-Line - je zvláštny prípad štvoruholníka, ktorý má jednu dvojicu rovnobežných strán je.Termín "Keystone" je odvodený z gréckeho slova τράπεζα, znamenať "stôl", "stôl".V tomto článku sme sa vziať do úvahy typy hrazde a jeho vlastnosti.Tiež sa pozrieme na to, ako vypočítať jednotlivé prvky geometrického útvaru.Napríklad uhlopriečky rovnostranného lichobežníka, prostredná radu, plochy a ďalších. Materiál je prezentovaný v štýle populárneho elementárnej geometrie, t. E. V ľahko prístupnej forme.
General
Po prvé, poďme sa pochopiť, čo štvoruholník.Toto číslo je zvláštny prípad mnohouholníka, ktorý má štyri strany a štyri vrcholy.Dva vrcholy štvoruholníka, ktoré nie sú priľahlé, sa nazývajú opak.To isté možno povedať o dvoch non-priľahlých stranách.Hlavné typy štvoruholníkov - rovnobežník, obdĺžnik, diamant, štvorec, lichobežník a deltoid.
Takže späť k hrazde.Ako sme už povedali, toto číslo sa obe strany sú rovnobežné.Nazývajú sa základy.Ďalšie dve (non-paralelný) - strany.Materiály rôznych vyšetrenie a vyšetrenie veľmi často nájdete úlohy spojené s lichobežníky, ktorých riešenie často vyžaduje znalosti študenta, nie je poskytovaná v rámci programu.Geometria Škola Predmet zoznamuje študentov s vlastnosťami uhlov a uhlopriečok a stredovej línie rovnoramenného lichobežníka.Ale iné, než ktoré sú uvedené geometrické postava má iné vlastnosti.Ale o nich neskôr ... Typy
hrazda
Existuje mnoho druhov tohto obrázku.Avšak, najviac bolo dohodnuté, že dvaja z nich - rovnoramenný a obdĺžnikový.
1. Obdĺžniková trapezoid - údaj, ktorý má jednu zo strán kolmo k základni.Má dva uhly sú vždy rovné deväťdesiat stupňov.
2. rovnoramenný lichobežník - jednoduchým geometrickým obrazcom, ktorej strany sú rovnaké.A to znamená, a uhly na základni párov sú rovnaké tiež.
hlavné princípy metodiky na štúdium vlastností lichobežníka
základných zásad zahŕňajú použitie tzv prístupu úloh.V skutočnosti nie je potrebné uzavrieť teoretického predmetu Geometria nových vlastností tohto obrázku.Môžu byť otvorené alebo v procese formulovania rôzne úlohy (lepší systém).Je veľmi dôležité, aby učiteľ vedieť, aké úlohy je potrebné dať pred študentmi v danom okamihu vzdelávacieho procesu.Okrem toho, každá vlastnosť Trapeze môže byť reprezentovaný ako kľúčový úlohu v úlohe.
Druhým princípom je tzv špirála organizácia odbore "pozoruhodné" majetkové hrazde.To znamená návrat k procesu učenia jednotlivých rysov geometrického útvaru.Tak, to je ľahšie pre študentov, aby ich naspamäť.Napríklad, štyri funkcie body.To môže byť preukázané ako v štúdii podobnosti, a následne za použitia vektorov.A rovných trojuholníkov susediacich k stranám na obrázku, je možné dokázať, s použitím nielen vlastnosti trojuholníkov s rovnakými výškami, vykonaných do strán, ktoré leží na priamke, ale tiež podľa vzorca S = 1/2 (ab * sinα).Okrem toho je možné pracovať na zákon Sines napísaný na hrazde alebo pravouhlého trojuholníka je opísaný na visutej hrazde, a tak ďalej D.
použitie "mimoškolské" predstavuje geometrické postava v obsahu školského ihriska. - Tasking je technológia ich výučby.Constant referencie k štúdiu vlastností priechod druhého umožňuje študentom hlboko učí lichobežník a zaisťuje úspech úlohy.Takže sme sa pristúpiť k štúdiu tohto pozoruhodného obrázku.
