Nel piano spazio può essere definito in vari modi (da un punto e un vettore e il vettore di due punti, tre punti, ecc).È in questa equazione del piano può avere vari tipi.Inoltre, in certe condizioni l'aereo può essere parallele, perpendicolari, intersecano, etc.Su questo e parlare in questo articolo.Impareremo a fare l'equazione generale del piano e non solo.
normale equazione
Supponiamo che vi sia uno spazio R3, che ha coordinate rettangolari sistema XYZ.Definiamo le α vettore, che uscirà dal punto A. iniziale fino alla fine degli α vettore disegnare il piano P, che è perpendicolare ad essa.
Sia P su un punto arbitrario Q = (x, y, z).Il vettore raggio del punto Q firmare la lettera p.La lunghezza del α vettore è uguale a p = IαI e Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).
È un vettore unitario, che è diretto verso il lato, così come vettore α.α, β, γ e - è l'angolo formato tra la Ʋ vettoriale e direzioni positive degli assi dello spazio x, y, z, rispettivamente.La proiezione di un punto sul vettore Ʋ QεP è una costante, che è uguale a p (p, Ʋ) = p (r≥0).
L'equazione di cui sopra ha un senso, quando p = 0.L'unico piano P in questo caso intersecherà punto D (α = 0), che è l'origine e versore Ʋ, rilasciato dal punto O sarà perpendicolare P, nonostante la sua direzione, il che significa che il vettore Ʋ determinatofino a firmare.Equazione precedente è il nostro piano II, espresso in forma vettoriale.Ma le coordinate del suo genere ad essere così:
P è maggiore o uguale a 0. Abbiamo trovato l'equazione del piano nello spazio in modo normale.
equazione generale
Se l'equazione in coordinate moltiplicare qualsiasi numero che non è uguale a zero, si ottiene l'equazione equivalente a questo che definisce il piano molto.Avrà una visione:
Qui A, B, C - è il numero allo stesso tempo diverso da zero.Questa equazione è indicato come l'equazione piano della forma generale.
equazione del piano.Particolare casi
equazionein forma generale può essere modificato con condizioni supplementari.Consideriamo alcuni di loro.
supponga che il coefficiente A è uguale a 0. Questo significa che il piano è parallelo ad un asse Ox.In questo caso, cambiare la forma dell'equazione: Vu + Cz + D = 0.
forma simile dell'equazione cambierà e nelle seguenti condizioni:
- Prima, quando B = 0, quindi le modifiche equazione Ax + Cz + D = 0 che indicano parallela all'asse y.
- secondo luogo, se C = 0, l'equazione si trasforma in Ax + By + D = 0, si parlerà circa parallelo all'asse Oz predeterminata.
- terzo luogo, quando D = 0, l'equazione sarebbe simile ax + by + Cz = 0, il che significherebbe che il piano interseca O (l'origine).
- In quarto luogo, se A = B = 0, quindi le modifiche equazione a Cz + D = 0, che si riveleranno parallelo a Oxy.
- Quinto, se B = C = 0, l'equazione diventa Ax + D = 0, il che significa che l'aereo è parallelo OYZ.
- sesta, se A = C = 0, l'equazione assume la forma Vu + D = 0, allora ci sarà parallelo al rapporto Oxz.
equazioni di tipo a sezioni
Nel caso in cui il numero di A, B, C, D sono diversi da zero, la forma dell'equazione (0) possono essere le seguenti:
x / a + y / b + z / a= 1,
in cui un = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.
Prendi un equazione risultato del piano di pezzi.Va notato che questo aereo incrocerà la Ox asse coordinate (a, 0,0), Dy - (0, b, 0) e Oz - (0,0, s).
Considerata l'equazione x / a + y / b + z / c = 1, è facile immaginare il posizionamento del piano relativo ad un dato sistema di coordinate.
coordinate del vettore normale
normale n al piano P ha coordinate, che sono i coefficienti della equazione generale del piano, cioè n (A, B, C).
Per determinare le coordinate del normale n, è sufficiente conoscere l'equazione generale di uno stesso piano.
Usando le equazioni in segmenti, che ha la forma x / a + y / b + z / c = 1, come quando si utilizza l'equazione generale può essere coordinate di qualsiasi vettore normale un dato piano scritto: (1 / a + 1 / b +1 / s).
pena notare che il vettore normale aiuta a risolvere i vari problemi.I più comuni sono i problemi, è una prova di piani perpendicolari o parallele, il compito di trovare gli angoli tra i piani o angoli tra i piani e le linee.
equazione vista in pianta secondo le coordinate del punto e il vettore normale
nonzero vettore n, perpendicolare ad un piano dato, chiamata normale (normale) per un dato piano.
supporre che lo spazio (un sistema di coordinate rettangolare) Oxyz chiesto coordinate: punto
- Mₒ di coordinate (hₒ, uₒ, zₒ);
- a zero vettore n = A * i + j + B C * * k.
necessario fare l'equazione del piano passante per il punto perpendicolare alla normale Mₒ n.Nello spazio
scegliere qualsiasi punto arbitrario e farle M (x y, z).Sia il raggio vettore di qualsiasi punto M (x, y, z) è r = x * i + y * j + z * k, e il raggio vettore del punto Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j + zₒ * k.Il punto M appartiene ad un piano dato, se il vettore è perpendicolare al vettore MₒM n.Scriviamo la condizione di ortogonalità mediante il prodotto scalare:
[MₒM, n] = 0.
