mekanisk system som består av et materiale punkt (kroppen), som henger på vekt uelastiske filament (dens masse er ubetydelig i forhold til vekten av kroppen) på en ensartet gravitasjonsfelt, kalt den matematiske pendel (et annet navn - oscillator).Det finnes andre typer enheter.I stedet for en glødetråd kan anvendes vektløs stang.Pendulum kan tydelig avslører essensen av mange interessante fenomener.Ved lave amplitudesvingninger av sin bevegelse kalles harmonisk.
Forstå det mekaniske systemet
Formula periode med pendling av pendelen ble avlet nederlandsk forsker Huygens (1629 til 1695 gg.).Dette moderne av Isaac Newton var veldig glad i den mekaniske system.I 1656 skapte han den første klokke med en pendel mekanisme.De målte tid med ekstrem presisjon for de gangene.Denne oppfinnelsen var et stort skritt i utviklingen av fysiske eksperimenter og praktiske aktiviteter.
Hvis pendelen er i sin likevektsposisjon (hengende vertikalt), tyngdekraften blir balansert av kraften fra trådspenningen.Flat pendel på et ikke-strekkbart garn er et system med to frihetsgrader med en link.Hvis du endrer bare en del av endrings karakteristikker av alle delene.Således, hvis en streng er erstattet av en stang, er da gitt mekanisk system bare en frihetsgrad.Hva var de egenskapene matematisk pendel?I dette enkle systemet under påvirkning av en periodisk forstyrrelse er kaos.I det tilfelle hvor opphengningspunktet ikke beveger seg, og svinger pendelen kommer i en ny likevektsstilling.Hvis raske svingninger opp og ned det mekaniske systemet blir stabil posisjon "opp ned".Det har også sitt navn.Den kalles Kapitza pendel.
Properties
pendel Pendulum har meget interessante egenskaper.Alle av dem er støttet av kjente fysiske lover.Perioden for svingning av pendelen ethvert annet avhenger av forskjellige faktorer slik som størrelsen og formen av kroppen, er avstanden mellom opphengningspunktet og tyngdepunktet, vektfordeling med hensyn til dette punkt.Det er derfor definisjonen av perioden for den hengende legeme er ganske vanskelig.Det er mye lettere å beregne perioden for en enkel pendel, formelen som er gitt nedenfor.Som et resultat av observasjon av slike mekaniske systemer kan stilles slike lover:
• Dersom, og samtidig opprettholde den samme lengde av pendelen, suspendert forskjellige belastninger, perioden med oscillasjonen mottok det samme, selv om deres vekt vil variere sterkt.Derfor er den perioden av en slik pendel uavhengig av belastningsmassen.
• Hvis systemet begynner å avlede pendelen er ikke for stor, men forskjellige vinkler, vil det svinge med samme periode, men i forskjellige amplituder.Så lenge avviket fra sentrum av balanse er ikke for store svingninger i sin form er nær nok harmonisk.Perioden for pendelen er ikke avhengig av den vibrasjons amplitude.Denne egenskapen av det mekaniske systemet kalles isochronism (i Gresk "Chronos" - tid "Izosov" - lik).
periode på en enkel pendel
Dette tallet representerer en periode med naturlige svingninger.Til tross for den kompliserte formuleringen, er prosessen svært enkel.Hvis lengden av tråden i en enkel pendel L, og gravitasjonsakselerasjonen g, blir denne verdien er:
T = 2π√L / g
liten periode egensvingninger på ingen måte uavhengig av massen til pendelen og svingningsamplitude.I dette tilfellet beveger pendelen som en matematisk lengde herfra.
Svingninger matematisk pendel
Pendulum svinger, noe som kan beskrives med en enkel differensialligning:
x + ω2 sin x = 0,
der x (t) - ukjent funksjon (dette er vinkelen av avvik fra lavere likevektsposisjontiden t, uttrykt i radianer);ω - en positiv konstant, som bestemmes av parametrene for pendelen (ω = √g / L, hvor g - er akselerasjonen på grunn av tyngdekraften, og L -. Lengden av en enkel pendel (suspensjon)
ligning av små svingninger nær likevektsstilling (harmonisk ligning) er som følger.:.
x + ω2 sin x = 0
vibrasjonsbevegelse av pendelen
Pendulum, som gjør små svingninger, flytting sinusoid Differensialligningen av andre orden oppfyller alle krav og parametre for en slik bevegelse skal finne banen du trenger for å sette fart og koordinater,som senere fastsettes uavhengige konstanter:
x = A sin (θ0 + wt),
hvor θ0 - den innledende fasen, A - svingningsamplitude, ω - vinkelfrekvens, som bestemmes fra bevegelsesligningen
Pendulum (formelen for store.amplituder)
Dette mekaniske system, gjøre sine vibrasjoner med en betydelig amplitude er underlagt mer komplekse trafikkreglene.For en slik pendel de er beregnet i henhold til formelen:
sin x / 2 = u * sn (cot / u),
hvor sn - Jacobi sinus, som for u & lt;1 er en periodisk funksjon, og for liten u den faller sammen med den enkle trigonometriske sinus.U-verdier bestemmes av følgende uttrykk:
u = (ε + ω2) / 2ω2,
hvor ε = E / ML2 (ML2 - energi av pendelen).
