-Line - is een speciaal geval van een vierhoek die een paar van parallelle zijden heeft.De term "Keystone" is afgeleid van het Griekse woord τράπεζα, wat "tafel", "tafel".In dit artikel beschouwen we de soorten trapeze en zijn eigenschappen.Ook kijken we naar hoe de individuele elementen van de geometrische figuur te berekenen.Bijvoorbeeld, de diagonaal van een gelijkzijdige trapezium, de middelste lijn, gebied, en anderen. Het materiaal wordt gepresenteerd in de stijl van de populaire elementaire meetkunde, t. E. In een gemakkelijk toegankelijke vorm.
Algemene
Laten we eerst begrijpen wat de vierhoek.Deze figuur is een speciaal geval van een veelhoek met vier zijden en vier hoekpunten.Twee hoekpunten van de vierhoek die niet grenzen aan zijn tegenover genoemd.Hetzelfde kan gezegd worden van de twee niet-aangrenzende zijden.De belangrijkste soorten vierhoeken - een parallellogram, rechthoek, ruit, vierkant, trapezium en deltaspier.
Dus terug naar de trapeze.Zoals we al zeiden, dit cijfer de twee kanten zijn parallel.Ze zijn genaamd bases.De andere twee (niet-parallel) - zijden.De materialen van de verschillende analyses en onderzoeken heel vaak kunt u de taken in verband met trapeziums waarvan de oplossing vereist vaak de kennis van de student, wordt niet geleverd door het programma te vinden.De school geometrie cursus introduceert studenten om de eigenschappen van de hoeken en diagonalen en de middellijn van een gelijkbenige trapezium.Maar anders dan dat verwees naar een geometrische figuur heeft andere kenmerken.Maar over hen later ...
trapeze
Soorten Er zijn vele soorten van deze figuur.Echter, de meeste overeengekomen om te overwegen twee van hen - gelijkbenige en rechthoekige.
1. rechthoekige trapezium - een figuur waarin een van de zijden loodrecht op de basis.Ze heeft twee hoeken zijn altijd negentig graden.
2. gelijkbenige trapezium - een geometrische figuur waarvan de zijden gelijk zijn.En dat betekent, en de hoeken aan de basenparen als gelijke.
belangrijkste principes van methoden voor het bestuderen van de eigenschappen van een trapezium
de basisprincipes omvatten het gebruik van de zogenaamde taak aanpak.In feite is er geen noodzaak tot een theoretische cursus Geometrie van nieuwe eigenschappen van dit cijfer te gaan.Ze kunnen openen of het formuleren van de verschillende taken (beter systeem).Het is zeer belangrijk dat de leraar weet wat taken die u nodig hebt op een gegeven moment van het onderwijsproces in de voorkant van de studenten aan te zetten.Bovendien kan elke eigenschap trapeze worden voorgesteld als een belangrijke taak in de taak.
Het tweede principe is de zogenaamde spiraalvormige ordening van de studie "opmerkelijk" eigenschap trapeze.Dit impliceert een terugkeer naar de werkwijze van het leren van de verschillende bestanddelen van de geometrische figuur.Zo is het makkelijker voor studenten om ze te onthouden.Bijvoorbeeld vier kenmerkende punten.Het kan worden bewezen als in de studie van overeenkomst en vervolgens met de vectoren.En gelijke driehoeken nabij de zijden van de figuur, is het mogelijk aan te tonen, gebruik niet alleen de eigenschappen van driehoeken met gelijke hoogte, naar de zijkant, die op een rechte lijn liggen uitgevoerd, maar ook door de formule S = 02/01 (ab * sinα).Daarnaast is het mogelijk om uit te werken van de wet van Sines ingeschreven op de trapeze of een rechthoekige driehoek beschreven op de trapeze, etc. D.
