Secants stycznych - wszystko to setki razy można było usłyszeć z lekcji geometrii.Ale uwolnienie szkoły tyłu, przechodzą rok, a cała ta wiedza zapomniana.Co mam pamiętać?
istotą
określenie "styczna do okręgu" znak, być może, wszystko.Ale nie jest prawdopodobne, że wszystkie wkrótce formułuje definicji.Tymczasem, jest to tzw linie styczne leżące w tej samej płaszczyźnie z okręgu, który przecina go w jednym punkcie.Mogą one być bardzo wiele, ale wszystkie mają takie same właściwości, które są omówione poniżej.Jak można się domyślać, punktem kontaktowym, o którym mowa w miejscu, gdzie okrąg i linia przecinają.W każdym przypadku, że ma wartość jeden, jeśli jest ich więcej, to będzie poprzeczne.
Historia odkrycia i badań
koncepcji stycznej pojawił się w czasach starożytnych.Budowa tych linii do okręgu, a potem do elipsy, paraboli i hiperboli z linijki i kompasu odbędzie się we wczesnym stadium rozwoju geometrii.Oczywiście historia nie zachowała nazwisko odkrywcy, ale jasne jest, że nawet wtedy, gdy ludzie byli dobrze znane właściwości stycznej do okręgu.
W dzisiejszych czasach, zainteresowanie tym zjawiskiem wybuchł ponownie - rozpoczął nową rundę badania tego pojęcia w związku z otwarciem nowych krzywych.Tak więc, Galileo wprowadził pojęcie cykloida i Fermata i Kartezjusz zbudował styczną do niego.Co do kół, jak się wydaje, nie jest pozostawiony do starożytnych tajemnic w tej dziedzinie.Promień
Properties
uwagę na punkt przecięcia prostopadle do linii.Jest to główny, ale nie jedyny ośrodek, który jest styczny do okręgu.Inną ważną cechą zawiera już dwie proste.Tak więc wspólny punkt leży na zewnątrz okręgu może być dwóch stycznych i ich długości są równe.Nie ma innego twierdzenia na ten temat, ale to jest rzadko odbywają się w ramach standardowego kursu szkolnego, ale aby rozwiązać pewne problemy, to jest bardzo wygodne.To jest następujący.Z jednego punktu znajdującego się poza kręgiem, narysować styczną i sieczną do niego.Obraz segmencie AB, AC i AD.A - punkt przecięcia linii, B punkt kontaktowy, C i D - skrzyżowanie.W tym przypadku, jest to fair z równaniem: długość styczną do okręgu, kwadratu, jest równy iloczynowi AC i AD.
Od powyższego nie jest ważnym następstwem.Dla każdego punktu na kole można skonstruować styczną, ale tylko jeden.Dowodem na to jest prosta: jest to teoretycznie pomijając prostopadle od promienia, dowiadujemy się, że tworzą trójkąt nie może istnieć.A to oznacza, że tangens - jedyny.
budynku
Wśród innych zadań w geometrii istnieje specjalna kategoria, co do zasady, nie mają miłości uczniów i studentów.Aby rozwiązać zadania tej kategorii muszą tylko kompas i liniału.Zadaniem budynku.Czy oni budować na stycznej.
Tak więc, biorąc pod uwagę okrąg i punkt leżący poza jej granicami.I musi poruszać się im stycznej.Jak to zrobić?Przede wszystkim, trzeba wydać odstęp między środkiem okręgu O i ustawić punkt.Następnie za pomocą cyrkla należy podzielić ją na połowę.Aby to zrobić, należy określić zakres - trochę więcej niż połowa odległości między centrum oryginalnego koła i punktu.Następnie trzeba zbudować dwie przecinające się łuki.Ponadto, promień od kompasu nie należy zmieniać, a do centrum każdego kręgu będzie częścią oryginalnego punktu, i O, odpowiednio.Miejsca należy połączyć przecięcia łuków, które dzielą przedział na pół.Ustaw na promieniu kompasu równą tej odległości.Obok centrum miasta na skrzyżowaniu na budowę drugiego okręgu.Będzie ona oparta zarówno na pierwotnym miejscu, i O. W tym przypadku nie będą dwa skrzyżowania z tym problemem w kole.Że będą punkty kontaktowe dla wstępnie określonego punktu.
Ciekawe
Ta budowa stycznych do okręgu doprowadziły do powstania rachunku różniczkowego.Pierwsze prace na ten temat została opublikowana przez słynnego niemieckiego matematyka Leibniza.To przewiduje możliwość znalezienia maxima minima i stycznych, niezależnie od ilości ułamkowych i irracjonalne.Cóż, teraz jest on stosowany w wielu innych obliczeń.
ponadto styczna do koła związanym z geometrycznego sensie stycznej.To właśnie z tego, a jej nazwa pochodzi.W Łacińskiej Tangens - "stycznej".Tak więc, ta koncepcja jest nie tylko geometria i rachunek różniczkowy, ale z trygonometrii.
