Nieokreślony integralną.

Jednym z podstawowych gałęzi analizy matematycznej jest całkowy.Obejmuje ona szerokie pole obiektów, gdzie pierwsze - jest to całka nieoznaczona.Pozycja go jako klucz jest, że w liceum odkrywa coraz więcej perspektyw i możliwości, która opisuje wyższej matematyki.Pojawienie

z

Na pierwszy rzut oka, wydaje się całkowicie integralną nowoczesnej, miejscowego, ale w praktyce okazuje się, że pojawił się w 1800 roku pne.Ojczyzna jest oficjalnie uznane Egipcie nie przetrwały wcześniejsze dowody jego istnienia.To z powodu braku informacji, przez cały czas umieszczony po prostu jako zjawisko.To po raz kolejny potwierdza poziom rozwoju naukowego narodów tych czasów.W końcu okazało się, pism starożytnych greckich matematyków, pochodzący z 4 wieku pne.Opisują one metodę gdzie całka nieoznaczona, istotą, która miała znaleźć głośność lub obszar zakrzywionym kształcie (trójwymiarowy i dwuwymiarowy samolotu, odpowiednio).Zasada obliczania opartej na podziale pierwotnego rysunku nieskończenie małych elementów, pod warunkiem, że wielkość (powierzchnia) już znane.W miarę upływu czasu, przy czym sposób wzrosła ArchiMEDES używane to znaleźć obszar paraboli.Podobne obliczenia w tym samym czasie, i przeprowadzić ćwiczenia w starożytnych Chinach, gdzie były one całkowicie niezależne od greckiego kolegę nauki.

Rozwój

kolejnym przełomem w XI wieku pne stała praca arabskiego uczonego "wagon" Abu Ali al-Basri, który pchnął granicach już wiadomo, pochodzą z wbudowanym wzoru do obliczania sumy kwot i stopni od pierwszego doPo czwarte, używając do tego znamy sposób indukcji.
umysły dzisiaj podziwiać, jak starożytni Egipcjanie stworzyli niesamowite zabytki bez specjalnych narzędzi, może z wyjątkiem jego rąk, ale nie moc naukowców umysłowych czasie nie mniej cud?W porównaniu do obecnego czasu życia wydaje się niemal prymitywne, ale decyzja o nieokreślonym okresie całek wyprowadzona wszędzie i stosowanych w praktyce do dalszego rozwoju.

Następnym krokiem miało miejsce w XVI wieku, kiedy to włoski matematyk przyniósł metodę Cavalieri z indivisibles, który odebrał Pierre de Fermat.Te dwie osobowości podwaliny dla współczesnego rachunku całkowego, który znany jest w tej chwili.Związali koncepcji zróżnicowania i integracji, które wcześniej były postrzegane jako jednostki autonomiczne.Ogólnie, matematyka tym czasie została rozbita, wnioski z cząstek istnieją same z siebie, z ograniczonym zakresie.Droga stowarzyszenia i poszukiwaniu wspólnego gruntu była jedyną prawdą w tej chwili, dzięki niemu, nowoczesna analiza matematyczna miał możliwość wzrostu i rozwoju.

Z upływem czasu wszystko się zmienia, a oznaczenie całki, jak również.Ogólnie, naukowcy wyznaczyli go na swój sposób, na przykład Newton używane ikony kwadrat, który położy do zabudowy funkcji, lub po prostu razem.Ta rozbieżność trwał do XVII wieku, kiedy przełomowym dla całej teorii matematycznej analizy Gottfried Leibniz wprowadził naukowiec jako symbol nam znane.Wydłużona "S" jest w rzeczywistości opiera się na tej litery alfabetu, jak reprezentuje sumę prymitywów.Nazwa całki było spowodowane Jacob Bernoulli, po 15 latach.

formalna definicja całka nieoznaczona zależy od definicji prymitywne, więc uważają, że w pierwszej kolejności.

Prymitywny - jest to funkcja odwrotna pochodnej, w praktyce to się nazywa prymitywne.Innymi słowy: prymitywne funkcji D - jest funkcją D, pochodna jest równa v & lt; = & gt;V '= v.Szukaj prymitywne, czyli obliczenie z całka nieoznaczona, a proces ten nazywany jest integracja.

Przykład:

funkcji S (r) = y3, a jego prymitywne S (r) = (Y 4/4).

zbiór wszystkich prymitywów z funkcji - jest to całka nieoznaczona, jest to oznaczone w następujący sposób: ∫v (x) dx.

