En av de grunnleggende grener av matematisk analyse er integralregning.Den dekker bredt felt av objekter, hvor det første - det er en ubestemt integral.Plasser den som nøkkelen er at tilbake i videregående skole avslører et økende antall prospekter og muligheter, som beskriver de høyere matematikk.
utseendet
Ved første øyekast virker det helt integrert i moderne, aktuell, men i praksis viser det seg at han hadde dukket opp i 1800 BC.Homeland er offisielt ansett Egypt som ikke har overlevd tidligere bevis på sin eksistens.Det på grunn av mangel på informasjon, samtidig plassert rett og slett som et fenomen.Det igjen bekrefter nivå av vitenskapelig utvikling av folkene i disse tider.Til slutt ble det funnet skrifter av de gamle greske matematikere, som stammer fra det 4. århundre f.Kr..De beskriver metoden som brukes der det ubestemte integralet, hvor essensen var å finne det volum eller område av den buede form (tre-dimensjonale og to-dimensjonale plan, henholdsvis).Prinsippet om beregning basert på fordelingen av de opprinnelige figur ørlille komponentene, forutsatt at volumet (område) av allerede kjent.Over tid, idet fremgangsmåten har vokst, Arkimedes brukes den til å finne området av parabel.Lignende beregninger på samme tid, og gjennomføre øvelser i det gamle Kina, hvor de var helt uavhengig fra det greske stipendiat vitenskap.
Development
neste gjennombrudd i XI århundre f.Kr. har blitt arbeidet med den arabiske vitenskapsmann "stasjonsvogn" Abu Ali al-Basri, som presset grensene av allerede kjent, er utledet fra integral formel for å beregne summen av beløpene og grader fra første tilFor det fjerde, ved hjelp av for dette kjenner vi metoden for induksjon.
sinnene i dag beundre hvordan de gamle egypterne skapte fantastiske monumenter uten spesialverktøy, med mulig unntak av hendene hans, men gjorde ikke kraften i sinnet forskere på den tiden ikke mindre et mirakel?Sammenlignet med det nåværende tidspunkt i livet synes nesten primitive, men avgjørelsen av ubestemte integraler utledet overalt og brukes i praksis for videre utvikling.
neste trinn skjedde i det XVI århundre, da italienske matematikeren brakt Cavalieri metode indivisibles, som plukket opp Pierre de Fermat.Disse to personlighet la grunnlaget for den moderne integralregning, som er kjent i øyeblikket.De bandt begrepene differensiering og integrering, som tidligere ble oppfattet som selvstendige enheter.Av og store, har matematikk i den tiden blitt knust, konklusjonene fra partiklene eksisterer av seg selv, med begrenset omfang.Måte i hevd og leting etter en felles plattform var den eneste sanne i øyeblikket, takket være ham, den moderne matematisk analyse hatt mulighet til å vokse og utvikle seg.
Med passasjen av tid forandrer alt, og notasjon av integralet også.Av og store, har forskere betegnet det på sin egen måte, for eksempel, brukte Newton en firkantet ikon, som satte en integrerbar funksjon, eller rett og slett satt sammen.Dette misforholdet varte til XVII århundre da et landemerke for hele teorien om matematisk analyse forsker Gottfried Leibniz innført som et symbol kjent for oss.Den langstrakte "S" er faktisk basert på den bokstaven i alfabetet, som representerer summen av primitiver.Navnet på integrert skyldtes Jacob Bernoulli, etter 15 år.
formell definisjon av ubestemt integral avhenger av definisjonen av primitive, så vi vurdere det i første omgang.
Den primitive - er det det motsatte av den deriverte, i praksis er det som kalles primitive.Med andre ord: primitive funksjon av d - er en funksjon D, er lik v & lt derivatet; = & gt;V '= v.Søk i primitive er, beregning av det ubestemte integralet, og prosessen kalles integrasjon.
Eksempel:
funksjon s (y) = y3, og dens primitive S (y) = (Y4 / 4).
sett alle Primitiv av funksjonen - dette er en ubestemt integral, angis det som følger: ∫v (x) dx.
Fordi V (x) - Dette er noen av de opprinnelige primitive funksjonen, har vi et uttrykk: ∫v (x) dx = V (x) + C, der C - konstant.Under vilkårlig konstant enhver konstant, siden dens deriverte er lik null.
