מספרים אמיתיים ותכונותיהם

פיתגורס טען כי המספר הוא היסוד של העולם על בסיס שווה עם האלמנטים הבסיסיים.אפלטון האמין כי מספר קישורי התופעה וnoumenon, עוזר לדעת, להישקל ולהסיק מסקנות.אריתמטיקה מגיעה מהמילה "arifmos" - המספר, תחילת התחילה במתמטיקה.אפשר לתאר את כל אובייקט - מיסודי ועד לחללים מופשטים תפוח.

צריך כגורם של

בשלבים הראשונים של החברה זקוק לאנשים מוגבלים על ידי הצורך לשמור ציון -. שקית אחת של דגנים, שני שקי גרעינים, וכן הלאה ד כדי לעשות זאת, זה היה מספרים טבעיים, הקבוצה של שהוא רצף אינסופי של מספרים שלמים וחיובייםנ

מאוחר יותר, עם התפתחותה של מתמטיקה כמדע, היה צורך להפריד את תחום Z המספרים השלמים - זה כולל ערכים שליליים ואפס.הופעתו ברמת משק הבית הייתה מופעלת על ידי העובדה שהטיפול החשבונאי הראשוני היה לתקן איכשהו חובות והפסדים.ברמה המדעית, מספרים שליליים עשו את זה ניתן לפתור משוואות ליניארי פשוט.בין היתר, ניתן כיום לתמונה של מה בכך מערכת קואורדינטות, כלומר. א היה נקודת ההתייחסות.

הצעד הבא היה הצורך להזין מספרים חלקיים, משום שהמדע אינו עומד עדיין, יותר ויותר גילויים חדשים דרשו בסיס תיאורטי לצמיחת דחיפה חדשה.אז היה שדה של מספרים רציונליים ש

לבסוף, כבר לא עומדים בדרישות של רציונליות, כי כל הממצאים החדשים דורשים הצדקה.יש תחום R מספרים האמיתי, היצירות של בלעדיות אוקלידס של כמויות מסוימות בגלל חוסר ההיגיון שלהם.כלומר, מספר המתמטיקה היוונית ממוקם לא רק כקבוע, אלא כערך מופשט, המתאפיין ביחס בהירויות אינן עולות בקנה.בשל העובדה כי יש מספר אמיתי, "ראה את האור" כמויות כגון "pi" ו- "E", שבלעדיו המתמטיקה מודרנית לא הייתה לוקח מקום.

החדשנות הסופית הייתה ג מספר מורכב זה ענה על סדרת השאלות והפריך הנחות נכנסו בעבר.בשל ההתפתחות המהירה של תוצאות אלגברה היה צפויה - עם מספרים אמיתיים, את ההחלטה של ​​בעיות רבות לא הייתה אפשרית.לדוגמא, עם מספרים מורכבים בלטה תורת מיתרים וכאוס הרחיב את המשוואות של hydrodynamics.תיאורית

סט.מושג החזן

של אינסוף תמיד גרם למחלוקת מאז אי אפשר היה להוכיח או להפריך.בהקשר של מתמטיקה, אשר מופעל הנחות מאומתות בקפדנות, זה בא לידי ביטוי באופן הברור ביותר, במיוחד לאור עובדת ההיבטים התיאולוגיים עדיין שקלו במדע.

עם זאת, דרך העבודה של מתמטיקאי גיאורג קנטור כל הזמן נפל למקומו.הוא הוכיח שיש סט אינסופי של קבוצה אינסופית, וכי השדה הוא גדול יותר מאשר N R השדה, ולתת לשניהם אין להם סוף.באמצע המאה התשע עשרה, את הרעיונות שלו קראו בקול רם שטויות ופשע נגד קנונים משתנים קלאסיים, אבל זמן יהיה לשים כל דבר במקומו.

