Reële getallen en hun eigenschappen

Pythagoras beweerde dat het nummer is het fundament van de wereld op een gelijke basis met de basiselementen.Plato geloofde dat het aantal links het fenomeen en noumenon, het helpen om te weten, om te worden gewogen en conclusies te trekken.Rekenen komt van het woord "arifmos" - het nummer, het begin begon in de wiskunde.Het is mogelijk om een object te beschrijven - van basisschool tot appel abstracte ruimtes.

moet als een factor van

In de beginfase van de samenleving heeft mensen nodig beperkt door de noodzaak om de score bij te houden -. Één zak graan, twee zakken graan, enzovoort D. Om dit te doen, was het natuurlijke getallen, de set van wat een oneindige reeks van positieve gehele getallenN.

Later, met de ontwikkeling van de wiskunde als wetenschap, was het noodzakelijk om het gebied van integers Z scheiden - het omvat negatieve waarden en nul.Zijn verschijning op het niveau van het huishouden werd veroorzaakt door het feit dat de eerste verwerking moest een of andere manier de schulden en verliezen op te lossen.Op het wetenschappelijk niveau, negatieve getallen maakte het mogelijk om eenvoudige lineaire vergelijkingen op te lossen.Onder andere is het nu mogelijk om het triviale coördinatensysteem, bijv. A. Er werd een referentiepunt.

De volgende stap was de behoefte om fractionele getallen in te voeren, omdat de wetenschap staat niet stil, meer en meer nieuwe ontdekkingen eiste een theoretische basis voor een nieuwe push groei.Zo was er een gebied van rationale getallen Q.

slot niet meer voldoen aan de eisen van de rationaliteit, omdat alle nieuwe bevindingen vereisen rechtvaardiging.Er op het gebied van reële getallen R, de werken van Euclides incommensurabiliteit van bepaalde hoeveelheden vanwege hun irrationaliteit.Dat wil zeggen, het aantal Griekse wiskunde telkens niet alleen een constant, maar als een abstracte waarde, die wordt gekenmerkt door de verhouding van onvergelijkbare grootheden.Vanwege het feit dat er reële getallen, "zag het licht" hoeveelheden zoals "pi" en "e", zonder welke de moderne wiskunde niet zou hebben plaatsgevonden.

De laatste innovatie was een complex getal C. Het beantwoord een reeks vragen en weerlegd eerder ingevoerde postulaten.Door de snelle ontwikkeling van algebra resultaat was voorspelbaar - met reële getallen, de beslissing van de vele problemen niet mogelijk was.Bijvoorbeeld, met complexe getallen stond snaartheorie en chaos breidde de vergelijkingen van de hydrodynamica.

Set Theory.Cantor

begrip van oneindigheid is altijd veroorzaakt controverse omdat het onmogelijk was om te bewijzen of te weerleggen.In het kader van de wiskunde, dat wordt beheerd strikt gecontroleerd postulaten, manifesteert zich het duidelijkst, vooral omdat de theologische aspecten nog woog in de wetenschap.

Echter, door het werk van de wiskundige Georg Cantor hele tijd viel op zijn plaats.Hij bewees dat er een oneindige reeks oneindige reeks, en dat het veld groter is dan het gebied R N, en laat beide van hen hebben geen einde.In het midden van de negentiende eeuw, zijn ideeën luid geroepen onzin en een misdaad tegen klassieke onveranderlijke canons, maar de tijd zal alles op zijn plaats te zetten.

basiseigenschappen van het veld R

Daadwerkelijke cijfers hebben niet alleen dezelfde eigenschappen als de podmozhestva dat ze omvatten, maar zijn aangevuld met andere effect masshabnosti zijn elementen:

