Regelmatige veelvlakken: elementen, symmetrie en omgeving

Geometry is mooi, want in tegenstelling tot de algebra, die niet altijd duidelijk als wat je denkt, geeft een visueel object.Deze prachtige wereld van verschillende organen sieren de regelmatige veelvlakken.

Inzicht regelmatige veelvlakken

Volgens vele, regelmatige veelvlakken, of zoals ze worden genoemd de Platonische lichamen hebben unieke eigenschappen.Met deze objecten verbonden verschillende wetenschappelijke hypothesen.Wanneer je begint met de geometrische gegevens van het lichaam te bestuderen, besef je dat bijna niet weet niets over een dergelijk concept als de regelmatige veelvlakken.De presentatie van deze objecten in de school is niet altijd interessant, zoveel zelfs niet herinneren wat ze werden genoemd.In het geheugen van de meeste mensen is het gewoon een kubus.Geen van de lichamen in de meetkunde niet zoals perfectie als regelmatige veelvlakken bezitten.Alle namen van deze geometrische lichamen afkomstig uit het oude Griekenland.Zij vertegenwoordigen het aantal gezichten: de tetraëder - vierzijdige, hexahedron - Allen, octahedron - octaëder, dodecahedron - dodecaëdervorm, icosahedron - icosahedrale.Al deze geometrische lichaam neemt een belangrijke plaats in Plato's opvatting van het universum.Vier van hen belichamen elementen of entiteiten: de tetraëder - brand icosaëder - Water Cube - aarde, octahedron - lucht.Dodecaëder belichaamde alle dingen.Hij werd beschouwd als de belangrijkste, omdat hij een symbool van het universum was.

veralgemening van het concept van een veelvlak

veelvlak is een set van eindig aantal polygonen zodanig dat:

weerszijden van elk van de polygonen is ook de partij van slechts één andere veelhoek aan dezelfde kant;
uit elk van de polygonen kan worden bereikt door te gaan naar de andere aangrenzende veelhoeken met hem.

polygonen waaruit het veelvlak zijn de gezichten en hun kant - ribben.Hoekpunten van zijn hoekpunten van de polygonen.Als u begrijpt het concept van een veelhoek vlakke gesloten polylijnen, kom dan naar een definitie van een veelvlak.In het geval dat dit begrip dat deel van het vlak dat wordt begrensd door de stippellijnen, is het noodzakelijk om te begrijpen het oppervlak, bestaande uit veelhoekige stukken.Convex veelvlak heet lichaam liggend op een zijde van het vlak, naast de zijden.

andere definitie van een veelvlak en de elementen

veelvlak is een oppervlak dat bestaat uit polygonen, waarin de geometrische lichaam beperkt.Ze zijn:

niet rond;
convexe (goed en slecht).

regelmatige veelvlak - convex veelvlak met maximale symmetrie.Elementen van regelmatige veelvlakken:

tetraëder 6 randen, 4 gezichten, 5 hoekpunten;
hexahedron (kubus) 12, 6, 8;
dodecaëder 30, 12, 20;
Octahedron 12, 8, 6;
icosahedron: 30, 20, 12.

Euler stelling

Het legt een relatie tussen het aantal randen, hoekpunten en gezichten zijn topologisch gelijkwaardig aan een bol.Het toevoegen van het aantal hoekpunten en vlakken (B + D) in verschillende regelmatige veelvlakken en te vergelijken met het aantal ribben, kunt u een regelset: de som van het aantal vlakken en hoekpunten gelijk aan het aantal randen (F), verhoogd met 2. U kunt een eenvoudige formule te geven:

B + F = P + 2.

Deze formule geldt voor alle convexe veelvlakken.

Basisdefinities

concept van een regelmatige veelvlak is onmogelijk te beschrijven in één zin.Het is een multi-waarde en volume.Een lichaam wordt als zodanig erkend, is het noodzakelijk dat het voldoet aan een aantal definities.Zo zal de geometrische lichaam een regelmatige veelvlak in de uitvoering van deze voorwaarden zijn:

is rond;
hetzelfde aantal ribben samen in elk van de hoekpunten;
alle facetten ervan - regelmatige veelhoeken, gelijk aan elkaar;
alle standhoeken gelijk.

eigenschappen van regelmatige veelvlakken

Er zijn 5 verschillende soorten regelmatige veelvlakken:

Cube (hexahedron) - het heeft een vlakke hoek bij de top is 90 °.Het heeft een 3-zijdige hoek.De som van de vlakke hoeken op het puntje van 270 °.
Tetrahedron - vlakke hoek aan de top - 60 °.Het heeft een 3-zijdige hoek.De som van de vlakke hoeken bij de apex - 180 °.
Octaëder - vlakke hoek aan de top - 60 °.Het heeft een 4-zijdige hoek.De som van de vlakke hoeken bij de apex - 240 °.
dodecahedron - een vlakke hoek op de top van 108 °.Het heeft een 3-zijdige hoek.De som van de vlakke hoeken bij de apex - 324 °.
icosahedron - zijn flat hoek aan de top - 60 °.Het heeft 5-zijdige hoek.De som van de vlakke hoeken op het puntje van 300 °.