prvky a vlastnosti rovnoramenného lichobežníka
Ako už bolo povedané, v tomto geometrickým obrazcom strany sú si rovné.Napriek tomu, že je známy ako pravé lichobežníka.A čo je ona tak pozoruhodné a prečo dostal svoje meno?Medzi zvláštnosti tomto obrázku je, že nielen rovnakými stranami a uhly na základniach, ale aj diagonálne.Okrem toho uhly rovnoramenného lichobežníka sa rovná 360 stupňov.Ale to nie je všetko!Zo všetkých rovnoramenných lichobežníkov iba okolo kruhu možno popísať.To je spôsobené tým, že súčet protiľahlých uhlov na obrázku je 180 stupňov, ale len za takom stave, môže byť popísané kruhu okolo štvoricu.Nasledujúce vlastnosti geometrických obrazcov sa za to, že vzdialenosť od hornej časti základne opačnej priemetom vrcholu na priamke, ktorá obsahuje tento základ sa bude rovnať strednej čiare.
Teraz sa pozrime na to, ako nájsť rohy rovnoramenného lichobežníka.Zoberme si prípad riešenie tohto problému za predpokladu, že sa známymi rozmermi strán obrázku.
rozhodnutie
zvyčajne obdĺžnik je označená písmenami A, B, C, D, kde BC a AD - nadácie.Rovnoramenného lichobežníka strany sú rovnaké.Predpokladáme, že X je rovná ich veľkosti, a veľkosť základne je Y, a Z (menšie a väčšie, v tomto poradí).Pre výpočet uhla, že je potrebné vynaložiť výšky H. Výsledkom je pravouhlý trojuholník ABN, kde AB - prepona a BN a AN - nohy sú.Máme vypočítať veľkosť nohy AN: S menej dôvodov, aby vzali a rozdeliť výsledok 2. píšeme ako vzorec: (ZY) / 2 = F. Teraz, pre výpočet ostrého uhla trojuholníka používame funkcie cos.Dostaneme nasledujúci záznam: cos (β) = X / F.Teraz sme výpočet uhla: β = Arcos (X / F).Ďalej, pretože vedel, jeden roh, môžeme určiť druhý, na výrobu základného aritmetické operácie: 180 - beta.Všetky uhly sú definované.
K dispozícii je druhý riešenie tohto problému.Na začiatku sme vynechať z rohu do výpočtu hodnoty výšky H. nohe BN.Vieme, že štvorec prepony pravouhlého trojuholníka je rovná súčtu štvorcov nôh.Získajte: BN = √ (X2 F2).Ďalej používame goniometrické funkcie Tg.Výsledkom je: β = arctg (BN / F).Ostrý uhol nájdené.Ďalej sa definuje tupý uhol podobný prvého spôsobu.
vlastníctva uhlopriečky rovnoramenného lichobežníka
napísať prvé štyri pravidlá.V prípade, že diagonálne v rovnoramenný lichobežník kolmé, potom:
- výška postavy je suma základov, deleno dvomi;
- jeho výška a stredné línie sú si rovné;
- plocha lichobežníka je rovný druhej mocnine výšky (prostredný radu, polovica súčtu báz);
- diagonálne štvorec je polovice súčet druhej mocniny báz alebo dvakrát na námestí strednej čiary (výška).
Teraz zvažovať vzorec určujúci uhlopriečky rovnostranného lichobežníka.Tento údaj môže byť rozdelená do štyroch častí:
dĺžky 1. Formula uhlopriečne cez ňu.
pripustil, že A - nižšia základňa, B - horná C - rovné strany, D - diagonálne.V tomto prípade sa dĺžka môže byť stanovená nasledujúcim spôsobom:
D = √ (C 2 + A * B).
