almeno una soluzione, e incoerente, se il suo insieme di soluzioni coincide con l'insieme vuoto.
Va ricordato che, al fine di trovare la soluzione di sistemi di equazioni lineari algebriche usando la regola di Cramer, matrici, sistemi devono essere quadrata, il che significa sostanzialmente lo stesso numero di incognite e equazioni del sistema.
Quindi, per utilizzare il metodo di Cramer, si dovrebbe almeno sapere che cosa Matrix è un sistema di equazioni algebriche lineari e come viene rilasciato.E in secondo luogo, per capire quello che viene chiamato il determinante della matrice, e padroneggiare le abilità di calcolo.
supporre che questa conoscenza si possiede.Meraviglioso!Allora dovete memorizzare solo formule che determinano il metodo di Cramer.Per semplificare la memorizzazione utilizzare la seguente notazione:
-
Det - il determinante principale del sistema;
-
deti - è il determinante della matrice ottenuta dalla matrice principale del sistema sostituendo la i-esima colonna della matrice di un vettore colonna i cui elementi sono i lati destri dei sistemi di equazioni lineari;
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n - il numero di incognite ed equazioni nel sistema.
Poi la regola di Cramer calcolare la componente xi i-esima (i = 1, .. n) n-dimensionale vettore x possono essere scritte come
xi = deti / Det, (2).
Così Det rigorosamente diverso da zero.
soluzione unica quando è fornito congiuntamente dalla condizione di nonzero determinante principale del sistema.In caso contrario, se la somma di (xi), al quadrato, è strettamente positivo, quindi SLAE una matrice quadrata è incoerente.Ciò può verificarsi in particolare quando almeno uno dei nonzero deti.
Esempio 1 .Per risolvere il sistema tridimensionale di Lau, usando la formula di Cramer.
x1 + 2 x2 + 4 = 31 x3,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29, 3
x1 - x2 + x3 = 10.Decisione
.Scriviamo la matrice di riga in cui Ai - è l'i-esima riga della matrice.
A1 = (1 2 4), A2 = (1, 5 2), A3 = (-1 3 1).Colonna
coefficienti gratuito B = 29 (31 ottobre).Determinante principale sistema Det
è
Det = a11 a22 a33 a12 a23 + a31 + a31 a21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1-20 12-12 2-10 = -27.
Per calcolare DET1 uso sostituzione a11 = b1, b2 = A21, A31 = b3.Poi
DET1 = b1 A22 A33 + A12 A23 b3 + a31 b2 A32 - A13 A22 b3 - b1 A32 A23 - A33 A12 b2 = ... = -81.
Allo stesso modo, per calcolare una permutazione utilizzando DET2 = b1 a12, a22 = B2, B3 = a32 e, rispettivamente, per calcolare DET3 - a13 = b1, b2 = A23, A33 = b3.
Quindi è possibile verificare che DET2 = -108, e DET3 = - 135.
Secondo la regola di Cramer troviamo x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135/ (- 27) = 5.
Risposta: x ° = (3,4,5).
Sulla base delle condizioni di applicabilità di questa regola, regola di Cramer per sistemi di equazioni lineari soluzione può essere utilizzata indirettamente, per esempio, per studiare il sistema sul numero possibile di soluzioni a seconda del valore di un parametro k.
Esempio 2. Determinare per ciò valori del parametro k la disuguaglianza | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | & lt; = 0 ha esattamente una soluzione.Decisione
.
Questa disparità nella definizione della funzione modulo può essere eseguita solo se entrambe le espressioni sono simultaneamente zero.Pertanto, il problema si riduce a trovare la soluzione di un sistema lineare di equazioni algebriche
kx - y = 4,
x + ky = -4.Soluzione
di questo sistema solo se è la principale determinante della
Det = k ^ {2} + 1 è diverso da zero.Ovviamente, questa condizione vale per tutti i valori validi del parametro k.
Risposta: per tutti i valori reali del parametro k.
Gli obiettivi di questo tipo può anche essere ridotta, molti problemi pratici della matematica, fisica o chimica.
