מטוטלת: במהלך האצה ונוסחאות

מערכת מכאנית שמורכבת מנקודת חומר (הגוף), תלוי על חוט inextensible המשקל (המסה שלו היא זניחה בהשוואה למשקל של הגוף) בשדה הכבידה אחיד, הנקרא המטוטלת המתמטית (שם אחר - מתנד).ישנם סוגים אחרים של מכשירים.במקום חוט יכול לשמש מוט משקל.מטוטלת יכולה בבירור לחשוף את מהותם של רבים תופעות מעניינות.בתנודות משרעת נמוכות של תנועתו נקרא הרמוני.

הבנת המערכת המכנית תקופה פורמולה

של תנודה של המטוטלת היה bred הויגנס מדען ההולנדי (1,629-1,695 GG.).זה זמנו של אייזק ניוטון היה מאוד מחבב את המערכת המכנית.בשנת 1656 הוא יצר את השעון הראשון עם מנגנון מטוטלת.הם מדדו את הזמן בדייקנות קיצונית לאותם זמנים.המצאה זו הייתה צעד חשוב בפיתוח של ניסויים פיזיים ופעילות מעשית.

אם המטוטלת במצב שיווי המשקל שלה (תלוי בצורה אנכית), כוח הכובד מאוזנת בכח של מתח החוט.מטוטלת שטוחה בחוט שאינו מתיח היא מערכת עם שתי דרגות חופש עם קישור.אם תשנה רק מרכיב אחד ממאפייני השינוי של כל חלקיו.לכן, אם מחרוזת הוא הוחלף על ידי מוט, מערכת מכאנית אז נתנה היא רק דרגת חופש אחת.מה היו המאפיינים של מטוטלת מתמטית?במערכת פשוטה זו בהשפעת ההפרעות תקופתיות יש תוהו ובוהו.במקרה שבו הנקודה של השעיה לא זז, ונעה המטוטלת מופיע במיקום חדש של שיווי משקל.אם תנודות מהירות מעלה ומטה במערכת המכנית הופכת עמדה יציבה "הפוכה".כמו כן, יש שמה.זה נקרא מטוטלת Kapitza.יש

מטוטלת מטוטלת תכונות מאוד מעניינות.כולם נתמכים על ידי חוקי פיסיקה ידועות.תקופה של תנודה של המטוטלת אחרת תלויה בגורמים שונים, כגון גודל וצורה של הגוף, את המרחק בין נקודת השעיה ואת מרכז כובד, חלוקת משקל ביחס לנקודה זו.זו הסיבה שההגדרה של התקופה של הגוף התלוי היא די מאתגרת.זה הרבה יותר קל לחשב את התקופה של מטוטלת פשוטה, הנוסחה שהוא כדלקמן.כתוצאה מתצפיות של מערכות מכאניות כגון ניתן להגדיר חוקים כאלה:

• אם, תוך שמירה על אותו האורך של המטוטלת, הושעה עומסים שונים, תקופה של תנודה קיבלה את אותו, אם כי משקלם ישתנה באופן משמעותי.לכן, בתקופה של מטוטלת כזו אינה תלויה במסת העומס.

• אם המערכת מתחילה להסיט את המטוטלת היא לא גדולה מדי, אבל זוויות שונות, זה ינוע באותה תקופה אבל באמפליטודות שונות.כל עוד הסטייה מהמרכז של איזון היא לא תנודות גדולות מדי בצורתם קרובות מספיק הרמוניות.תקופה של המטוטלת אינה תלויה במשרעת התנודה.מאפיין זה של המערכת המכנית נקרא isochronism (ב" Chronos "היווני - זמן" Izosov "- שווה).תקופת

של מטוטלת פשוטה

נתון זה מייצג תקופה של תנודות טבעיות.למרות הניסוח המסובך, התהליך הוא מאוד פשוט.אם אורכו של החוט של L מטוטלת פשוט, וגרם תאוצת הכבידה, אז ערך זה הוא:

= 2π√L / g

תקופה קטנה T של תנודות טבעיות בשום אופן עצמאי מהמסה של המטוטלת והמשרעת של תנודה.במקרה זה, המטוטלת נעה כאורך מתמטי מכאן.תנודות

