Fourierov rad - reprezentácia ľubovoľne zvolenej funkcie na určitú dobu v rade.V všeobecných termínoch, rozhodnutie uvedené expanzné prvok ortogonálne základu.Rozšírenie funkcií v Fourierovej radu je celkom mocný nástroj pri riešení rôznych problémov kvôli vlastnostiam transformácie v integračnom, diferenciácie, a posun argumentu výrazy a konvolúcie.
osoba, ktorá nie je oboznámený s vyššej matematiky, rovnako ako s prácou francúzskeho vedca Fourier pravdepodobne nebude rozumieť, čo "pozície" a čo robia.Napriek tomu táto transformácia je pomerne pevne prichádzajú do našich životov.Používa sa nielen matematiku, ale aj fyzici, chemici, lekári, astronómami, seismologists, oceanographers a ďalšie.Poďme tiež sa bližšie s prácami veľkého francúzskeho vedca, ktorý urobil objav, predbehol svoju dobu.
Človek a Fourierova transformácia
Fourierova rad, sú jednou z metód (spolu s analýzou a ďalšie) v Fourierova transformácia.Tento proces prebieha zakaždým, keď človek počuje zvuk.Naše uši automaticky prevádza zvukové vlny.Vibračný pohyb elementárnych častíc v pružnom médiu sú usporiadané v sérii (v spektre) nasledujúcich hodnôt úrovne hlasitosti pre tóny rôznych ihriskách.Ďalšie, mozog prevádza dáta do zvukov poznáme.To všetko je navyše k našej vôle alebo vedomia sám, ale s cieľom pochopiť tieto procesy bude trvať niekoľko rokov študovať vyššej matematiky.
Viac o Fourierovej transformácie
Fourierova transformácia môže byť vykonaná analytická, číslice a ďalšie metódy.Fourierov rad sú číslice proces rozkladu žiadne kmitavé procesy - od prílivy oceánu a vlny svetla slnečných cyklov (a iných astronomických objektov) činnosť.Pomocou týchto matematických metód možno rozobrať funkcie predstavujúce prípadnú oscilačná procesy v niekoľkých sínusových zložiek, ktoré idú od minima na maximum a späť.Fourierova transformácia je funkcia popisujúci fázy a amplitúdy sínusoíd, ktoré zodpovedajú konkrétnej frekvencii.Tento proces môže byť použitý k riešeniu veľmi zložité rovnice popisujúce dynamické procesy prebiehajúce pri pôsobení tepla, svetla alebo elektrickej energie.Tiež Fourierov rad vám umožní zvýrazniť konštantný súčasti v komplexných priebehov, aby bolo možné správne interpretovať experimentálne pozorovania v lekárstve, chémie a astronómie.
pozadí
zakladateľa tejto teórie je francúzsky matematik Joseph Fourier.Jeho meno bolo následne vyzval táto transformácia.Spočiatku, použili vedci techniku študovať a vysvetliť mechanizmy vedenie tepla - šírenie tepla v pevných látkach.Fourier Predpokladá sa, že počiatočné rozdelenie nepravidelné tepelné vlny možno rozdeliť na jednoduchú sínusoidy, z ktorých každá bude mať minimálnu a maximálnu teplotu, ako aj jeho fázy.Preto každej z týchto zložiek, ktoré sa majú merať z minima na maximum a naopak.Matematická funkcia, ktorá popisuje, horné a dolné vrcholy krivky, a fáza každú harmonickú, nazvaný Fourierova transformácia expresie rozloženie teploty.Autorom teórie zníženej celkovej distribučnej funkcie, ktorá je ťažko matematický opis, vo veľmi ľahko zvládnuť počet periodickej funkcií sínus a kosínus, takže celkom z pôvodného rozdelenia.
princíp obrátenia a názory vrstovníci
rovesníci vedca - vedúci matematici začiatku devätnásteho storočia - neprijal túto teóriu.Hlavné námietkou bolo schválenie Fourier, že porušenie funkcie opisujúce priamku alebo krivku potrhaná, to môže byť reprezentovaný ako suma sínusových výrazov, ktoré sú spojité.Ako príklad, do úvahy "krok" Heaviside: jeho hodnota je nulová na ľavej strane medzery a pravej jednotky.Táto funkcia je uvedená závislosť elektrického prúdu od dočasnej premenné pre uzavretie obvodu.Súčasníci teórie v tej dobe, nikdy sa stretol takej situácii, keď diskontinuálnej výraz opisuje kombináciu spojitých, normálne funkcie, ako je exponenciálny, sine, štvorcové alebo lineárne.
že pletie francúzskej matematici v teórii Fourierovej?