מאפיינים בסיסיים של השדה מספרים ממשיים R

יש לא רק את המאפיינים כמו podmozhestva שהם כוללים, אך בתוספת אפקט אחר masshabnosti מרכיביה:

• אפס קיים ושייך לג ר 'השדה + 0 =ג לכל ג של ר '
• אפס קיים ושייך לר' שדה ג x 0 = 0 לכל ג יחס ר '
• של ג: ד אם היית ≠ 0 קיימים ותקף לכל ג, ד של ר'
• גולף R הוא הורה, כלומר, אם ד ≤ ג, ≤ ד ג, אז c = d לכל ג, ד של ר '
• התוספת בR הוא חלופי, כלומר, C + D = D + C לכל ג,ד של כפל ר '
• בR הוא חלופי, כי הוא x ג ד = ד x ג לכל ג, ד של ר'
• התוספת בR הוא אסוציאטיבי, כלומר, (ד ג +) + = c f+ (ד + ו) לכל C, D, F של כפל ר '
• בR הוא אסוציאטיבי לדוגמא (ד x ג) x f = x ג (ו x ד) לכל C, D, F של R.
• לכל אחד מתחומי המחקר יש את היפוכה, כך ש+ C (-c) = 0, כאשר c, -c מר '
• עבור כל מספר של השדה יש ​​R הפוך כך שx ג C-1 = 1, שבו ג, ג-1 של ר '
• יחידה קיים ושייך לR, כך שג x 1 = ג, ג לכל החוק חלוקתי תקף ר'
• , כך שx ג (ו ד +) = F x ג ד x + C, לכל C, D, F של ר '
• בR לא שווה לאפס לאחדות.
• גולף R הוא ארעי: אם ד ≤ ג, ד ≤ f, אז ג ≤ f לכל C, D, F של ר '
• בצו של R ותוספת של קשורים: אם ד ≤ ג, אז ג + F ≤ו ד + לכל C, D, F של הליך כפל שדה ר '
• R וצמוד: אם 0 ≤ ג, 0 ≤ d, אז ד x 0 ≤ ג לכל ג, ד של ר'
• כשליליומספרים ממשיים חיוביים הם רציפים, כלומר, לכל C, D של R קיים f בR, כך שג ≤ f ≤ d.מודול

במספרים האמיתיים R

כולל דבר מודול כזה.היא מציינת שני | f | f לכל ר '| F | = F, אם 0 ≤ f ו| F | = -f, אם 0 & gt;ו.אם ניקח בחשבון את המודול כערך גיאומטרי, הוא מייצג את המרחק שעבר - בין אם "עבר" אתה אפס בשלילה לחיוב או לקדימה.מספרי מרוכבים ואמיתיים

.מהם קווי הדמיון וההבדלים?

ובמספרים גדולים, מורכבים ואמיתיים - הוא אותו הדבר, פרט לכך שהראשון הצטרף ליחידה הדמיונית אני, כיכר שהיא -1.אלמנטי שדות R ויכול להיות מיוצג על ידי C הנוסחה הבאה: ג

• = D + F x i, שבו ד, ו שייך לR השדה, ואני - יחידה דמיונית.

כדי לקבל את ג מו R, במקרה זה פשוט נחשב לאפס, כלומר, יש חלק האמיתי היחיד של המספר.בגלל תחום המורכב יש את אותה התכונה מוגדרת כתחום נדל, ו x i = 0 אם f = 0.

רואה הבדלים מעשיים, למשל במשוואה ריבועית R לא ניתן לפתור אם שלילי המבחיןואילו בתחום C אינו מטיל מגבלה כזו עקב כניסתה של היחידה הדמיונית i.

תוצאות "לבנים"

של אקסיומות והנחות שעל המתמטיקה לא משתנות.על חלק מהם כתוצאה מהעלייה של מידע וכניסתה של תאוריות החדשות הניח את "הלבנים" הבאים שעלול להיות הבסיס לצעד הבא.לדוגמא, מספרים טבעיים, למרות שהם קבוצת משנה של R השדה האמיתי, לא יאבדו את הרלוונטיות שלהם.זה על הבסיס של כולם בחשבון היסודי, שמתחיל את הידע של איש שלום.

מנקודת מבט מעשית, המספרים האמיתיים נראים קו ישר.ניתן לבחור את הכיוון, מגדיר את מוצאם ומגרש.ישיר מורכב ממספר אינסופי של נקודות, שכל אחד מן תואם את מספר אמיתי יחיד, ללא קשר לשאלה אם זה הגיוני או לא.מהתיאור זה ברור על המושג, שמתמטיקה מבוססת באופן כללי, וניתוח מתמטי בפרט שאנחנו מדברים.