מטוטלת מתמטית

המטוטלת נעה, אשר יכול להיות מתוארת על ידי משוואת ההפרש פשוטה:

x + ω2 חטא x = 0,

כאשר x (t) - פונקציה לא ידועה (זה הזווית של סטייה ממצב שיווי המשקל הנמוךהזמן t, בא לידי ביטוי ברדיאנים);ω - קבועה חיובי, אשר נקבע על ידי הפרמטרים של המטוטלת (ω = √g / L, שבו גרם - הוא תאוצת הכובד, וL -. אורך של מטוטלת פשוטה (השעיה) משוואת

של תנודות קטנות ליד נקודת שיווי המשקל (משוואה הרמונית) הוא כדלקמן:..

x + ω2 חטא x = 0

תנועת רטט של מטוטלת

המטוטלת, מה שהופך את התנודות קטנות, נעו סינוסואידה משוואת ההפרש של הצו השני עומדת בכל הדרישות ופרמטרים של תנועה כזו כדי לקבוע את הנתיב שאתה צריך להגדיר את המהירות וקואורדינטות,שמאוחר יותר נקבעו הקבועים העצמאיים:

x = חטא (θ0 + ωt),

בי θ0 - השלב הראשוני, - המשרעת של תנודה, ω - תדר זוויתי, אשר נקבע מהמשוואה של תנועת

מטוטלת (הנוסחה לגדולה.אמפליטודות)

מערכת מכאנית זה, להפוך את התנודות שלהם עם משרעת משמעותית כפופה לחוקי תנועה מורכבים יותר.למטוטלת כזו שהם מחושבים על פי הנוסחא: חטא

x / 2 = u SN * (ωt / u),

בי SN - סינוס יעקובי, שעבור U & lt;1 הוא פונקציה מחזורית, ועבור U קטן זה עולה בקנה אחד עם סינוס טריגונומטריות הפשוט.ערכי U נקבעו על ידי הביטוי הבא:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

בי ε = E / mL2 (mL2 - אנרגיה של המטוטלת).

קביעת תקופת התנודה של מטוטלת קוי מבוצע על ידי הנוסחה:

T = 2π / Ω,

בי Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - אליפטי נפרד, π - 3,14.תנועת

מטוטלת על separatrix

נקראת מסלול separatrix של המערכת הדינמית, שבו מרחב שלב שני ממדים.המטוטלת נעה על noncyclic.בנקודת אינסוף רחוקה בזמן שהוא נופל מהעמדה העליונה בכיוון של מהירות אפס ואז צובר אותו בהדרגה.סופו של דבר נעצר, חוזר לעמדתו המקורית.

אם את המשרעת של תנודה של המטוטלת מתקרבת המספר π , זה מצביע על כך שהתנועה במישור השלב קרובה לseparatrix.במקרה זה, תחת השפעה של מערכת מכאנית כוח המניע התקופתי קטנה מפגין התנהגות כאוטית.

במקרה של מטוטלת פשוטה ממצב שיווי המשקל עם φ זווית מתרחש כובד משיק Fτ = φ חטא -mg.סימן "מינוס" פירושו שהרכיב משיק מופנה לצד השני של המטוטלת.במייעד ידי עקירת מטוטלת x לאורך הקשת של מעגל עם L רדיוס של העקירה הזוויתי שלה שווה לφ = x / ל 'החוק השני של ניוטון, המיועד לתחזיות של האצת הווקטור ולתת את הערך הרצוי:

מ"ג τ = Fτ = -mg חטא x / L

בהתבסס על יחס זה, ברורה שהמטוטלת היא מערכת ליניארית, כי הכוחאשר נוטה להחזיר אותו למצב של שיווי משקל לא תמיד פרופורציונאלי לעקירתם של x, וחטא x / ל '

רק כאשר המטוטלת המתמטית מבצעת תנודות קטנות, זה מתנד ההרמוני.במילים אחרות, הוא הופך להיות מערכת מכאנית מסוגלת לבצע תנודות הרמוניות.קירוב זה תקף לכמעט זוויות 15-20 מעלות.מטוטלת עם אמפליטודות גדולות היא לא הרמונית.החוק של

ניוטון לתנודות קטנות של מטוטלת

אם המערכת המכנית מבצע תנודות קטנות, החוק 2 של ניוטון ייראה כך:

מ"ג τ = Fτ = -m * x * g / L.