Bestemme pendling periode på en ikke-lineær pendel er utført ved formelen:
T = 2π / Ω,
hvor Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elliptiske integral, π - 3,14.
pendelbevegelse på separatrix
kalt separatrix banen til det dynamiske system, hvor en to-dimensjonal faserommet.Pendulum beveger seg på noncyclic.I et uendelig fjernt punkt i tid faller han fra den øverste stilling i retning av null hastighet og deretter gradvis økende den.Han til slutt stoppet, tilbake til sin opprinnelige posisjon.
Hvis amplituden av svingningen av pendelen nærmer antall π , tyder dette på at bevegelsen i faseplanet er i nærheten av separatrix.I dette tilfellet, under påvirkning av små periodiske drivkraft mekanisk system oppviser kaotisk oppførsel.
I tilfelle av en enkel pendel fra likevektsstilling med en vinkel φ oppstår tangential tyngdekraft Fτ = -mg sin φ."Minus" tegn betyr at den tangensiale komponenten er rettet mot den motsatte side av pendelen.Ved utpeking av x pendel forskyvning langs buen av en sirkel med radius L av sin vinkelforskyvning er lik fy = x / L.Isaac Newtons andre lov, designet for projeksjoner av vektor akselerasjon og gi den ønskede verdi:
mg τ = Fτ = -mg sin x / L
Basert på dette forholdet, er det klart at pendelen er en ikke-lineær system, fordi kraftensom har en tendens til å gå tilbake til en likevektsstilling ikke alltid er proporsjonal med forskyvningen av x, og sin x / L.
Bare når den matematiske pendel utfører små vibrasjoner, er det den harmoniske oscillator.Med andre ord, blir det et mekanisk system som kan utføre oversvingninger.Denne tilnærmingen er gyldig for nesten vinkler 15-20 °.Pendulum med store amplituder er ikke harmonisk.
Newtons lov for små svingninger av en pendel
Hvis det mekaniske systemet utfører små svingninger, vil den andre loven om Newton se slik ut:
mg τ = Fτ = -m * g / L * x.
På bakgrunn av dette kan vi konkludere med at tangential akselerasjon av en enkel pendel er proporsjonal med dens forskyvning med skiltet "minus".Dette er en tilstand hvorved systemet blir en harmonisk oscillator.Modul proporsjonalitetsfaktor mellom forskyvning og akselerasjon er lik kvadratet av vinkelfrekvensen:
ω02 = g / l;ω0 = √ g / L.
Denne formelen reflekterer den naturlige frekvens av små svingninger av denne type pendel.På denne bakgrunn
T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.
Beregninger basert på loven om bevaring av energi
Egenskaper av oscillerende bevegelse av pendelen kan beskrives ved hjelp av loven om bevaring av energi.Det bør tas i betraktning at den potensielle energien av pendelen i et gravitasjonsfelt er lik:
E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2
fulle mekanisk kinetisk energi lik eller maksimale potensial: Epmax = Ekmsx = E
Etter at du har skrevet loven om bevaring av energi, tar den deriverte av til venstre og høyre side av ligningen:
Ep + Ek = konst
Siden den deriverte av de konstante verdiene lik 0, da (Ep + Ek) '= 0. Den deriverte er lik summen avsum derivater:
Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,
således:
Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m a) = 0.
Fra den siste formel finner vi:α = - g / L * x.
Praktisk anvendelse av matematiske pendel
tyngdens akselerasjon varierer med breddegrad, fordi tettheten av jordskorpen på planeten er ikke det samme.Hvor bergforekomme med høyere tetthet, vil det være noe høyere.Akselerasjon av matematisk pendel er ofte brukt for leting.I søker hjelp av en rekke mineraler.Ganske enkelt å telle antall svingninger av en pendel, kan finnes i det indre av jorden, kull eller malm.Dette skyldes det faktum at disse ressurser, har en tetthet og masse større enn som ligger under løse bergarter.
matematisk pendel brukes av slike prominente vitenskapsmenn som Sokrates, Aristoteles, Platon, Plutark, Arkimedes.Mange av dem mente at den mekaniske systemet kan påvirke skjebnen og menneskets liv.Arkimedes brukte en matematisk pendel på hans beregninger.I dag, mange synske og okkultister bruke denne mekanisk system for gjennomføringen av sine profetier, eller søk etter savnede personer.
berømte franske astronomen og vitenskaps K. Flammarion for sin forskning også brukt den matematiske pendel.Han hevdet at med hans hjelp var han i stand til å forutsi oppdagelsen av en ny planet, utseendet på Tunguska-meteoritten, og andre viktige hendelser.Under andre verdenskrig i Tyskland (Berlin) er en spesialisert institutt pendelen.I dag, slik forskning engasjert München Institute of Parapsykologi.Hans arbeid med pendelen ansatte i denne institusjonen kalt "radiesteziey."