gebruik van de "buitenschoolse" is voorzien van een geometrische figuur in de inhoud van de school natuurlijk -. Tasking is de technologie van hun onderwijs.Constant verwijzing naar de eigenschappen van de doorgang van de overige onderzoeken de leerlingen de trapeze diepere kennis en geeft de oplossing van taken.Dus, gaan we naar de studie van deze opmerkelijke figuur.
elementen en eigenschappen van een gelijkbenige trapezium
Zoals we hebben opgemerkt, in dit meetkundige figuur de zijkanten zijn gelijk.Toch is het bekend als een recht trapezium.En wat is ze zo opmerkelijk en waarom zijn naam kreeg?De bijzondere kenmerken van deze figuur vertelt dat ze niet alleen gelijke zijden en hoeken aan de basis, maar ook diagonaal.Bovendien zijn de hoeken van een gelijkbenig trapezium is gelijk aan 360 graden.Maar dat is niet alles!Van alle gelijkbenige trapezium slechts rond een cirkel te beschrijven.Dit komt door het feit dat de som van tegengestelde hoeken in de figuur is 180 graden, maar alleen wanneer deze voorwaarde kan worden omschreven door een cirkel rond de quad.De volgende eigenschappen van geometrische figuren wordt aangenomen dat de afstand van de bovenkant van de basis tegenover de projectie van de vertex op een rechte lijn die bevat deze basis zal gelijk zijn aan de middellijn zijn.
Laten we nu eens kijken hoe de hoeken van een gelijkbenige trapezium vinden.Neem bijvoorbeeld oplossingen voor dit probleem, mits de bekende afmetingen van de zijden van de figuur.
beslissing
meestal rechthoek wordt aangeduid met de letters A, B, C, D, waarbij BC en AD - een stichting.De gelijkbenig trapezium zijden gelijk.We nemen aan dat X is gelijk aan de grootte en de grootte van de basis is Y en Z (kleinere en grotere, respectievelijk).Voor het uitvoeren van de berekening van de hoek moet houden in hoogte H. Het resultaat is een rechthoekige driehoek ABN, waarbij AB - de hypotenusa en de BN en AN - poten.We berekenen van de grootte van het been AN: Met draait base steeds het resultaat wordt gedeeld door 2. We schrijven als formule: (zy) / 2 = F. Nu, voor de berekening van de scherpe hoek van de driehoek gebruiken we de functie cos.We krijgen de volgende vermelding: cos (β) = X / F.Nu berekenen we de hoek: β = arcos (X / F).Β - 180: verder, wetende een hoek, kunnen we de tweede te bepalen, want het is elementaire rekenkundige bewerking.Alle hoeken worden gedefinieerd.
Er is een tweede oplossing voor dit probleem.Begin we weglaten van hoek tot de waarde van de hoogte H. been BN berekenen.We weten dat het kwadraat van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de som van de kwadraten van de beide andere zijden.We krijgen: BN = √ (X2 F2).Vervolgens gebruiken we de goniometrische functie tg.Het resultaat is: β = arctg (BN / F).Scherpe hoek gevonden.Vervolgens definiëren we een stompe hoek gelijk aan de eerste methode.
eigendom diagonalen van een gelijkbenige trapezium
schrijf de eerste vier regels.Als de diagonaal in een gelijkbenige trapezium loodrecht, dan:
- de hoogte van het bedrag is de som van de bases, gedeeld door twee;
- de hoogte en de middelste lijn zijn gelijk;
- gebied van een trapezium is gelijk aan het kwadraat van de lengte (de middelste lijn, de halve som van de basen);
- diagonale plein is de helft van de som van het kwadraat van bases of twee keer het kwadraat van de gemiddelde lijn (hoogte).
nu eens de formule bepalen van de diagonaal van een gelijkzijdige trapezium.Dit stuk van informatie kan worden onderverdeeld in vier delen:
1. Formule lengte schuin tegenover haar.
aanvaard dat een - lagere base, B - bovenste C - gelijke zijden, D - diagonaal.
D = √ (C 2 + A * B): In dit geval kan de lengte als volgt bepaald.