על בסיס זה, אנו יכולים להסיק כי ההאצה משיקה של מטוטלת פשוטה היא פרופורציונלית לעקירתה עם הסימן "מינוס".זהו מצב שבו המערכת הופכת מתנד הרמוני.הגורם מידתיות מודול בין העקירה וההאצה שווה לריבוע התדירות הזוויתית:

ω02 = g / L;ω0 = √ ז / ל '

נוסחה זו משקפת את התדר הטבעי של תנודות קטנות של סוג זה של מטוטלת.על בסיס זה,

T = 2π / ω0 = 2π√ גרם / ל 'חישובי

מבוסס על חוק שימור האנרגיה

של תנועת מטוטלת של המטוטלת ניתן לתאר בעזרת חוק שימור האנרגיה.יש לזכור שהאנרגיה הפוטנציאלית של המטוטלת בשדה הכבידה שווה ל: E = mgΔh = MGL (1 - cos α)

= mgL2sin2 α / 2

אנרגיה קינטית מכאנית מלאה שווה או פוטנציאל מרבי: Epmax = Ekmsx = E

לאחר שכתבת את חוק שימור האנרגיה, לוקח את הנגזרת של הצדדים שמאל וימין של המשוואה:

Ep + Ek = const

מאז הנגזר של הערכים קבועים שווה 0, אז (Ep + EK) '= 0. הנגזר הוא שווה לסכום שלנגזרי סכום:

Ep '= (מ"ג / * L X2 / 2)' = מ"ג / 2L * 2x * x '= מ"ג / ליטר V * + אק' = (MV2 / 2) = מ '/ 2 (v2)'= מ '/ 2 * 2V נ *' = MV * α,

כך:

Mg XV + MVA = V / L * (מ"ג / ליטר * x + M α) = 0.

מהנוסחא האחרונה אנו מוצאים:α = - g / L x *.

יישום מעשי של מטוטלת מתמטית האצת

בשל כוח הכבידה משתנה עם קו רוחב, בגלל הצפיפות של קרום כדור הארץ על פני כדור הארץ היא לא אותו הדבר.איפה רוק להתרחש עם צפיפות גבוהה יותר, זה יהיה קצת יותר גבוה.האצה של מטוטלת מתמטית משמשת לעתים קרובות לחקירה.במבקש את עזרתו של מגוון רחב של מינרלים.פשוט לספור את מספר התנודות של מטוטלת, ניתן למצוא בקרביו של פחם האדמה או עפרות.זאת בשל העובדה שיש לי משאבים אלה צפיפות ומסה גדולה יותר מאשר שוכב מתחת סלעים רופפים.מטוטלת מתמטית

בשימוש על ידי חוקרים בולטים כמו סוקרטס, אריסטו, אפלטון, פלוטארכוס, ארכימדס.רבים מהם האמינו שהמערכת המכנית יכולה להשפיע על הגורל והחיים של אדם.ארכימדס משמש מטוטלת מתמטית בחישוביו.כיום, מדיומים ותורת נסתר רבים להשתמש במערכת מכאנית זה ליישום נבואותיו, או החיפוש אחר חסר אנשים.

אסטרונום מפורסם צרפתי ומדען ק Flammarion למחקרם משמשים גם המטוטלת המתמטית.הוא טען שבעזרתו הוא יכול היה לחזות את גילוי כוכב לכת חדש, המראה של מטאוריט טונגוסקה, ואירועים חשובים נוספים.במהלך מלחמת העולם השנייה בגרמניה (ברלין) הוא מוסד מיוחד של המטוטלת.היום, מחקר כזה עוסק מכון מינכן לפאראפסיכולוגיה.עבודתו עם מטוטלת צוות של המוסד הזה שנקרא "radiesteziey."