2. Vzorec uhlopriečka dĺžka cosinus.
sa uznáva, že A - nižšia base, B - horná C - rovné strany, D - diagonálne, α (v spodnej základni) a β (horná base) - rohy lichobežníka.Dostaneme nasledujúci vzorec, s ktorým môžete vypočítať dĺžku uhlopriečky:
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).
3. dĺžky Formule uhlopriečok rovnoramenného lichobežníka.
pripustil, že A - nižšia základňa, B - horný, D - diagonálne, M - stredná čiara, H - výška, P - oblasť lichobûÏníkovitû, alfa a beta - uhla medzi uhlopriečok.Určte dĺžku nasledujúcich vzorcov:
- D = √ (M2 + H2);
- D = √ (H2 + (A + B), 2/4);
- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M + H / sinα).
Adhoc rovnosť: sinα = sinβ.
4. Formula uhlopriečne šírkou a výškou časti.
pripustil, že A - nižšia základňa, B - horná C - strany, D - diagonálne, H - výška, α - uhol nižšieho základu.
Určte dĺžku nasledujúcich vzorcov:
- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);
- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);
- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C 2 H 2)).
prvky a vlastnosti obdĺžnikový lichobežníkového
Poďme sa pozrieť, čo to je zaujímavé geometrické tvary.Ako sme už povedali, máme obdĺžnikovú lichobežník dva pravé uhly.
Popri klasickej definície, tam sú iní.Tak napríklad, obdĺžnikový lichobežník - lichobežník, ktorého jedna strana je kolmá na substráty.Alebo tvary majúce v bočných uhlov.V tomto type výšky lichobežníkov, je tá strana, ktorá je kolmá na báz.Prostredný riadok - segmentu, ktorý spája stredy na oboch stranách.Vlastnosť tohto prvku je, že je rovnobežná s bázou, a je rovná polovici ich súčtu.
Teraz poďme zvážiť základné vzorce, ktoré definujú geometrické tvary.K tomu budeme predpokladať, že A a B - základňa;C (kolmo k základni) a D - časť pravouhlého lichobežníka, M - stredná čiare, alfa - ostrý uhol, P - oblasť.
1. strana, kolmé k základni, číslo rovnajúce sa výške (C = N), a je rovnaká, ako dĺžka druhej strane A a sínusu uhla a na vyššej báze (C = A * sinα).Okrem toho, že je rovná súčinu dotyčnice ostrý uhol a a rozdiel v základniach: C = (A-B) * tgα.
2. strana D (nie kolmo k základni) sa rovná rozdielu medzi súkromným a B a cosinus (alfa) v ostrom uhle, alebo súkromnú postava výške H a sinus ostrom uhle: A = (A-B) / cos α = C / sinα.
3. strana, ktorá je kolmá na základni, ktorá sa rovná druhej odmocniny z rozdielu medzi štvorcovým D - druhé bočné - a štvorce rozdielu medzi bázami:
C = √ (q2 (AB), 2).
4. Strana A pravouhlý lichobežník sa rovná druhej odmocnine súčtu štvorec, ktorého strany C, a rozdiel medzi štvorcových základní geometrické tvary: D = √ (C2 + (A-B) 2).
5. strana C sa rovná kvociente súčtu dvojnásobku oblasti jeho dôvodov: C = P / M = 2n / (A + B).
6. Area definovaná ako produkt M (stredná línia z pravouhlého lichobežníka) k výške alebo strany, kolmé k základni: P = M = M * N * C.
7. Party C sa rovná kvociente dvojnásobok plochy na obrázku v práci sinus ostrého uhla a súčtom svojich základní: C = P / M * sinα = 2n / ((A + B) * sinα).
8. Formule strana pravouhlého lichobežníka cez jeho uhlopriečka a uhol medzi nimi:
- sinα = sinβ;
- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,
kde D1 a D2 - diagonálne lichobežník;α a β - uhol medzi nimi.
