Fourier - una rappresentazione di una funzione arbitrariamente scelto per un determinato periodo di fila.In termini generali, la decisione di cui l'elemento di espansione della base ortogonale.L'espansione delle funzioni in serie di Fourier è una bella potente strumento per risolvere i vari problemi dovuti alle proprietà della trasformazione nell'integrazione, differenziazione, e spostare le espressioni di argomento e convoluzione.
persona che non ha dimestichezza con la matematica superiore, così come con il lavoro dello scienziato francese Fourier probabilmente non capirà ciò che il "ranghi" e quello che fanno.Ma questa trasformazione è molto fermamente entrata nella nostra vita.E 'utilizzato non solo la matematica, ma anche fisici, chimici, medici, astronomi, sismologi, oceanografi e altri.Cerchiamo, e diamo uno sguardo più da vicino le opere del grande scienziato francese che ha fatto la scoperta, in anticipo sui tempi.
uomo e la trasformata di Fourier
serie di Fourier è uno dei metodi (insieme con l'analisi e altri) della trasformata di Fourier.Questo processo si verifica ogni volta che una persona sente un suono.Le nostre orecchie converte automaticamente l'onda sonora.Il moto vibrazionale di particelle elementari in un mezzo elastico sono disposti in serie (nello spettro) volume consecutivo per i toni di altezze diverse.Successivamente, il cervello converte i dati in suoni a noi familiari.Tutto questo si va ad aggiungere al nostro desiderio o la coscienza in sé, ma per comprendere questi processi richiederà diversi anni per studiare la matematica superiore.Dettagli
sulla trasformata di Fourier
trasformata di Fourier può essere eseguita analitico, numeri e altri metodi.Serie di Fourier sono processo numerico per decomporre eventuali processi oscillatori - da maree e onde di luce per cicli solari (e altri oggetti astronomici) attività.Usando queste tecniche matematiche può smontare funzioni rappresentano gli eventuali processi oscillatori in un numero di componenti sinusoidali che vanno da un minimo ad un massimo e viceversa.La trasformata di Fourier è una funzione che descrive la fase e l'ampiezza delle sinusoidi corrispondenti ad una particolare frequenza.Questo processo può essere utilizzato per affrontare le equazioni molto complesse che descrivono i processi dinamici che si verificano sotto l'azione del calore, luce o energia elettrica.Inoltre, la serie di Fourier utilizzato per distinguere componenti continue in forme d'onda complesse, rendendo possibile interpretare correttamente le osservazioni sperimentali in medicina, chimica e astronomia.
Sfondo
padre fondatore di questa teoria è il matematico francese Jean Baptiste Joseph Fourier.Il suo nome è stato successivamente chiamato questa trasformazione.Inizialmente, i ricercatori hanno utilizzato una tecnica per studiare e spiegare i meccanismi di conduzione di calore - la propagazione del calore nei solidi.Fourier assume che la distribuzione iniziale dell'onda di calore irregolare può essere scomposto in semplice sinusoide, ciascuna delle quali avrà la sua temperatura minima e massima, nonché la sua fase.Così ciascuno di questi componenti deve essere misurata dal minimo al massimo e viceversa.La funzione matematica che descrive i picchi superiori ed inferiori della curva, e la fase di ogni armonica, chiamato Fourier dell'espressione della distribuzione di temperatura.L'autore della teoria della ridotta funzione di distribuzione globale, che è difficile da descrizione matematica, in modo molto facile da gestire un certo numero di funzioni periodiche di seno e coseno, per un totale di distribuzione iniziale.Principio
di conversione e il punto di vista dei contemporanei
contemporanei scienziato - i matematici più importanti del primo Ottocento - non hanno accettato questa teoria.L'obiezione principale era l'approvazione di Fourier che rompere funzione che descrive una linea retta o curva è strappata, può essere rappresentata come una somma di espressioni sinusoidali che sono continui.Come esempio, si consideri il "passo" Heaviside: il suo valore è zero a sinistra del gap e l'unità di destra.Questa funzione descrive la dipendenza della corrente elettrica dalla variabile temporanea per la chiusura del circuito.Teoria contemporanei all'epoca mai incontrato una situazione simile quando rottura espressione descrive una combinazione di continue, funzioni comuni, come esponenziale, sinusoidale, lineare o quadratica.
che confonde i matematici francesi nella teoria di Fourier?