Gebied

regelmatige veelvlakken Het oppervlak van geometrische vaste stoffen (S) wordt berekend als de oppervlakte van een regelmatige veelhoek, vermenigvuldigd met het aantal van zijn vlakken (G):

S = (a: 2) x 2G CTG π / p.

volume van een regelmatige veelvlak

Deze waarde wordt berekend door het volume van een regelmatige piramide waarvan de basis een regelmatige veelhoek, het aantal vlakken vermenigvuldigen, en de hoogte is de straal van de ingeschreven bol (r):

V = 1: 3 V.

volume van regelmatige veelvlakken

Net als elke andere geometrische vaste, regelmatige veelvlakken hebben verschillende volumes.Hieronder zijn de formules waarmee ze kunnen worden berekend:

tetraëder: α x 3√2: 12;
octahedron: α x 3√2: 3;
icosahedron;α x 3;
hexahedron (kubus): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
dodecaëder: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elements regelmatige veelvlakken

hexahedron en octaëder zijn dual geometrische lichamen.Met andere woorden, kunnen ze uit elkaar indien het zwaartepunt van een is genomen als de bovenkant van de andere, en vice versa.Ook is de dubbele icosahedron en dodecahedron.Alleen ikzelf tetraëder is tweeledig.Bij wijze van Euclid van een dodecaëder hexahedron kan worden verkregen door de aanleg van "dak" op de gezichten van de kubus.De hoekpunten van de tetraëder zijn elk 4 hoekpunten van de kubus, niet aangrenzende paren ribben.Uit hexahedron (kubus) kan worden verkregen, en andere regelmatige veelvlakken.Ondanks het feit dat regelmatige veelhoeken hebben talloze, regelmatige veelvlakken, zijn er slechts 5.

stralen van regelmatige veelhoeken

Met elk van deze geometrische lichamen verbonden 3 concentrische bollen:

beschreven die door zijn top;
ingeschreven met betrekking tot elk van de gezichten in het midden ervan;
mediaan betreffende alle kanten in het midden.

straal van de bol wordt berekend zoals beschreven door de volgende formule:

R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

straal van de ingeschreven bol wordt als volgt berekend:

R = a: 2 x CTGπ / p x tg θ: 2,

waarbij θ - tweevlakshoek, dat zich tussen de aangrenzende vlakken.

gemiddelde straal van de bol kan worden berekend met de volgende formule:

ρ = a cos π / p: 2 sin π / h,

waarde waarbij h = 4,6, 6,10, of 10. De verhouding van de stralen beschreven en ingeschrevensymmetrisch ten opzichte van p en q.Het wordt berekend door de formule:

R / r = tg π / p x tg π / q.

Symmetry Symmetry veelvlakken

regelmatige veelvlakken is van primair belang om deze geometrische lichamen.Het is duidelijk als een beweging van een lichaam in de ruimte, die hetzelfde aantal hoekpunten en kanten bladeren.Met andere woorden, onder invloed van symmetrietransformaties edge, vertex, gezicht of behoudt zijn oorspronkelijke positie, of beweegt naar de startpositie van een rib, het andere hoekpunten of vlakken.

regelmatige veelvlakken symmetrie elementen voor alle soorten geometrisch lichaam gemeen.Hier wordt uitgevoerd op de identiteit transformatie, die alle plaatsen bladeren in de oorspronkelijke positie.Dus, door het roteren van de veelhoekige prisma kan meerdere symmetrieën ontvangen.Elk van deze kan worden voorgesteld als het product van reflecties.De symmetrie, dat is het product van een even aantal reflecties, genaamd direct.Als het een product is van een oneven aantal reflecties, heet het weer.Dus alle windingen rond de lijn een rechte symmetrie.Elk reflectie van het veelvlak - een omgekeerde symmetrie.

Om de elementen van symmetrie van de regelmatige veelvlakken beter te begrijpen, kunt u het voorbeeld van een tetraëder te nemen.Elke lijn die zal door een van de hoekpunten en het centrum van deze geometrische figuur, zal door het midden en de rand tegenover haar.Elk van de hoeken 120 en 240 ° rond de lijn aangesloten is meervoud tetraëdrische symmetrie.Want hij heeft 4 hoekpunten en gezichten, krijgen we een totaal van acht directe symmetrieën.Elk van de lijnen door het midden van de randen en het centrum van het lichaam, gaat door het midden van de tegenoverliggende randen.Elke bocht van 180 °, een zogenaamde half-bocht rond de lijn is een symmetrie.Sinds de tetraëder, zijn er drie paar ribben, krijg je drie lijnen van symmetrie.Op basis van het voorgaande kan worden geconcludeerd dat het totale aantal directe symmetrie, en met de identiteit transformatie wordt tot twaalf zijn.Andere directe symmetrie tetraëder niet bestaat, maar het heeft 12 inverse symmetrie.Dientengevolge wordt de tetraëder gekenmerkt door een totaal van 24 symmetrieën.Voor alle duidelijkheid, kunt u een model van een regelmatige tetraëder gemaakt van karton te bouwen en ervoor te zorgen dat het is de geometrische lichaam heeft eigenlijk maar 24 symmetrie.

dodecaëder en icosaëder - het dichtst bij het gebied van het lichaam.De icosaëder heeft het grootste aantal van de gezichten, de grootste tweevlakshoek en strakker allemaal kunnen vastklampen aan de ingeschreven bol.De dodecahedron heeft de laagste hoekige defect, de grootste ruimtehoek bovenaan.Het kan zoveel mogelijk worden beschreven in het kader te vullen.

Sweep veelvlakken

regelmatige veelvlakken scan, waarvan we allemaal verbonden in de kindertijd hebben veel concepten.Bij een aantal veelhoeken, is elke zijde van die geïdentificeerd slechts één zijde van het veelvlak, moet de identificatie van de partijen voldoen aan twee voorwaarden:

van elke veelhoek, kunt u naar een veelhoek met zijden geïdentificeerd;
identificeerbare partijen moeten dezelfde lengte hebben.

Het is een set van polygonen dat deze voorwaarden en riep scan veelvlak voldoen.Elk van deze organisaties heeft een aantal van hen.Bijvoorbeeld, een kubus 11 stuks van.