Properties
egenskaper som har en ubestemt integral, basert på definisjonene og egenskaper for derivater.
Tenk viktige punkter:
- integrert derivat av primitive er selv primitive, pluss en vilkårlig konstant C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;
- deriverte av integralet av funksjonen er den opprinnelige funksjon & lt; = & gt;(∫v (x) dx) '= v (x);
- konstant blir fjernet fra integrert tegn & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, der k - er vilkårlig;
- integral, som er hentet fra summen av identisk lik summen av integraler av & lt; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.
De to siste eiendommene kan konkluderes med at det ubestemte integralet er lineær.På grunn av dette, har vi: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
å konsolidere vurdere eksempler på løsninger ubestemt integraler.
nødvendig å finne integralet ∫ (3sinx + 4cosx) dx:
- ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C.
Fra eksempelet vi kan konkludere med at du ikke vet hvordan man skal håndtere ubestemt integraler?Bare finne alle de primitive!Men søket etter de prinsipper som omtalt nedenfor.
metoder og eksempler
For å løse integrert, kan du ty til følgende metoder:
- bordet klar til bruk;
- integrere av deler;
- integrert ved å erstatte den variable;
- oppgjør under tegnet av differensial.
tabeller
enkleste og hyggelig måte.I øyeblikket kan det matematisk analyse skryte ganske omfattende tabeller, som stavet ut de grunnleggende formler av ubestemte integraler.Med andre ord, det er mønstre avledet til deg og du kan bare dra nytte av dem.Her er en liste over grunnleggende tabellposisjoner, noe som kan vise nesten hver forekomst, har en løsning:
- ∫0dy = C, der C - konstant;
- ∫dy = y + C, der C - konstant;
- ∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, der C - en konstant, og n - er forskjellig fra antall enheter;
- ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, der C - konstant;
- ∫eydy = ey + C, der C - konstant;
- ∫kydy = (KY / ln k) + C, der C - konstant;
- ∫cosydy = siny + C, der C - konstant;
- ∫sinydy = -cosy + C, der C - konstant;
- ∫dy / cos2y = tgy + C, der C - konstant;
- ∫dy / sin2y = -ctgy + C, der C - konstant;
- ∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, der C - konstant;
- ∫chydy = sjenert + C, der C - konstant;
- ∫shydy = Chy + C, der C - konstant.
Hvis du ønsker å gjøre et par skritt føre inte til tabellform og nyte seieren.Eksempel: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.
I henhold til avgjørelsen er det klart at for tabellenEksempel integranden mangler multiplier 5. Vi legger det parallelt med dette multipliseres med 1/5 til generelle uttrykket ble ikke endret.
Integrasjon av deler
Betrakt to funksjoner - z (y) og x (y).De må være kontinuerlig deriverbar på sitt domene.Som en av egenskapene til differensiering har: d (xz) + = xdz zdx.Integrere begge sider, får vi: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.
Rewriting den resulterende ligningen, får vi en formel som beskriver metoden for integrering av deler: ∫zdx = zx - ∫xdz.
Hvorfor er det nødvendig?Det faktum at noen få eksempler kan forenkle, relativt sett, for å redusere ∫zdx ∫xdz, dersom sistnevnte er nær en tabellform.Dessuten kan denne formelen brukes mer enn én gang, for optimale resultater.
Hvordan løse ubestemte integraler på denne måten:
- nødvendig å beregne ∫ (s + 1) e2sds
∫ (x + 1) e2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((s + 1) E2S) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((s + 1) E2S) / 2-E2S / 4 + C;
- må beregne ∫lnsds
∫lnsds = {z = LNS, dz = DS / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s+ C = s (LNS-1) + C.
Replacement variabel
Dette prinsippet avgjørelse av ubestemte integraler i etterspørselen ikke mindre enn de to foregående, men komplisert.Metoden er som følger: La V (x) - integralet av en funksjon v (x).I tilfelle som i seg selv integrert i fangstene slozhnosochinenny eksempel, vil trolig bli forvirret og gå til feil løsninger.For å unngå dette praktiseres overgangen fra variable x til z, der et generelt uttrykk visuelt forenklet og samtidig opprettholde z avhengig av x.
I matematisk språk er som følger: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), hvor x =y (z) - substitusjon.Og, selvfølgelig, den inverse funksjonen z = y-1 (x) fullt ut beskriver forholdet og forholdet mellom variablene.Viktig - differensial dx nødvendigvis erstattet med den nye differensial dz, siden endringen av variabelen i ubestemt integral innebærer å erstatte det overalt, ikke bare i integranden.