Dopo tutto, se un matematico è stato corretto nelle sue affermazioni, quindi, sommando una serie di Fourier trigonometrica infinita, è possibile ottenere una rappresentazione accurata della fase di espressione, anche se ha molti passi simili.All'inizio del XIX secolo, questa affermazione sembrava assurdo.Ma nonostante tutti i dubbi, molti matematici hanno ampliato il campo di applicazione dello studio di questo fenomeno, lo spostamento oltre la ricerca di conducibilità termica.Tuttavia, la maggior parte degli scienziati hanno continuato a subire la domanda: "Può la somma di serie sine converge al valore esatto della funzione discontinua"
Convergenza delle serie di Fourier: l'esempio problema
di convergenza sollevata ogniqualvolta sia necessario sommatoria di serie infinita di numeri.Per capire questo fenomeno, si consideri l'esempio classico.Potresti mai raggiungere il muro quando ogni passo sarà la metà del precedente?Supponete di essere due metri dalla meta, il primo passo verso la metà del percorso, il prossimo - al livello di tre quarti, e dopo il quinto a superare quasi il 97 per cento del modo.Tuttavia, non importa quanti passi si fanno, il bersaglio si raggiunge in senso stretto matematico.Utilizzando calcoli numerici, possiamo dimostrare che, alla fine, può essere affrontato su un arbitrariamente piccola data distanza.Ciò equivale ad una prova dimostra che il valore totale di una metà, un quarto, e così via. E. tenderanno all'unità.
domanda di convergenza: la seconda venuta, o dispositivo Lord Kelvin
nuovo la questione sorse alla fine del XIX secolo, quando il Fourier cercato di utilizzare per prevedere l'intensità dei flussi e riflussi.A quel tempo, Lord Kelvin è stato inventato dispositivo è un dispositivo di elaborazione analogica che permette marinai militari e della marina mercantile per monitorare questo fenomeno naturale.Questo meccanismo definisce una serie di fasi e ampiezze dell'altezza tabella delle maree e le corrispondenti momenti temporali, accuratamente misurate nel porto durante l'anno.Ciascun parametro è un componente marea sinusoidale di espressione è uno dei componenti regolari.I risultati delle misurazioni vengono immessi nel dispositivo di elaborazione Lord Kelvin, sintetizzando la curva, che prevede l'altezza dell'acqua in funzione di tempo per il prossimo anno.Ben presto queste curve sono state fatte per tutti i porti del mondo.
E se il processo saranno suddivisi funzione discontinua?
All'epoca sembrava ovvio che il dispositivo prevede un maremoto, con un sacco di account elementi in grado di calcolare un gran numero di fasi e ampiezze, e quindi fornire una previsione più accurata.Tuttavia, si è scoperto che questo modello non si osserva nei casi in cui l'espressione di marea che verrà sintetizzato, conteneva un salto tagliente, cioè è discontinua.In tal caso, se i dati viene inserito nel dispositivo da una tabella di punti di tempo, calcola pochi coefficienti di Fourier.La funzione originale viene ripristinata grazie al componente sinusoidale (conformemente ai coefficienti trovati).La discrepanza tra l'originale e l'espressione ricostruito può essere misurata in qualsiasi punto.Durante il calcolo ripetuto e confronto dimostra che il valore del massimo errore viene ridotta.Tuttavia, essi sono localizzati nella regione corrispondente al punto di rottura, e altri punti tende a zero.Nel 1899, questo risultato è stato confermato in teoria Joshua Willard Gibbs della Yale University.