Ponieważ V (x) - Są to jedne z pierwotnej funkcji pierwotnej, mamy wyrażenie: ∫v (x) dx = V (x) + C, gdzie C - stała.Pod dowolną stałą oznacza dowolną stałą, ponieważ jej pochodna jest równa zero.Właściwości

Właściwości

które mają całką nieoznaczoną, w oparciu o definicje i właściwości pochodnych.
Zastanów kluczowych punktów:

integralną pochodną prymitywna sama prymitywna, a także dowolną stałą C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;
pochodną całki funkcji jest pierwotna funkcja i lt = & gt;(∫v (x) dx) 'v (x);
stałe są usuwane z wbudowanym znak & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, gdzie k - jest dowolna;
integralną, która jest pobierana z sumy identycznie równa sumie całek & lt; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Ostatnie dwie właściwości można stwierdzić, że całka nieoznaczona jest liniowa.W związku z tym, mamy: ∫ (kV (y) dy + ∫ lw (y)) DY k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Aby skonsolidować rozważyć przykłady rozwiązań nieokreślone całki.

konieczne, aby znaleźć integralną ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C.

Na przykład możemy stwierdzić, że nie wiesz, jak radzić sobie z nieokreślonym całek?Wystarczy znaleźć wszystkie prymitywów!Ale poszukiwanie zasad omówione poniżej.Metody i przykłady

w celu rozwiązania całki, można odwołać się do następujących metod:

tabeli gotowy do użycia;
integracji przez części;
zintegrowany zastępując zmienną;Osada
pod znaku różnicy.Stoły

najprostszy i przyjemny sposób.W tej chwili, analiza matematyczna może pochwalić się dość obszerne tabele, w którym nakreślono podstawowe formuły nieokreślonym całek.Innymi słowy, są wzorce pochodzące z tobą i można wziąć tylko z nich korzystać.Oto lista podstawowych pozycji tabeli, które mogą wyświetlać prawie każdej instancji, o rozwiązanie:

∫0dy = C, gdzie C - stała;
∫dy = y + C, gdzie C - stała;
∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, gdzie C - stała, a n - jest różna od liczby podmiotów;
∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, gdzie C - stała;
∫eydy = ey + C, gdzie C - stała;
∫kydy = (KY / ln k) + C, gdzie C - stała;
∫cosydy = siny + C, gdzie C - stała;
∫sinydy = -cosy + C, gdzie C - stała;
∫dy / cos2y = tgy + C, gdzie C - stała;
∫dy / sin2y = -ctgy + C, gdzie C - stała;
∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, gdzie C - stała;
∫chydy = nieśmiały + C, gdzie C - stała;
∫shydy = chy + C, gdzie C - stała.

Jeśli chcesz zrobić kilka kroków prowadzić całki do widoku tabelarycznym i cieszyć się zwycięstwem.Przykład: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Zgodnie z decyzją Oczywiste jest, że na stolePrzykład podcałkowa brakuje mnożnik 5. Dodajemy go równolegle z tym pomnożyć przez 1/5 do ogólnego wyrazu nie uległ zmianie.

Całkowanie przez części

Rozważmy dwie funkcje - Z (y) i X (Y).Muszą być one stale różniczkowalną w domeny.Jako jedna z właściwości różnicowania mają: d (xz) + = Xdz ZDX.Integracja obu stron, otrzymujemy: ∫d (xz) = ∫ (Xdz + ZDX) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.

Przepisanie wynikającej równania, otrzymujemy wzór opisujący metodę integracji przez części: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Dlaczego jest to konieczne?Fakt, że kilka przykładów można uprościć, relatywnie rzecz biorąc, w celu zmniejszenia ∫zdx ∫xdz, jeżeli jest blisko formie tabelarycznej.Ponadto, wzór ten może być użyty więcej niż jeden raz, w celu uzyskania optymalnych rezultatów.

Jak rozwiązać nieokreślony całek w ten sposób:

niezbędnych do obliczenia ∫ (s + 1) e2sds

∫ (x + 1) e2sds = {z = s + 1, dz = DS, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((s + 1) E2S) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((s + 1) E2S) / 2-E2S / 4 + C;

musi obliczyć ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = DS / s, y = y, dy = DS} = SLN - ∫s x DS / s = SLN - ∫ds = SLN -s+ C = s (LNS-1) + zmienna Wymiana C.

Zasada ta decyzja nieokreślonym całek popytu nie mniej niż dwa poprzednie, choć skomplikowana.Metoda jest następująca: niech V (x) - całka niektórych funkcji p (x).W przypadku, gdy w sobie zintegrowaną w przykładzie połowów slozhnosochinenny, może się mylić i przejdź do błędnych rozwiązań.Aby tego uniknąć praktykowane przejście od zmiennej x do Z, w którym ogólny wyraz wizualnie uproszczone zachowując część z zależności od x.