9. Formula strana prostredníctvom rohu v dolnej základni a ostatnými stranami: D = (A-B) / cosα = C / sinα = N / sinα.
Vzhľadom k tomu, lichobežníková s pravým uhlom je zvláštny prípad lichobežníka, ostatné formula určujúci tieto údaje budú stretávať a obdĺžnikové.
vlastnosti vpísanej kružnice
Ak podmienka hovorí, že v obdĺžnikovom lichobežníkové vpísanej kružnice, môžete použiť nasledovné vlastnosti:
- súčet základov je súčet strán;
- vzdialenosť od hornej časti obdĺžnikového tvaru na body dotyku vpísanej kružnice sa vždy rovná;
- rovnajúci sa výške lichobežníkového strany, kolmé k základni, a sa rovná priemeru kruhu;
- stred kruhu je bod, v ktorom sa pretínajú bisectors na uhlov;
- v prípade, že strana je rozdelená na segmenty v mieste kontaktu H a M, potom polomer kruhu sa rovná druhej odmocniny z produktu z týchto segmentov;
- štvoruholník, ktorý tvoril bodmi dotyku, vrchol lichobežníka a stredom vpísanej kružnice - štvorca, ktorého strana sa rovná polomeru;
- plocha obrázku je rovná súčinu polovičná čiastky základu a dôvodov na jeho výšky.
Podobné hrazda
Táto téma je veľmi užitočné pre skúmanie vlastností geometrických obrazcov.Napríklad, diagonálne rozdelená na štyri trojuholníky lichobežník, a susedí s bázami sú podobné, a do strán - o rovnaké.Toto vyhlásenie môže byť nazývaný vlastnosť trojuholníky, ktoré sú rozbité hrazda jeho uhlopriečkami.Prvá časť tohto vyhlásenia je preukázané, údajom o podobnosti v dvoch rohoch.Aby dokázal, že druhá časť je lepšie použiť metódu nižšie.
Dôkazom
pripustil, že toto číslo ABSD (AD a BC - základ lichobežníka) je rozdelená diagonály HP a striedavé.Priesečník - O. sme získať štyri trojuholníky: Spoločnosť AOC - na spodnej základni, BOS - na hornej základni, ABO a SOD po stranách.Triangles SOD a biofeedback majú spoločnú výšku v tomto prípade, ak je segmenty a CD OD sú ich základne.Zistili sme, že rozdiel v ich oblastiach (P) sa rovná rozdielu medzi týmito segmenty: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Preto PSOD PBOS = / K.Podobne, trojuholníky AOB a biofeedback majú spoločný výšku.Prijímame svoje základne segmentov SB a OA.Získať PBOS / PAOB = CO / OA = k a PAOB PBOS = / K.Z toho vyplýva, že PSOD = PAOB.
konsolidovať materiál je doporučený pre študentov nájsť spojenie medzi oblasťami trojuholníkov, ktorý sa bez rozbité trapéz jeho uhlopriečkami, rozhodovanie o ďalšiu úlohu.Je známe, že trojuholníky BOS a ADP oblasti sú si rovné, je nutné zistiť plochu lichobežníka.Vzhľadom k tomu, PSOD = PAOB, potom PABSD PBOS + = 2 * PSOD PAOD.Z podobnosti trojuholníkov BOS a ADP vyplýva, že CP / OD = √ (PBOS / PAOD).V dôsledku toho, PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD).Získať PSOD = √ (* PBOS PAOD).Potom PABSD PBOS + = PAOD 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.
