dada uma função simples em trigonometria = sin (x) é diferenciável em todos os pontos de todo o domínio.É necessário para provar que o derivado do seno de qualquer argumento é o co-seno do mesmo ângulo, isto é, '= cos (x).Prova
baseia-se na definição de derivado
Definir x (arbitrária) em uma pequena vizinhança de um determinado ponto de △ x x0.Mostramos o valor de uma função em que, e no ponto X para encontrar o incremento da função especificada.Se △ x - incremento do argumento, em seguida, um novo argumento - é x0 + Ax = x, o valor desta função em um determinado valor do argumento y (x) é Pecado (x0 + Ax), o valor de uma função em um ponto específico em (x0) é também conhecido.
Agora temos? U = Sin (x0 + △ x) -sin (x0) - recebeu a função de incremento.
De acordo com a fórmula da soma seno de dois ângulos desiguais vai converter a diferença? U.
? U = Sin (x0) · Cos (△ x) + Cos (x0) · Sin (Ax) menos Sin (x0) = (Cos (Ax) -1) · Sin (x0) + Cos (x0) · Sin (△ x).
troca de termos agrupados do primeiro para o terceiro Sin (x0), realizado um fator comum - sine - os colchetes.Temos de expressar a diferença Cos (△ x) -1.Você está mudando o sinal do suporte e entre parênteses.Saber o que é o 1-Cos (△ x), nós fazer a mudança e obter uma expressão simplificada? U, que é então dividido por △ x.
? U / x △ é da forma: Cos (x0) · Sin (△ x) / △ x 2 · sin2 (0,5 · △ x) · Sin (x0) / △ x.Esta é a razão entre a função de incremento ao argumento incremento pressupostos.
permanece para encontrar o limite dos rácios obtidos por nós durante lim △ x tende a zero.
conhecido que limite Sin (△ x) / Ax é igual a 1, para uma determinada condição.E a expressão 2 · sin2 (0,5 · △ x) / x △ na resultante privada transformações soma ao trabalho que contém como um fator do primeiro limite notável: numerador e znemenatel dividido em duas frações, seno quadrado substituir o produto.Assim:
(Sin (0,5 · Ax) / (0,5 · Ax)) · Sin (Ax / 2).
limite desta expressão como △ x tende para zero, o número é igual a zero (1 multiplicada por 0).Verifica-se que o limite da relação de Ay / △ x é igual a Cos (x0) · 1-0, isto é Cos (x0), uma expressão que não depende △ x, tendendo a 0. Logo, a conclusão: o derivado do seno de qualquer ângulo x é o co-seno de xnós escrevemos assim: '= Cos (x).
Esta fórmula é listada na tabela de derivados conhecidos, onde todas as funções elementares
na resolução de problemas, onde ele se encontra com o derivado do seno, você pode usar as regras de diferenciação e fórmulas prontas da mesa.Por exemplo: Encontre um simples derivado da função y = 3 · sin (x) -15.Usamos as regras básicas de diferenciação, a remoção do fator numérico para o sinal da computação número constante derivados e derivados (é zero).Aplicar o valor tabelado do derivado do seno do ângulo x igual cos (x).Ficamos com a resposta: y '= 3 · Cos (x) -O.Este derivado, por sua vez, é também uma função elementar y = L · cos (x).
derivado do seno ao quadrado de qualquer argumento
Ao calcular a expressão (sin2 (x)), você precisa se lembrar de como diferenciar uma função complexa.Então, sin2 = (x) - é uma função exponencial como seno ao quadrado.O argumento é também uma função trigonométrica, um argumento complexo.O resultado neste caso é o produto do primeiro factor é o derivado do quadrado de um argumento complexo, e o segundo - um derivado do seio.Aqui é a regra para a diferenciação em função de uma função: (u (v (x))) "é (u (v (x))) '· (v (x))'.Expressão v (x) - um argumento complexo (função interna).Se a função dada é "y é o seno ao quadrado x", então a derivada de uma função composta é y = 2 · sin (x) · Cos (x).O produto do primeiro elemento é o dobro - derivado de uma função de potência conhecida, e cos (x) - derivado do seno do argumento da função quadrática complexa.O resultado final pode ser convertido usando a fórmula do seno trigonométrica do ângulo duplo.A: A derivada é Pecado (2 · x).Esta fórmula é fácil de lembrar, é muitas vezes usado como uma mesa.