Da MₒM = r-rₒ, vettore equazione del piano sarà simile a questa:
[r - rₒ, n] = 0.
Questa equazione può avere una forma diversa.A tal fine, le proprietà del prodotto scalare, e trasformato il lato sinistro dell'equazione.[r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Se [rₒ, n] indicata come s, si ottiene la seguente equazione: [r, n] - c = 0 o [R, n] = s, che esprime la coerenza delle sporgenze sul vettore normale del radio-vettori dei punti dati che appartengono al piano.
Ora è possibile ottenere il tipo di registrazione delle coordinate nostro vettore equazione aereo [r - rₒ, n] = 0. Poiché r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * ke n = A * i + j + B C * * k, abbiamo:
risulta, è formata nella nostra equazione del piano passante per il punto perpendicolare alla normale n:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.
tipo di equazione piana secondo le coordinate dei due punti e un piano vettoriale collineari
Definire due punti M '(x', y ', z') e M '(x "y" z "), così come vettore di(A ', A "e' '').
Ora possiamo equiparare uno stesso piano, che avverrà attraverso punti esistenti M 'e M ", così come qualsiasi punto M con coordinate (x, y, z) paralleli a un dato vettore.
Questo vettori M'M {x, x ', y, y'; zz '} e M "M = {x" -x', y 'y', z "z '} dovrebbe essere complanarivettore a = (a ', a ", a' ''), e che mezzi (M'M, M 'M, a) = 0.
Così la nostra equazione di un piano nello spazio sarebbe simile a questa: piano tipo equazione
intersecando i tre punti
Supponiamo di avere tre punti (x ', y', z '), (x', y"z"), (x '' '' '' Hanno, z '' '), che non appartengono alla stessa linea.È necessario scrivere l'equazione del piano passante per i tre punti specificati.La teoria della geometria sostiene che questo tipo di piano esiste, è solo uno e unico.Poiché questo piano interseca il punto (x ', y', z '), la forma della sua equazione è la seguente:
Qui A, B, e C sono diversi da zero, allo stesso tempo.Inoltre dato piano interseca i due punti (x ', y', z ') e (x' '' '' 'Hanno, z' '').In questo contesto deve essere eseguito questo tipo di condizioni:
Ora siamo in grado di creare un sistema uniforme di equazioni (lineari) con incognite u, v, w:
Nel nostro caso, x, y, z appare punto arbitrario che soddisfiL'equazione (1).Considerando l'equazione (1) e un sistema di equazioni (2) e (3), un sistema di equazioni mostrato in figura, il vettore soddisfa N (A, B, C), che non è banale.Questo perché il determinante del sistema è zero.
equazione (1), che abbiamo, questo è l'equazione del piano.Dopo 3 punti che realmente va, ed è facile da controllare.Per fare questo, scomponiamo il determinante degli elementi situati nella prima fila.Delle proprietà esistenti del determinante implica che il nostro aereo, allo stesso tempo tre croci inizialmente indicati i punti (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x '' 'Hanno' '', z '' ').Così abbiamo deciso di mettere davanti a noi.
angolo diedro tra i piani
angolo diedro è una forma geometrica spaziale formata da due semipiani che provengono dalla stessa linea.In altre parole, questa parte dello spazio, che è limitata al semipiano.
Supponiamo di avere due piani con le seguenti equazioni:
Sappiamo che i vettori N = (A, B, C) e N¹ = (A¹, H¹, S¹) secondo il set perpendicolari aerei.A questo proposito, l'angolo φ tra i vettori N e N¹ uguale angolo (diedro), che si trova tra questi piani.Il prodotto scalare è dato da:
NN¹ = | N || N¹ | cos φ,
proprio perché
Fattore di potenza = NN¹ / | N || N¹ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + V²) s² +) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).
è sufficiente considerare che 0≤φ≤π.
realtà due piani che si intersecano a formare due angoli (diedri): φ1 e φ2.L'importo è pari alla loro π (φ1 + φ2 = π).Quanto ai loro coseni, i loro valori assoluti sono uguali, ma sono diversi segni, che è, cos φ1 = φ2 -cos.Se nell'equazione (0) è sostituito dal rispettivamente A, B e C di -A, -B e -C, l'equazione, si ottiene, determinerà stesso piano, l'angolo φ solo in equazione cos φ = NN1 / | N|| N1 | sarà sostituito da π-φ.
equazione perpendicolare al piano perpendicolare
chiamato piano, tra cui l'angolo è di 90 gradi.Usando il materiale presentato sopra, possiamo trovare l'equazione di un piano perpendicolare all'altra.Supponiamo di avere due piani: ax + by + Cz + D = 0 e A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.Possiamo dire che siano perpendicolari se Fattore di potenza = 0.Ciò significa che AA¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.Piano parallelo equazione
parallelo chiamato due aerei che non contengono punti in comune.
condizione di piani paralleli (loro equazioni sono le stesse come nel paragrafo precedente) è che i vettori N e N¹, che per loro perpendicolari, collineari.Ciò significa che le seguenti condizioni di proporzionalità:
A / A¹ = V / H¹ = C / S¹.