Eksempel:
- må finne ∫ (s + 1) / (s2 + 2s - 5) ds
gjelder substitusjons z = (s + 1) / (s2 + 2s-5).Så 2sds = dz = 2 + 2 (s + 1) ds & lt; = & gt;(s + 1) = ds dz / 2.Som et resultat av det følgende uttrykk, som er meget lett å beregne:
∫ (s + 1) / (s2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln| s2 + 2s-5 | + C;
- må finne integrert ∫2sesdx
å møte omskrive uttrykket i følgende form:
∫2sesds = ∫ (2E) SDS.
betegne en = 2e (erstatte argumentet dette trinnet er det ikke, det er fortsatt er), gir vår tilsynelatende komplekse, integrert grunnleggende tabellform:
∫ (2e) SDS = ∫asds = as / lna+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + LNE) + C = 2ses / (ln2 + 1) + C.
Wrap under tegnet av differensial
I det store og denne metodenubestemt integraler - tvillingbror av prinsippet om endring av variable, men det er forskjeller i prosessen med registrering.Tenk detalj.
Hvis ∫v (x) dx = V (x) + C og y = z (x), så ∫v (y) dy = V (y) + C.
Vi bør ikke glemme de trivielle integrerte transformasjoner, blantder:
- dx = d (x + a), og hvor - hver konstant;
- dx = (1 / a) d (ax + b), hvor a - konstant på nytt, men ikke null;
- XDX = 1 / 2d (x2 + b);
- sinxdx = -d (cosx);
- cosxdx = d (sinx).
Hvis vi vurdere det generelle tilfellet når vi beregner ubestemt integral, kan eksempler bringes under den generelle formel w '(x) dx = dw (x).
Eksempler:
- må finne ∫ (2s + 3) 2DS, ds = 1 / 2D (2s + 3)
º (2s + 3) 2DS = 1 / 2∫ (2s + 3) 2D (2s+ 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;
∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -lN | coss | + C.
Online hjelp
I noen tilfeller feilen som kan være eller latskap, eller et presserende behov, kan du brukeOnline tips, eller snarere, for å bruke en kalkulator ubestemt integraler.Til tross for den tilsynelatende kompleksitet og kontroversiell natur integra, er deres avgjørelse utsatt for en viss algoritme, som er bygget på prinsippet om "hvis du ikke gjør det ... så ...".
Selvfølgelig vil svært intrikate eksempler på denne kalkulatoren ikke mestrer, som det finnes tilfeller der en beslutning har å finne en kunstig "tvunget" ved å innføre visse elementer i prosessen, fordi resultatet ikke er åpenbare måter å oppnå.Til tross for den kontroversielle natur denne uttalelsen, er det sant, som matematikk, i prinsippet, mener en abstrakt vitenskap, og dens primære målet behovet for å utvide grensene for muligheter.Ja, for en jevn innkjøring teoriene er svært vanskelig å flytte opp og utvikle seg, så ikke anta at eksempler på løsning av ubestemt integraler, som ga oss - dette er høyden av alternativer.Men tilbake til den tekniske siden av ting.Minst å sjekke beregningene, kan du bruke tjenesten der det ble stavet ut til oss.Dersom det er behov for automatisk beregning av komplekse uttrykk, da de ikke trenger å ty til en mer alvorlig programvare.Det er nødvendig å ta hensyn først og fremst på miljøet Matlab.
Søknad
beslutning ubestemt integraler ved første øyekast virker helt skilt fra virkeligheten, fordi det er vanskelig å se det åpenbare bruken av flyet.Faktisk, deres anvendelse overalt direkte umulig, men de anses nødvendige mellomliggende element i prosessen med å tilbaketrekning av løsninger som brukes i praksis.Så, tilbake til integrering av differensiering, og dermed delta aktivt i prosessen med å løse ligninger.
I sin tur, disse ligningene har en direkte innvirkning på avgjørelsen av et mekanisk problem, beregning av baner og varmeledningsevne - kort sagt, alt som utgjør nåtid og forme fremtiden.De ubestemt integral, eksempler som vi har vurdert ovenfor, bare er trivielt ved første øyekast, som en base for å gjennomføre flere og flere nye funn.