Convergenza delle serie di Fourier e lo sviluppo della matematica in generale analisi
Fourier non si applica alle espressioni che contengono un numero infinito di raffica a un certo intervallo.In serie generale di Fourier, se la funzione originale di presentare i risultati della misurazione fisica reale convergono sempre.Domande di convergenza del processo di specifiche classi di funzioni hanno portato a nuovi rami della matematica, come la teoria delle funzioni generalizzate.Si è associato con nomi come L. Schwartz, J .. Mikusiński e George. Tempio.Nel quadro di questa teoria è stato istituito chiara e precisa base teorica per espressioni quali la funzione delta di Dirac (che descrive l'area unificata regione, concentrati in un quartiere infinitesimo del punto) e "step" Heaviside.Attraverso questo lavoro serie di Fourier è diventato utile per la risoluzione di equazioni e problemi, che coinvolgono i concetti intuitivi: carica punto, di massa punto, dipoli magnetici, e il carico concentrato sulla trave.Metodo
Fourier serie
Fourier, in conformità con i principi di interferenza, inizia con la decomposizione di forme complesse in più semplici.Ad esempio, un cambiamento nel flusso di calore grazie al suo passaggio attraverso i vari ostacoli di materiale di forma irregolare, o cambiamenti di superficie terrestre isolante - un terremoto, un cambiamento nella orbita di un corpo celeste - l'influenza dei pianeti.In genere, queste equazioni che descrivono semplici sistemi classici è elementare risolto per ogni onda.Fourier ha mostrato che le soluzioni semplici possono essere riassunti come per compiti più complessi.Nel linguaggio della matematica, della serie di Fourier - una metodologia per la presentazione delle quantità espressione di armoniche - coseno e onde sinusoidali.Pertanto, questa analisi è noto anche come "analisi armonica".
Fourier Series - un metodo ideale per l '"età del computer»
Prima della creazione della tecnologia informatica tecnica Fourier è la migliore arma nell'arsenale di scienziati che lavorano con la natura ondulatoria del nostro mondo.Serie di Fourier in forma complessa consente di risolvere non solo i problemi semplici che si prestano all'applicazione delle leggi della meccanica di Newton diretti, ma anche le equazioni fondamentali.La maggior parte delle scoperte della scienza newtoniana XIX secolo è diventato possibile solo a causa del metodo di Fourier.
Fourier serie oggi
Con lo sviluppo dei computer Fourier salito a un livello qualitativamente nuovo.Questa tecnica è saldamente radicata in quasi tutti i campi della scienza e della tecnologia.Ad esempio, un segnale audio e video digitale.La sua attuazione è stata resa possibile solo grazie alla teoria sviluppata dal matematico francese del primo Ottocento.Così, la serie di Fourier in forma complessa ha permesso di fare un passo avanti nello studio dello spazio.Inoltre, ha interessato lo studio della fisica dei materiali semiconduttori e di plasma, acustica a microonde, l'oceanografia, il radar, la sismologia.
serie di Fourier trigonometrica
In matematica, la serie di Fourier è un modo di rappresentare funzioni complesse arbitrarie come somma di più semplice.Nei casi più comuni, il numero di tali espressioni può essere infinita.Maggiore è il numero considerata nel calcolo, più accurato il risultato finale si ottiene.L'uso più comune di semplici funzioni trigonometriche coseno e seno.In questo caso, la serie di Fourier è chiamato trigonometriche, e la decisione di tali espressioni - decomposizione armonica.Questo metodo ha un ruolo importante nella matematica.Prima di tutto, una serie trigonometrica fornisce un mezzo per l'immagine e studiare le funzioni che è l'unità principale della teoria.Inoltre, ci permette di risolvere alcuni problemi in fisica matematica.Infine, questa teoria ha contribuito allo sviluppo di analisi matematica ha dato luogo ad una serie di importanti branche della matematica (teoria integrale, la teoria delle funzioni periodiche).Inoltre, il punto di partenza per lo sviluppo dei seguenti teorie: insiemi, funzioni di una variabile reale, analisi funzionale, e segna l'inizio dell'analisi armonica.
