Poliedros regulares: elementos, a simetria ea área

Geometria é bela porque, ao contrário de álgebra, que nem sempre está claro como o que você pensa, dá um objeto visual.Este maravilhoso mundo dos vários organismos adornam o poliedros regulares.

Compreender poliedros regulares

De acordo com muitos, poliedros regulares, ou como são chamados os sólidos platônicos têm propriedades únicas.Com esses objetos ligados várias hipóteses científicas.Quando você começa a estudar os dados geométricos do corpo, você percebe que quase não sabe nada sobre tal conceito como o poliedros regulares.A apresentação desses objetos na escola nem sempre é interessante, para muitos nem sequer lembrar o que eles foram chamados.Na memória da maioria das pessoas é apenas um cubo.Nenhum dos corpos em geometria não possuem tal perfeição como poliedros regulares.Todos os nomes desses corpos geométricos originado da Grécia antiga.Eles representam o número de faces: o tetraedro - de quatro lados, Hexaedro - Allen, octaedro - octaedro, dodecaedro - dodecaédrico, icosaedro - icosahedral.Todos estes corpo geométrico ocupa um lugar importante na concepção do universo de Platão.Quatro deles incorporam elementos ou entidades: o tetraedro - icosaedro fogo - cubo de água - terra, octaedro - ar.Dodecaedro encarna todas as coisas.Ele foi considerado o principal, porque ele era um símbolo do universo.

generalização do conceito de um poliedro

poliedro é um conjunto finito de número de polígonos de modo a que:

• cada lado de qualquer um dos polígonos é também a parte de apenas um outro polígono no mesmo lado;
• de cada um dos polígonos pode ser alcançado por ir para os outros polígonos adjacentes com ele.Polígonos

que constituem o poliedro são os seus rostos e suas laterais - costelas.Vértices de são vértices dos polígonos.Se você entende pelo conceito de um polígono plano polilinhas fechadas, em seguida, chegar a uma definição de um poliedro.No caso em que esta noção significa que parte do plano que é delimitada por linhas a tracejado, é necessário compreender a superfície, que consistem em fragmentos poligonais.Poliedro convexo é chamada o corpo encontra-se de um lado do plano, adjacente às suas faces.

Outra definição de um poliedro e os seus elementos

poliedro é uma superfície que consiste de polígonos, que limita o corpo geométrico.São eles:

• não-convexo;
• convexo (certo e errado).

poliedro regular - é poliedros convexos com simetria máxima.Elementos de poliedros regulares:

• tetraedro 6 arestas, 4 faces, 5 vértices;
• Hexaedro (cubo) 12, 6, 8;
• dodecaedro 30, 12, 20;
• octaedro 12, 8, 6;
• icosaedro: 30, 20, 12. teorema

de Euler

Ele estabelece uma relação entre o número de arestas, vértices e faces são topologicamente equivalente a uma esfera.Adicionando o número de vértices e faces (B + D) em diferentes poliedros regulares e compará-los com o número de costelas, você pode definir uma regra: a soma do número de faces e vértices é igual ao número de arestas (F), aumentou 2. Você pode exibir uma fórmula simples:

• B + F = P + 2.

Esta fórmula é válida para todos os poliedros convexos.

conceito de um poliedro regular é impossível descrever em uma frase.É um valor de multi-e volume.Um corpo a ser reconhecido como tal, é necessário que cumpre uma série de definições.Por exemplo, o corpo geométrico será um poliedro regular no desempenho das seguintes condições:

• é convexa;
• o mesmo número de nervuras convergem em cada um dos seus vértices;
• todas as facetas do mesmo - polígonos regulares, iguais um ao outro;
• todos os ângulos diedros são iguais.Propriedades

de poliedros regulares

Existem 5 tipos diferentes de poliedros regulares:

1. Cube (Hexaedro) - tem um ângulo raso no vértice é de 90 °.Ele tem um canto de 3 lados.A soma dos ângulos planares na ponta de 270 °.
2. Tetrahedron - ângulo plana na parte superior - 60 °.Ele tem um canto de 3 lados.A soma dos ângulos no vértice planares - 180 °.
3. Octahedron - ângulo plana na parte superior - 60 °.Ele tem um canto de 4 faces.A soma dos ângulos no vértice planares - 240 °.
4. dodecaedro - um ângulo plana na parte superior de 108 °.Ele tem um canto de 3 lados.A soma dos ângulos no vértice planares - 324 °.
5. icosaedro - seu ângulo plana na parte superior - 60 °.Tem canto 5 lados.A soma dos ângulos planares na ponta de 300 °.

