Geometri er vakker fordi, i motsetning algebra, som ikke alltid er klar som hva du tror, gir en visuell objekt.Denne fantastiske verden av ulike organer pryder den vanlige polyedre.
Forstå vanlig polyhedra
Ifølge mange, vanlig polyhedrons, eller som de kalles de platonske faste stoffer har unike egenskaper.Med disse objektene koblet flere vitenskapelige hypoteser.Når du begynner å studere geometriske data i kroppen, innser du at nesten ikke vet noe om et slikt konsept som den vanlige polyedre.Presentasjonen av disse objektene i skolen er ikke alltid interessant, så mange ikke engang husker hva de ble kalt.I minnet til folk flest er det bare en kube.Ingen av de organer i geometri ikke besitter slike perfeksjon som vanlig polyedre.Alle navnene på disse geometriske legemer stammer fra antikkens Hellas.De representerer antall ansikter: Tetra - fire sider, hexahedron - Allen, octahedron - octahedron, dodecahedron - dodecahedral, ikosaeder - icosahedral.Alle disse geometriske kroppen inntar en viktig plass i Platons oppfatning av universet.Fire av dem legemliggjøre elementer eller foretak: tetraeder - brann ikosaeder - vann kube - jord, oktaeder - luft.Dodecahedron nedfelt alle ting.Han ble ansett som den viktigste, fordi han var et symbol på universet.
generalisering av begrepet en polyhedron
polyhedron er et sett av endelig antall polygoner slik at:
- hver side av noen av polygoner er også partiet for bare ett annet polygon på samme side;
- fra hver av polygoner kan nås ved å gå til de andre tilstøtende polygoner med ham.
polygoner som utgjør polyhedron er dens ansikter og deres side - ribbeina.Punkt av er toppunktene polygoner.Hvis du forstår av begrepet et polygon flat lukkede polylinjer, så komme til en definisjon av en polyhedron.I det tilfellet hvor dette begrepet innebærer at en del av planet som er avgrenset av stiplede linjer, er det nødvendig å forstå overflaten, som består av polygonale stykker.Konveks polyeder kalles kropp som ligger på den ene side av planet, ved siden av sine sideflater.
En annen definisjon av et polyeder, og dens elementer
polyhedron er en overflate som består av polygoner, noe som begrenser den geometriske legeme.De er:
- ikke-konvekse;
- konvekse (rett og galt).
vanlig polyhedron - er konveks polyhedron med maksimal symmetri.Elementer av regulære polyedre:
- tetrahedron 6 kanter, 4 ansikter, 5 hjørner;
- heksa (terning) 12, 6, 8;
- dodecahedron 30, 12, 20;
- octahedron 12, 8, 6;
- ikosaeder: 30, 20, 12.
Eulers teorem
Den etablerer et forhold mellom antall kanter, hjørner og ansikter er topologisk tilsvarer en sfære.Legge antall hjørner og ansikter (B + D) i forskjellige regulære polyedre og sammenligne dem med antall ribbeina, kan du sette en regel: summen av antall ansikter og hjørner er lik antall kanter (F), økte med 2. Du kan vise en enkel formel:
- B + F = P + 2.
Denne formelen holder for alle konvekse polyedre.
Grunnleggende definisjoner
konseptet med en vanlig polyhedron er umulig å beskrive i en setning.Det er en multi-verdi og volum.Et organ for å bli gjenkjent som sådan, er det nødvendig at det tilfredsstiller en rekke definisjoner.For eksempel vil den geometriske kroppen være en vanlig polyhedron i utførelsen av disse forholdene:
- er konveks;
- samme antall ribber konvergerer i hver av sine toppunkter;
- alle fasetter av det - regulære polygoner, lik hverandre;
- alle dihedral vinkler er like.
egenskaper av vanlig polyhedra
Det er 5 forskjellige typer regulære polyedre:
- Cube (heksaedre) - den har en flat vinkel på toppunktet er 90 °.Den har en tre-sidig hjørne.Summen av de plane vinkler på tuppen av 270 °.
- Tetrahedron - flat vinkel på toppen - 60 °.Den har en tre-sidig hjørne.Summen av de plane vinkel ved toppunktet - 180 °.
- octahedron - flat vinkel på toppen - 60 °.Den har en 4-sided hjørne.Summen av de plane vinkel ved toppunktet - 240 °.
- dodecahedron - en flat vinkel på toppen av 108 °.Den har en tre-sidig hjørne.Summen av de plane vinkel ved toppunktet - 324 °.