Se vengono estese le condizioni di proporzionalità - A / A¹ = V / H¹ = C / S¹ = DD¹,
ciò indica che il piano di dati della stessa.Ciò significa che l'equazione ax + by + Cz + D = 0 e + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 descrivere un unico piano.
distanza dal piano dal punto
Supponiamo di avere un piano P, che è dato dall'equazione (0).E 'necessario trovare la distanza dal punto di coordinate (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.Per fare questo, è necessario portare l'equazione del piano P nella forma normale:
(ρ, v) = p (r≥0).
In questo caso, ρ (x, y, z) è il raggio vettore del nostro punto Q, situato su n, P - è la distanza perpendicolare P che è stato scaricato dal punto zero, v - è il vettore unitario, che si trova nella direzione di un.
differenza ρ-ρº raggio vettore di un punto Q = (x, y, z), proprietà di P e raggio vettore di un dato punto Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) è un tale vettore, il valore assolutole cui proiezioni dal v uguale alla distanza d, che è necessario trovare da Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) a P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, ma
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = p (ρ0, v).
Si scopre,
d = | (ρ0, v) p |.
ora visto per calcolare la distanza d da Q0 al piano P, è necessario utilizzare la forma normale del piano dell'equazione, lo spostamento a sinistra del fiume, e l'ultimo posto di x, y, z sostituto (hₒ, uₒ, zₒ).
Così, troviamo il valore assoluto dell'espressione risultante che è richiesta d.
Utilizzando le impostazioni della lingua, si ottiene l'ovvio:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).
Se un determinato punto Q0 è sull'altro lato del piano P come origine, tra il vettore ρ-ρ0 e v è un angolo ottuso, così:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) p & gt; 0.
Nel caso in cui il punto Q0 insieme con l'origine si trova sullo stesso lato della U, l'angolo generato è acuta, che è:
d = (ρ-ρ0, v) = p - (ρ0, v) & gt;0.
Il risultato è che nel primo caso (ρ0, v) & gt; p, il secondo (ρ0, v) & lt; p.
piano tangente e sua equazione
Quanto piano rispetto alla superficie nel punto di contatto Mº - un piano contenente tutte le possibili tangente alla curva disegnata attraverso quel punto della superficie.
In questo tipo di equazione della F di superficie (x, y, z) = 0 equazione del piano tangente al punto di tangenza Mº (Hº, uº, zº) sarebbe simile a questa:
Fx (Hº, uº, zº) (x Hº)+ Fx (Hº, uº, zº) (uº y) + Fx (Hº, uº, zº) (z-zº) = 0.
Se si specifica esplicitamente la superficie z = f (x, y), il piano tangente è descritta dall'equazione:
z zº = f (Hº, uº) (Hº x) + f (Hº, uº) (y- uº).
intersezione di due piani
nello spazio tridimensionale è un sistema di coordinate (rettangolare) Oxyz, in due piani P 'e P ", che si sovrappongono e non sono gli stessi.Dal momento che ogni piano, che si trova in un sistema di coordinate rettangolare è definito dalla equazione generale, supponiamo che n 'e n "è dato dalle equazioni A'x + + V'u S'z + D" = 0 e A "x + B" y +Con "D + z" = 0.In questo caso abbiamo normale n '(A', B ', C') del piano P 'e la normale n' (A ', B', C ') del piano P ".Come il nostro aereo non sono parallele e non coincidono, questi vettori non sono allineati.Usando il linguaggio della matematica, abbiamo questa condizione può essere scritta come: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * In ", λ * C"), λεR.Che la linea retta che si trova all'incrocio P 'e P ", viene indicata con la lettera A, in questo caso a = n' ∩ P".
a - questa è una diretta, costituito da un insieme di punti (totale) piani P 'e P ".Ciò significa che le coordinate di ogni punto appartenente alla linea e devono soddisfare simultaneamente l'equazione A'x + + V'u S'z + D '= 0 e A "x + B" y + C "z + D" = 0.Quindi, le coordinate del punto sarà una soluzione particolare le seguenti equazioni:
Il risultato è che la decisione (Generale) del sistema di equazioni determina le coordinate di ogni punto della linea, che sarà il punto di intersezione P 'e P ", e per determinare la diretta ein un Oxyz (rettangolare) spazio sistema di coordinate.