Dwa kółka
nie zawsze styczna zatragivet tylko jedna postać.Jeśli ktoś z kręgu może pomieścić mnóstwo linii, to dlaczego nie na odwrót?Możesz.To tylko problem w tym przypadku jest to poważnie skomplikowane, ponieważ styczny do obu kół nie może przejść przez każdy punkt, a względne położenie wszystkich tych danych może być bardzo różna.Rodzaje i odmiany
Jeśli chodzi o dwa koła i jeden lub bardziej bezpośredni, nawet jeśli wiemy, że jest to temat, nie jest od razu jasne, jak wszystkie te kawałki są ustawione względem siebie.W oparciu o to, istnieje kilka odmian.W ten sposób koło może mieć jeden lub dwa punkty wspólne, albo wcale.W pierwszym przypadku, że zachodzą na siebie, a drugi - w dotyku.I tu są dwie odmiany.Jeśli jednym okręgu, ponieważ zostały osadzone w drugim, to się nazywa wewnętrzną dotyk - jeśli nie coś zewnętrznego.Zrozumienia wzajemnego położenia elementów nie oparte wyłącznie na rysunkach, a także wyświetlania informacji o sumy ich promieni, a odległość pomiędzy ich ośrodkach.Jeśli te dwie wartości są równe, kręgi dotykać.Jeśli pierwszy więcej - przecinają się, a inaczej - nie mają wspólnych punktów.
Tak samo jest z linii prostych.Dla dowolnych dwóch środowisk, które nie mają wspólnych punktów, możliwe jest zbudowanie czterech stycznych
.Dwa z nich będą zachodzić między postaciami, są one nazywane wewnętrzny.Kilka innych - zewnętrzna.
Jeśli mówimy o okręgi, które mają jeden punkt wspólny problem poważnie uproszczone.Fakt, że w dowolnym wzajemnym położeniu, w tym przypadku, że tylko jeden styczny.I przechodzi przez punkt przecięcia.Tak, że budowa nie będzie powodować trudności.
Jeśli dane mają dwa punkty przecięcia, a następnie mogą być zbudowane linii stycznej do okręgu, jako jeden, i drugi, ale tylko z zewnątrz.Rozwiązanie tego problemu jest podobne do tego, co omówiono później.
Rozwiązywanie problemów
Zarówno wewnętrzne i zewnętrzne styczny do dwóch kręgów w budynku nie są tak proste, choć i problem został rozwiązany.Fakt, że korzysta z rysunku pomocniczego więc zorientowali się taką metodę sama jest problematyczne.Tak więc, biorąc pod uwagę dwa okręgi o różnych promieniach i ośrodki O1 i O2.Dla nich, potrzeba zbudować dwie pary stycznych.
Przede wszystkim, w pobliżu centrum większego kręgu zbudować podtrzymujące.Tak więc w kompas musi być ustawiony jest różnica pomiędzy promieniami dwóch oryginalnej postaci.Ze środka mniejszego koła skonstruowane styczną do pomocniczego.Po tym z O1 i O2 odbywają perependikulyary nich prosto do skrzyżowania z oryginalnych postaci.Jak wynika z podstawowych własności stycznej, wymagane punkty na obu kołach znaleźć.Problem ten został rozwiązany, co najmniej części pierwszej.
Aby zbudować styczne wewnętrzne muszą rozwiązać prawie podobny problem.Ponownie, potrzebny jest rysunek pomocniczy, ale tym razem jej promień jest równy sumie oryginału.Dla niej skonstruować styczną od centrum jednego z tych środowisk.Dalszy przebieg decyzji można zrozumieć z poprzedniego przykładu.
styczna do okręgu, a nawet dwie lub więcej - nie tak trudnym zadaniem.Oczywiście, matematycy dawno przestała rozwiązać podobne problemy ręcznie i zaufać obliczyć specjalne programy.Ale nie sądzę, że to jest teraz nie musi być w stanie zrobić to sam, ponieważ dla prawidłowego sformułowania zadania dla komputera zrobić wiele i zrozumienia.Niestety, istnieją obawy, że po ostatecznym przejściem do postaci testu kontroli problemów wiedzy na temat budowy spowodują studenci bardziej trudne.
W celu znalezienia wspólnej stycznej do większej liczby kół, nie zawsze jest to możliwe, nawet jeśli znajdują się one w tej samej płaszczyźnie.Jednak w niektórych przypadkach jest możliwe znalezienie takiej linii.Przykłady życia
wspólną styczną do obu kół jest często spotykany w praktyce, chociaż nie zawsze jest widoczny.Przenośniki, systemy modułowe, koła pasowe, pasy transmisyjne naprężenie nici w maszynie do szycia, ale nawet łańcuch rowerowy - to przykłady życia.Więc nie sądzę, że geometryczne problemy pozostają tylko w teorii: w inżynierii, fizyki, budownictwa i wielu innych dziedzinach znajdą praktyczne zastosowanie.