2. Formule voor de lengte van de diagonaal van de wet van de gezelligheid.
aanvaard dat een - lagere base, B - bovenste C - gelijke zijden, D - diagonaal, α (op de lagere basis) en β (de bovenste basis) - de hoeken van een trapezium.We krijgen de volgende formule, waarmee u de lengte van de diagonaal te berekenen:
- D = √ (A2 + S2-2A * Aan * cosa);
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosa).
3. Formule lengten van de diagonalen van een gelijkbenig trapezium.
aanvaard dat een - lagere base, B - bovenste, D - diagonaal, M - middelste lijn, H - hoogte, P - de oppervlakte van een trapezium, α en β - de hoek tussen de diagonalen.Bepaal de lengte van de volgende formules:
- D = √ (M2 + H2);
- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);
- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2 M + H / sinα).
Adhoc gelijkheid: sinα = sinβ.
4. Formule diagonaal over de lengte en de hoogte van het onderdeel.
aanvaard dat een - lagere base, B - bovenste C - kanten, D - diagonaal, H - hoogte, α - hoek van de onderste basis.
Bepaal de lengte van de volgende formules:
- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);
- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);
- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C 2 H 2)).
elementen en eigenschappen van rechthoekige trapezium
Laten we eens kijken wat dit is interessant geometrische vormen.Zoals we hebben gezegd, hebben we een rechthoekige trapezium twee rechte hoeken.
Naast de klassieke definitie, zijn er anderen.Bijvoorbeeld, een rechthoekig trapezium - een trapezium, waarvan één zijde loodrecht op de substraten.Of vormen met aan de zijkant hoeken.In dit type trapezoïden hoogte is de zijde die loodrecht staat op de basis.De middelste lijn - een segment aansluiten van de middens van de twee kanten.De eigenschap van het element is dat het parallel aan de basis, en is gelijk aan de helft van hun som.
Laten we nu eens kijken naar de basis-formules die de geometrische vormen te definiëren.Hiervoor we aannemen dat de A en B - base;C (loodrecht op de basis) en D - het deel van de rechthoekige trapezium, M - middellijn, α - een scherpe hoek P - Square.
1. De zijde loodrecht op de basis, een bedrag gelijk aan de hoogte (C = N), en is gelijk aan de lengte van de tweede zijde A en de sinus van de hoek α een hogere basis (C = A * sinα).Bovendien is gelijk aan het product van de tangens van de scherpe hoek α en de verschillende basen: C = (A-B) * tgα.
2. De zijde van het D (niet loodrecht op de basis) gelijk aan het quotiënt van het verschil tussen A en B en de cosinus (α) een scherpe hoek of een particuliere figuur hoogte H en sinus scherpe hoek: A = (A-B) / cos α = C / sinα.
3. De zijde die loodrecht staat op de basis gelijk is aan de vierkantswortel van het verschil tussen de rechte D - tweede zijde - en het kwadraat van het verschil tussen de bases:
C = √ (q2 (AB 2)).
4. Partij A rechthoekig trapezium is gelijk aan de vierkantswortel van de som van het kwadraat van zijde C en het verschil tussen de vierkante basis van geometrische vormen: D = √ (C2 + (A-B) 2).
5. De zijkant van C gelijk is aan het quotiënt van de som van de dubbele stippellijn de redenen: C = P / M = 2n / (A + B).
6. Ruimte gedefinieerd door het product M (middelste lijn van een rechthoekig trapezium) aan de hoogte of de zijkant, loodrecht op de basis: P = M * N = M * C.
7. Partij C is gelijk aan het quotiënt van twee keer de oppervlakte van de figuur in het werk van de sinus scherpe hoek en de som van zijn basissen: C = P / M * sinα = 2n / ((A + B) * sinα).
8. Formule kant van de rechthoekige trapezium over zijn diagonaal en de hoek tussen hen:
- sinα = sinβ;
- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,
waarbij D1 en D2 - schuin trapezoïde;α en β - de hoek tussen hen.