W języku matematycznym jest następujące: y ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) "(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), gdzie x =y (z) - na zmianę.Oraz, oczywiście, odwrotną funkcję z = y-1 (x) są w pełni opisane w związku i zależność między zmiennymi.Ważne - różnica dx musi zastąpiony nowym różnicowego dz, ponieważ zmiana zmiennej w całka nieoznaczona polega na zastąpieniu go wszędzie, nie tylko w podcałkowej.

przykład:

trzeba znaleźć ∫ (s + 1) / (s2 + 2S - 5) ds

stosować podstawienie Z = (s + 1) / (s2 + 2S-5).Następnie 2sds = dz = 2 + 2 (a + 1) DS & lt; = & gt;(s + 1) ds = dz / 2.W rezultacie, następujące wyrażenia, co jest bardzo proste do obliczania:

∫ (s + 1) / (S2 + 2S-5) o DS = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2LN | oo | + C = 1 / 2LN| s2 + 2s-5 | + C;

trzeba znaleźć integralną ∫2sesdx

Aby rozwiązać przepisać wyraz w następującej formie:

∫2sesds = ∫ (2e) SDS.

oznaczają = 2e (zastępując argument ten krok nie jest, to nadal s), dają naszym pozornie skomplikowane, integralną podstawowej formie tabelarycznej:

∫ (2e) SDS = ∫asds = a / lna+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + lne) + C = 2ses / (LN2 + 1) + C.

Wrap pod znaku różnicy

W zasadzie tej metodyCałka nieoznaczona - brat bliźniak zasady zmiany zmiennej, ale istnieją różnice w procesie rejestracji.Zastanów się szczegółów.

Jeśli ∫v (x) dx = V (x) + C, a y = z (x), a następnie ∫v (y) dy = V (y) + C

W Należy pamiętać trywialne integralne przekształceń międzygdzie:

dx = d (x + a), przy czym - każda stała;
dx = (1 / a), d (ax + b), gdzie a - stała jeszcze raz, ale nie zera;
xdx = 1 / 2d (x2 + b);
sinxdx = -d (cosx);
cosxdx = d (sinx).

Jeśli weźmiemy pod uwagę ogólny przypadek kiedy obliczyć całka nieoznaczona, przykładów może być oparta na wzorze ogólnym W '(x) dx = dw (x).

Przykłady:

trzeba znaleźć ∫ (2s + 3) 2DS, DS = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) 2DS = 1 / 2∫ (2s + 3) 2D (2s+ 3) = (1/2) x ((2S + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C

Pomoc online

W niektórych przypadkach, błąd, który może być albo lenistwo, albo pilna potrzeba, można użyćwskazówki online, a raczej korzystać z kalkulatora nieokreślone całek.Pomimo pozornej złożoności i kontrowersyjny charakter całek, ich decyzja jest przedmiotem pewnego algorytmu, który opiera się na zasadzie "nie, jeśli nie ... to ...".

Oczywiście, bardzo skomplikowane przykłady tego kalkulatora nie opanuje, jak istnieją przypadki, w których decyzja musi znaleźć sztucznie "wymuszone" przez wprowadzenie pewnych elementów w procesie, ponieważ wynik nie jest oczywiste sposoby osiągnięcia.Pomimo kontrowersyjnego charakteru tego stwierdzenia, to prawda, jak matematyka, w zasadzie, abstrakcyjną nauką, a jego głównym celem jest zdania, że trzeba poszerzyć granice możliwości.Rzeczywiście, dla sprawnego wykonywania w teorii jest bardzo trudne do poruszania się i ewoluują, więc nie zakładaj, że przykłady rozwiązania nieokreślonym całek, który dał nam - jest to wysokość opcji.Ale wracając do technicznej strony rzeczy.Przynajmniej do sprawdzenia obliczeń, można korzystać z serwisu, w którym zostało określone, by nas.Jeżeli istnieje potrzeba automatycznego obliczania złożonych ekspresji, to nie ma potrzeby uciekania się do poważniejszej oprogramowania.Należy zwrócić uwagę przede wszystkim na środowisku Matlab.Decyzyjne

Zastosowanie

Całki nieokreślony wydaje się na pierwszy rzut oka całkowicie oderwane od rzeczywistości, ponieważ trudno jest zobaczyć oczywiste korzystania z samolotu.W istocie ich zastosowanie w dowolnym miejscu bezpośrednio niemożliwe, jednak są one konieczne pośrednim elementem procesu wycofywania rozwiązań stosowanych w praktyce.Wróćmy do integracji różnicowania, a tym samym aktywnie uczestniczy w procesie rozwiązywania równań.
Z kolei równania te mają bezpośredni wpływ na decyzję mechanicznego problemu, obliczania trajektorii i przewodności cieplnej - krótko mówiąc, wszystko, co stanowi teraźniejszość i kształtowania przyszłości.W nieoznaczona, których przykłady rozważaliśmy powyżej, jedynie błahe na pierwszy rzut oka, jako bazę do przeprowadzenia coraz to nowych odkryć.