Zero bestaat en behoort tot het gebied R. c + 0 =c voor alle c van R.
Zero bestaat en behoort tot het gebied R. c x 0 = 0 voor elke c van R.
verhouding van c: d als d ≠ 0 bestaat en is geldig voor alle c, d van R.
Golf R is besteld, dat wil zeggen, als c ≤ d, d ≤ c, dan is c = d voor alle c, d van R.
Toevoeging in R commutatief is, dat wil zeggen, c + d = d + c voor alle c,d R.
vermenigvuldiging in R commutatief, dat c x d = d x c voor c, d van R.
Toevoeging R een associatief, dat wil zeggen, (c + d) + f = c+ (d + f) voor alle c, d, f van R.
vermenigvuldiging in R is associatief wil zeggen (c x d) x f = c x (d x f) voor alle c, d, f van R.
Voor elk veld van R daar het tegenovergestelde, zodat c + (-c) = 0, waarin c, -c van R.
voor elk nummer van het veld er een omgekeerde R zodat x c c-1 = 1, waarin c, c-1 R.
eenheid bestaat en aangesloten R, zodat de x c = 1 c, c voor alle R.
Valid distributieve wet, zodat c x (d + f) = c x d + c x f, voor elke c, d, f van R.
in R niet gelijk aan nul tot eenheid.
R transitief: als c ≤ d, d ≤ f, dan c ≤ f voor elke c, d, f van R.
In de volgorde van R en de toevoeging van met elkaar verbonden: als c ≤ d, dan is c + f ≤d + f voor alle c, d, f van R.
De R veld vermenigvuldiging procedure en gekoppeld: als 0 ≤ c, 0 ≤ d, dan is 0 ≤ c x d voor alle c, d van R.
Als negatieveen positieve reële getallen zijn continu, dat wil zeggen, voor elke c, d O bestaat fin R, zodat c ≤ f ≤ d.

module in de R

Real nummers bevatten zoiets als een module.Het geeft zowel de | f | f voor al R. | f | = f, als 0 ≤ f en | F | = -f, als 0 & gt;f.Als we kijken naar de module als een geometrische waarde, het vertegenwoordigt de afgelegde afstand - of "geslaagd" u als nul in de negatieve naar de positieve of voorwaarts.

Complex en reële getallen.Wat zijn de overeenkomsten en verschillen?

In grote, complexe en reële getallen - is hetzelfde, behalve dat de eerste is toegetreden tot de imaginaire eenheid i, waarvan het plein is -1.Elementen gebieden R en C kunnen worden voorgesteld door de volgende formule:

c = d + f x i, waarbij d, f behoren tot het gebied R en i - imaginaire eenheid.

De c van Rf krijgen, in dit geval juist geacht nul, dat wil zeggen, er is alleen het reële deel van het nummer.Omdat het complex veld heeft dezelfde functies als het gebied van onroerend, f x i = 0 als f = 0.

betreft praktische verschillen, bijvoorbeeld in R vierkantsvergelijking kan niet worden opgelost als de discriminant negatiefdat het gebied van C heeft een dergelijke beperking niet opgelegd door de introductie van de imaginaire eenheid i.

Resultaten

"stenen" van de axioma's en postulaten waarop de wiskunde niet veranderen.Op sommige door de toename van informatie en de introductie van nieuwe theorieën plaatste de volgende "stenen" hebben die de basis voor de volgende stap zou kunnen zijn.Bijvoorbeeld natuurlijke getallen, hoewel ze een deel van de werkelijke veld R, hebben hun relevantie te verliezen.Het is op basis van hen allen elementaire rekenkunde, waarin de kennis van een man van de vrede begint.

Vanuit een praktisch oogpunt, de reële getallen eruit als een rechte lijn.Het is mogelijk om de richting te kiezen, bepalen de oorsprong en pek.Direct bestaat uit een oneindig aantal punten, die elk overeenkomen met één reëel getal, ongeacht of het rationeel of niet.Uit de beschrijving is het duidelijk dat we het hebben over het concept, dat gebaseerd is wiskunde in het algemeen, en de wiskundige analyse in het bijzonder.