9. Formule zijkant door een hoek van het onderste basis en de andere partijen: D = (A-B) / cosa = C / sinα = N / sinα.
Aangezien trapezium met een rechte hoek is een speciaal geval van de trapezoïde, de andere formules dat deze cijfers bepaald ontmoeten en rechthoekig.
Properties ingeschreven cirkel
Als de voorwaarde wordt gezegd dat in een rechthoekig trapezium ingeschreven cirkel, kunt u gebruik maken van de volgende eigenschappen:
- het bedrag is de som van de bases zijden;
- de afstand van de top van een rechthoekige vorm om de contactpunten van de ingeschreven cirkel steeds gelijk;
- gelijk aan de hoogte van de trapezoïde zijde loodrecht op de basis, en is gelijk aan de diameter van de cirkel;
- middelpunt van de cirkel het punt waarop snijdt middelloodlijnen van de hoeken;
- wanneer de side is verdeeld in segmenten van het contactpunt H en M, dan de straal van de cirkel gelijk aan de vierkantswortel van het product van deze segmenten;
- vierhoek, waarbij de contactpunten gevormd, waarbij de top van de trapezoïde en het middelpunt van de ingeschreven cirkel - een vierkant met zijden gelijk aan de straal;
- gebied van het cijfer is gelijk aan het product van een half-sum basis en de gronden voor de hoogte.
Vergelijkbare trapeze
Dit onderwerp is zeer nuttig voor de studie van de eigenschappen van geometrische figuren.Bijvoorbeeld, diagonaal gesplitst trapeze in vier driehoeken, en grenzend aan de bases gelijk zijn, en de zijkanten - bij gelijke.Deze verklaring kan een eigenschap van driehoeken, die zijn gebroken trapeze haar diagonalen worden genoemd.Het eerste deel van deze verklaring wordt bewezen door de vermelding van overeenkomsten in de twee hoeken.Om te bewijzen het tweede deel beter de onderstaande methode gebruikt.
Het bewijs
aanvaard dat het cijfer ABSD (AD en BC - de basis van de trapezium) is gebroken diagonalen HP en AC.Het snijpunt - O. We krijgen vier driehoeken: AOC - aan de onderste basis, BOS - aan de bovenbasis, ABO en SOD aan de zijkanten.Driehoeken SOD en biofeedback een gemeenschappelijke lengte in dat geval, indien de segmenten Cd en OD hun bases.We vinden dat het verschil in hun gebieden (P) is gelijk aan het verschil tussen deze segmenten: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Vandaar PSOD PBOS = / K.Ook de driehoeken AOB en biofeedback een gemeenschappelijke hoogte.Wij accepteren hun basissegmenten SB en OA.We krijgen de PBOS / PAOB = CO / OA = K en PAOB PBOS = / K.Hieruit volgt dat PSOD = PAOB.
Consolidatie materiaal wordt aanbevolen voor studenten om een verbinding tussen de gebieden van driehoeken verkregen, welk wordt broken trapeze diagonalen, beslissen de volgende taak te vinden.Het is bekend dat driehoeken BOS en ADP gebieden gelijk zijn, moet u de oppervlakte van een trapezium te vinden.Sinds PSOD = PAOB, dan PABSD PBOS + = PAOD + 2 * PSOD.Uit de gelijkenis van driehoeken BOS en ADP blijkt dat BO / OD = √ (PBOS / PAOD).Bijgevolg PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD).We krijgen de PSOD = √ (* PBOS PAOD).Dan PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.