Vlastnosti podobnosť
bude naďalej rozvíjať túto tému, môžete preukázať ďalšie zaujímavé črty lichobežníkov.Teda, s použitím podobnosti môže preukázať úsek vlastnosť, ktorá prechádza bodom vytvárajú prekrížením uhlopriečok tohto geometrického obrazca, rovnobežne so základňou.K tomu bude riešiť nasledujúci problém: musíte nájsť dĺžku segmentu RK, ktorá prechádza bodom O. z podobnosti trojuholníkov ADP a biofeedback vyplýva, že AO / OS = BP / BS.Z podobnosti trojuholníkov ADP a ASB, vyplýva, že AB / AC = PO / BS = AD / (BS + BP).To znamená, že PO = BS * BP / (BS + BP).Podobne z podobnosti trojuholníkov MLC a DBS vyplýva, že OK = BS * BP / (BS + BP).To znamená, že PO = OK a RC = 2 * BS * BP / (BS + BP).Segment prechádzajúce priesečníku uhlopriečok, rovnobežne so základňou, a spájajúci dve strany rozdelené priesečníku dvoch.Jeho dĺžka - je harmonický priemer zo základov obrázku.
Predpokladajme nasledujúce kvality lichobežník, ktorý sa nazýva majetkom štyri body.Body priesečníku uhlopriečok (D), prieniky pokračovať strany (E) a stredné základne (T a G), stále leží na rovnakom riadku.To sa dá ľahko preukázať podobnosti.Tieto trojuholníky BES a AED sú podobné, a v každom z nich, a stredný ET ježko rozdeliť vrcholový uhol E rovným dielom.Preto je bod E, T, a F sú kolineárne.Rovnako tak, na rovnakom riadku sú usporiadané s ohľadom na T, D a G. Toto vyplýva z podobnosti trojuholníkov BOS a ADP.Preto sme došli k záveru, že vo všetkých štyroch bodoch - E, T, G a H - ležia na priamke.
použitím podobných lichobežníky, možno ponúknuť študentom nájsť dĺžku segmentu (LF), ktorý sa rozdelí na dve približne rovnako.Tento segment musí byť rovnobežné s základne.Vzhľadom k tomu, získané trapézového ALFD a LBSF sú podobné, BS / LF = LF / AD.To znamená, že LF = √ (BS * BP).Zistili sme, že segment lámanie ako lichobežníka do dvoch, má dĺžku rovnajúcu sa geometrického priemeru dĺžke základného obrázku.
Zvážte nasledujúce vlastnosť podobnosti.Je založený na segmente, ktorá rozdeľuje lichobežník na dva kusy rovnakej veľkosti.Uznávame, že Keystone ABSD EN časť je rozdelená na dve časti a podobne.Z hornej časti B znížená výška tohto segmentu je rozdelený na dve časti CZ - B1 a B2.Získame PABSD / 2 = (BS EN +) * B1 / 2 = (Ag + EN) * B2 / 2 a PABSD = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Ďalej sme sa systém skladá, čo je prvá rovnica (BS EN +) * B1 = (Ag + EN) * B2 a druhý (BS EN +) * B1 = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Z toho vyplýva, že B2 / B1 = (BS EH +) / (+ AD EH) a BS EN + = ((BP + BS) / 2) * (1 + B2 / B1).Zistili sme, že dĺžka segmentu, tak, že sa lichobežník na dve rovnaké veľkosti, ktorá sa rovná priemeru kvadratické dĺžkou základne: √ ((BS2 + w2) / 2).
Závery podobnosť
Preto sme preukázali, že:
1. segmentu, ktorý spája strednú časť lichobežníka na stranách, rovnobežných s AD a BC a je rovná priemernej BC a AD (dĺžka základne lichobežníka).
2. línie prechádzajúcej priesečníkom diagonál paralelné AD a BC sa bude rovnať harmonický priemer čísel BP a BS (2 * BS * BP / (BS + BP)).
3. Cut, lámanie na hrazde, ako má dĺžku geometrický priemer základov BC a AD.
4. Prvok, ktorý rozdeľuje do dvoch postavu rovnakej veľkosti, ktoré má dĺžku priemerného štvorca počtu AD a BC.
konsolidovať materiál a pochopenia väzieb medzi segmentmi študenta je potrebné je postaviť pre konkrétny hrazde.Čo to znamená?