Área

poliedros regulares A área superficial de sólidos geométricos (S) é calculada como a área de um polígono regular, multiplicado pelo número das suas faces (g):

• S = (R: 2) x 2G CTG π / p.Volume de

de um

poliedro regulares Este valor é calculado multiplicando o volume de uma pirâmide regular, cuja base é um polígono regular, o número de faces, e a sua altura é o raio da esfera inscrita (R):

• V = 1: 3RS.Volume de

de poliedros regulares

Como quaisquer outros sólidos, poliedros regulares geométricas têm diferentes volumes.Abaixo estão as fórmulas pelas quais eles podem ser calculados:

• tetraedro: α x 3√2: 12;
• octaedro: α x 3√2: 3;
• icosaedro;α x 3;
• Hexaedro (cubo): ct x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecaedro: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elements poliedros regulares

Hexaedro e octaedro são corpos geométricos dupla.Em outras palavras, eles podem sair de um ao outro no caso de o centróide de um é tomado como o topo do outro, e vice-versa.Além disso, é a dupla icosaedro e dodecaedro.Somente eu tetraedro é dual.A título de Euclides pode ser obtido a partir de um hexaedro dodecaedro através da construção de "telhados" sobre as faces do cubo.Os vértices do tetraedro são quaisquer 4 vértices do cubo, e não pares adjacentes de costela.De hexaedro (cubo) pode ser obtido, e outros poliedros regulares.Apesar do fato de que polígonos regulares têm incontáveis, poliedros regulares, existem apenas 5.

raios de polígonos regulares

Com cada um desses corpos geométricos ligados 3 esferas concêntricas:

• descritos passando por seu ápice;
• inscrito em relação a cada um dos seus rostos no meio dela;
• mediano a respeito de todas as bordas no meio.Raio

da esfera é calculada tal como descrito pela seguinte fórmula:

• r = a: 2 x TG π / g x TG θ: 2.

raio da esfera inscrito é calculada como se segue:

• r = a: 2 x CTGπ / p x TG θ: 2,

onde θ - ângulo diedro, que está localizado entre as faces adjacentes.

raio médio da esfera pode ser calculada pela seguinte fórmula:

• ρ = a ¸ cos / p: 2 sin π / h,

valor em que h = 4,6, 6,10, ou 10. A relação entre os raios, tal como descrito e inscritosimetricamente com respeito ao p e q.É calculado pela fórmula:

• R / R = tg π / p x π TG / q.

Simetria Symmetry poliedros

poliedros regulares é de interesse primordial para estes corpos geométricos.Entende-se como um movimento de um corpo no espaço, o que deixa o mesmo número de vértices e arestas.Em outras palavras, sob a influência de simetria transformações borda, vértice, face ou mantém a sua posição original, ou se move para a posição de partida de um outro reforço, os outros vértices ou faces.

poliedros regulares simetria elementos comuns a todos os tipos de sólidos geométricos.Aqui é conduzida na transformação de identidade, o que deixa qualquer um dos pontos na posição original.Assim, ao girar o prisma poligonal podem receber várias simetrias.Qualquer um destes pode ser representado como o produto de reflexões.A simetria que é o produto de um mesmo número de reflexões, chamada directa.Se ele é um produto de um número ímpar de reflexões, ele é chamado de volta.Assim, todas as voltas em torno da linha como uma simetria linear.Qualquer reflexão do poliedro - uma simetria inversa.

Para entender melhor os elementos de simetria dos poliedros regulares, você pode pegar o exemplo de um tetraedro.Qualquer linha que vai passar por um dos vértices e no centro desta figura geométrica, vai passar pelo centro ea borda à sua frente.Cada um dos cantos 120 e 240 ° em torno da linha pertence à simetria tetraédrica plural.Porque ele tem 4 vértices e faces, obtemos um total de oito simetrias diretos.Qualquer uma das linhas que passam através do meio das arestas e o centro do corpo, passa pelo meio das suas arestas opostas.Cada turno de 180 °, chamado meia volta ao redor da linha é uma simetria.Desde o tetraedro, há três pares de costelas, você tem três linhas de simetria.Com base no que precede, pode concluir-se que o número total de simetria directa, e incluindo a identidade transformação, será de até doze.Outros tetraedro simetria direta não existe, mas tem 12 simetria inversa.Por conseguinte, o tetraedro é caracterizado por um total de 24 simetrias.Para maior clareza, você pode construir um modelo de um tetraedro regular feita de papelão e verifique se ele é o corpo geométrico realmente tem apenas 24 simetria.

dodecaedro e icosaedro - mais próximo da área do corpo.O icosaedro tem o maior número de faces, o maior ângulo diedro e mais apertado todos podem agarrar-se a esfera inscrita.O dodecaedro tem o defeito menor angular, o maior ângulo sólido no topo.Pode ser descrito tanto quanto possível preencher o âmbito.

varredura poliedros

varredura poliedros regulares, que todos nós colada na infância tem um monte de conceitos.Se houver um conjunto de polígonos, cada lado da qual é identificado com apenas um lado do poliedro, a identificação das partes deve cumprir duas condições:

• de cada polígono, você pode ir para um polígono tendo lados identificados;Partes identificáveis ​​
• devem ter o mesmo comprimento.

É um conjunto de polígonos que satisfazem estas condições e chamado poliedro digitalização.Cada um destes corpos tem vários deles.Por exemplo, um cubo 11 tem pedaços deles.