Properties gelijkenis
Continuing om dit thema te ontwikkelen, kunt u bewijzen dat de andere interessante kenmerken van de trapezoïden.Dus, door de gelijkenis kan pand gedeelte dat door het punt wordt gevormd door het snijpunt van de diagonalen van de geometrische figuur geeft blijken, evenwijdig aan de basis.Om dit te doen zal het volgende probleem op te lossen: je nodig hebt om de lengte van het segment van de RK, die door het punt O. Uit de gelijkenis van driehoeken ADP en biofeedback passeert vinden volgt dat AO / OS = BP / BS.Uit de gelijkenis van driehoeken ADP en ASB volgt dat AB / AC = PO / BS = AD / (BS + BP).Dit houdt in dat PO = BS * BP / (BS + BP).Ook uit de gelijkenis van driehoeken MLC en DBS volgt dat OK = BS * BP / (BS + BP).Dit houdt in dat PO = OK en RK = 2 * BS * BP / (BS + BP).Het segment die door het snijpunt van de diagonalen, evenwijdig aan de basis en die de twee kanten van de verdeelde snijpunt van twee.De lengte - het harmonisch gemiddelde van de bases van de figuur.
Beschouw de volgende kwaliteit trapezium, die eigendom zijn van de vier punten wordt genoemd.De snijpunten van de diagonalen (D), de snijpunten verder zijkanten (E) en de middelste base (T en G) steeds op dezelfde lijn liggen.Dit wordt gemakkelijk aangetoond door gelijkenis.Deze driehoeken BES en AED vergelijkbaar, en in elk daarvan en de mediane ET HEDGEHOG verdelen de tophoek E in gelijke delen.Bijgevolg is het punt E, T en F zijn collineair.Ook op dezelfde lijn zijn gerangschikt in termen van T, O en P. Dit volgt uit de gelijkvormigheid van driehoeken BOS en ADP.Daarom concluderen we dat alle vier de punten - E, T, O en F - op een rechte lijn zal liggen.
met vergelijkbare trapeziums, kunnen worden aangeboden aan studenten om de lengte van het segment (LF), die verdeelt in twee vergelijkbare cijfer te vinden.Dit segment moet parallel aan de bases zijn.Sinds verkregen trapeze ALFD en LBSF vergelijkbaar, de BS / LF = LF / AD.Dit impliceert dat de LF = √ (BS * BP).We vinden dat het segment breken als een trapezium in twee, over een lengte gelijk aan de geometrische gemiddelde lengte van de basis figuur.
Beschouw de volgende eigenschap van overeenstemming.Het is gebaseerd op het segment, dat het trapeziumvormig verdeelt in twee gelijke stukken snijden.We accepteren dat Keystone ABSD segment is verdeeld in twee als NL.Vanaf de top van de B verlaagde de lengte van dat segment bestaat uit twee delen NL - B1 en B2.We krijgen PABSD / 2 = (NEN-EN +) * B1 / 2 = (AD + NL) * B2 / 2 = PABSD (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Volgende samenstellen van het systeem, de eerste vergelijking is (NEN-EN +) * B1 = (AD + NL) * B2 en de tweede (NEN-EN +) * B1 = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Hieruit volgt dat B2 / B1 = (BS EH +) / (AD + EH) en NEN-EN + = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1).We vinden dat de lengte van het segment, het verdelen van de trapezoïde in twee gelijke grootte, gelijk aan de gemiddelde kwadratische lengte van de basis: √ ((BS2 + w2) / 2).
Conclusies gelijkenis
dus we hebben aangetoond dat:
1. De lijn lijnstuk dat in het midden van de trapezoïde kanten, evenwijdig aan AD en BC en is gelijk aan het gemiddelde BC en AD (de lengte van de basis van het trapezium).
2. De lijn door het snijpunt van de parallel diagonalen AD en BC gelijk aan het harmonisch gemiddelde BP nummers en BS zal zijn (2 * BS * BP / (BS + BP)).
3. Snijd, breken op de trapeze, zoals, heeft een lengte van het meetkundig gemiddelde van de bases BC en AD.
4. Het element dat de figuur verdeelt in twee gelijke omvang een lengte van gemiddeld kwadraatgetallen van AD en BC.
Om het materiaal en het begrip van verbanden tussen de segmenten van de student te consolideren is het noodzakelijk om ze te bouwen voor een bepaald trapeze.Wat betekent het?