- ikosaeder - hans flat vinkel på toppen - 60 °.Den har fem-sided hjørne.Summen av de plane vinkler på tuppen av 300 °.
området
vanlig polyhedra Arealet av geometriske faste stoffer (S) beregnes som arealet av et regulært polygon, multiplisert med antall sine ansikter (G):
- S = (a: 2) x 2G CTG π / s.
volumet av en vanlig polyhedron
Denne verdien beregnes ved å multiplisere volumet av en vanlig pyramide som base er et regulært polygon, antall ansikter, og høyden er radiusen til innskrevet sfære (r):
- V = 1: 3RS.
volumet av regulære polyedre
Som alle andre geometriske faste, regelmessige polyhedra har ulike volumer.Nedenfor er de formler som de kan beregnes:
- tetraeder: α x 3√2: 12;
- octahedron: α x 3√2: 3;
- ikosaeder;α x 3;
- hexahedron (kube): a x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
- dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elements vanlig polyhedra
hexahedron og oktaeder er to geometriske organer.Med andre ord, de kan komme ut av hverandre i det tilfelle at tyngdepunktet til en blir tatt som toppen av den annen, og vice versa.Dessuten er det den doble ikosaeder og dodecahedron.Myself Bare tetrahedron er dual.Ved hjelp av Euclid kan fås fra en dodecahedron hexahedron ved å konstruere "tak" på ansiktene til kuben.Punktene av tetraeder er noen 4 hjørnene i kuben, ikke tilstøtende par ribbein.Fra heksa (kube) kan oppnås, og andre vanlige polyhedrons.Til tross for at regulære polygoner har utallige, vanlige polyedre, er det bare 5.
radier av regulære polygoner
Med hver av disse geometriske legemer linket 3 konsentriske sfærer:
- beskrevet som passerer gjennom sitt toppunkt;
- innskrevet med hensyn til hver av sine sideflater i midten av det;
- median om alle kanter i midten.
radius av kulen er beregnet som beskrevet av følgende formel:
- R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.
radius av innskrevet sfære er beregnet som følger:
- R = a: 2 x CTGπ / p x tg θ: 2,
hvor θ - dihedral vinkel, som ligger mellom de tilstøtende flater.
midlere radius av kulen kan beregnes ved følgende formel:
- ρ = a cos n / p: 2 sin π / h,
verdi hvor h = 4,6, 6,10 eller 10. Forholdet mellom radiene som beskrevet og innskrevetsymmetrisk i forhold til p og q.Den beregnes ved formelen:
- R / r = tg π / p x tg π / q.
Symmetry Symmetry polyhedra
vanlig polyhedra er av primær interesse for disse geometriske organer.Det er forstått som en bevegelse av et legeme i rommet, noe som gir det samme antall hjørner og kanter.Med andre ord, under påvirkning av symmetritransformasjoner kant, toppunkt, ansikt eller beholder sin opprinnelige posisjon, og beveger seg til startposisjonen til en annen ribbe, de andre hjørnene eller flater.
regulære polyedre symmetrielementene felles for alle typer av geometriske faste stoffer.Her er det gjennomført på identitet transformasjon, som etterlater noen av punktene i den opprinnelige posisjon.Således, ved å rotere den mangekantede prisme kan motta flere symmetrier.Hvilken som helst av disse kan representeres som et produkt av refleksjoner.Symmetrien som er produktet av et likt antall refleksjoner, kalt direkte.Hvis det er et produkt av et ulike antall refleksjoner, blir den kalt tilbake.Dermed er alle svingene rundt linjen som en rett symmetri.Enhver refleksjon av polyhedron - en omvendt symmetri.
For bedre å forstå elementene i symmetri av regulære polyedre, kan du ta eksempel av et tetraeder.Enhver linje som vil passere gjennom et av hjørnene og midt i dette geometrisk figur, vil passere gjennom sentrum og kanten overfor henne.Hvert av hjørnene 120 og 240 ° rundt linjen tilhører flertall tetraedrisk symmetri.Fordi han har 4 hjørner og ansikter, får vi totalt åtte direkte symmetrier.Noen av linjene som passerer gjennom midten av kantene og midten av kroppen, passerer gjennom midten av sine motstående kanter.Hver sving på 180 °, kalles en halv omdreining rundt linjen er en symmetri.Siden tetrahedron, er det tre par av ribber, får man tre symmetrilinjene.Basert på det foregående, kan det konkluderes med at det totale antall direkte symmetri, og med identitet transformasjon, vil være opp til tolv.Andre direkte symmetri tetrahedron ikke eksisterer, men det har 12 invers symmetri.Følgelig er tetraeder kjennetegnet ved totalt 24 symmetrier.For klarhet, kan du bygge en modell av en vanlig tetraeder laget av papp og sørge for at det er den geometriske kroppen egentlig har bare 24 symmetri.
dodecahedron og ikosaeder - nærmest område av kroppen.Den ikosaeder har det største antall ansikter, den største dihedral vinkel og strammere alle kan klamre seg til den innskrevne sfære.Den dodecahedron har den laveste vinkel defekt, den største solid vinkel på toppen.Det kan beskrives så mye som mulig for å fylle i det omfang.
Sweep polyhedra
Regular polyedre scan, som vi alle bundet i barndommen har mye av begreper.Hvis det er et sett av polygoner, er hver side av hvilke identifisert med bare en side av polyhedron, skal identifikasjonen av partene i samsvar med to betingelser:
- av hvert polygon, kan man gå til et polygon med sider identifisert;
- identifiserbare parter må ha samme lengde.
Det er et sett av polygoner som oppfyller disse betingelsene og kalte scan polyhedron.Hver av disse legemer har flere av dem.For eksempel har en kube 11 stykker av dem.