Koniec koncov, keď matematik bolo správne v jeho tvrdení, teda ako súčet nekonečné trigonometrické Fourierovej radu, môžete získať presné reprezentácie kroku výrazu, aj keď to má mnoho podobné kroky.Na začiatku devätnásteho storočia, toto tvrdenie sa zdalo absurdné.Ale napriek všetkým pochybnostiam, mnohí matematici rozšírila pole pôsobnosti o ďalšie štúdium tohto fenoménu, pohybujúce sa nad výskumom tepelnej vodivosti.Avšak, väčšina vedcov aj naďalej trpieť otázku: "Môže suma sine rad konverguje k presnej hodnote nespojité funkcie"
konvergencie Fourierovej radu: príklad
otázka konvergencie zvýšila v prípade potreby kedykoľvek súčty nekonečné rady čísel.Pre pochopenie tohto javu, zvážte klasický príklad.Mohol by ste niekedy dostanete do steny, keď každý krok bude polovicu predchádzajúcej?Predpokladajme, že ste dva metre od bránky, prvý krok bližšie k okolo pol cesty, ďalší - na úrovni troch štvrtín, a po piatom prekonať takmer 97 percent na ceste.Avšak, bez ohľadu na to, koľko krokov urobíte, jeho cieľom dostanete v prísnom matematickom zmysle.Pomocou numerické výpočty, môžeme dokázať, že na konci možno pristupovať na ľubovoľne malú danej vzdialenosti.To je ekvivalentná k dôkazu, preukazujúce, že celková hodnota jednej polovice, štvrtiny, a tak ďalej. E. bude mať tendenciu sa jednoty.
otázka konvergencie: druhý príchod, alebo zariadenia Lord Kelvin
opäť vyvstala otázka, na konci devätnásteho storočia, kedy sa Fourier sa pokúsil použiť predvídať intenzitu odlev a tokov.V tej dobe, Lord Kelvin bol vynájdený prístroj je analógové výpočtové zariadenia, ktorý umožňuje námorníci vojenské a obchodné loďstvo sledovať tento prírodný jav.Tento mechanizmus definuje sadu fáz a amplitúdy na výške stola prílivu a odlivu a príslušných časových okamihoch, opatrne merané v prístave v priebehu roka.Každý parameter je sínusový zložkou príliv prejavu je jednou z bežných zložiek.Výsledky merania sú vložené do počítačového zariadenia Lord Kelvin, syntetizovať krivka, ktorá predpovedá výšku vody ako funkcie času pre budúci rok.Veľmi skoro boli tieto krivky pre všetky prístavov sveta.
A v prípade, že proces budú rozdelené nespojité funkcie?
V tom čase sa zdalo jasné, že prístroj predpovedá prílivovú vlnu, s mnohými prvkami účtov môžu vypočítať veľké množstvo fáz a amplitúd, a tak poskytnúť presnejšie predpoveď.Avšak sa ukázalo, že tento vzor nie je pozorovaný v prípadoch, keď prílivové výraz, ktorý sa syntetizuje, obsahoval ostrý skok, to znamená, že je prerušovaný.V tomto prípade, ak sú dáta zapísané do zariadenia z tabuľky časových bodov, vypočíta niekoľko Fourierovej koeficienty.Pôvodná funkcia je obnovená vďaka sínusového zložky (v súlade s nájdených koeficienty).Rozdiel medzi pôvodnou a rekonštruované výrazu môže byť meraná na akomkoľvek mieste.Pri opakovanom výpočtu a porovnanie ukazuje, že hodnota najväčšej chyby sa zníži.Avšak, že sú lokalizované v oblasti zodpovedajúci bodu prasknutie, a všetky ďalšie body blíži nule.V roku 1899, tento výsledok bol potvrdený teoreticky Joshua Willard Gibbs na Yale University.
Konvergencia Fourierovej radu a rozvoj matematiky v všeobecnom
Fourierova analýza sa nevzťahuje na výrazy, ktoré obsahujú nekonečný počet zábleskov v určitom intervale.Všeobecne Fourierovej radu, v prípade, že pôvodná funkcia prezentovať výsledky skutočné fyzické meraní vždy konvergovať.Otázky konvergencie procesu pre špecifické triedy funkcie viedli k novej matematické odbory, ako je napríklad teória zovšeobecnených funkcií.Je spojená s takými menami ako L. Schwartz, J .. Mikusiński a J. Temple.V rámci tejto teórie bol založený jasný a presný teoretický základ pre takéto výrazy, ako je funkcia Dirac delta (ktorá opisuje región jednotný priestor, koncentrovaný v nekonečne okolí bodu) a "krok" Heaviside.Vďaka tejto práci Fourierova rad sa stala užitočná pre riešenie rovníc a problémov, v ktorých je toto číslo intuitívne: a bodového náboja, hmotný bod, magnetické dipóly, a koncentrovaná zaťaženie na nosníku.
Fourier metóda
Fourierovej radu, v súlade so zásadami rušenie, začína s rozkladom zložitých tvarov do jednoduchšie.Napríklad zmena v toku tepla kvôli jeho prechode rôznymi prekážkami izolačného materiálu nepravidelného tvaru, alebo zmenu zemského povrchu - zemetrasenie, zmenu obežnej dráhy nebeského telesa - vplyvu planét.Obvykle sú tieto rovnice opisujúce jednoduché klasické systémy je elementárny riešený pre každú vlnu.Fourier ukázal, že jednoduché riešenia možno zhrnúť pre zložitejšie úlohy.V jazyku matematiky, Fourier séria - metodika pre predloženie prejavu množstvo harmonických - Kosinová a sine vlny.Z tohto dôvodu táto analýza je tiež známy ako "harmonickej analýzy."
Fourier séria - Je ideálna metóda k "počítačovej doby»
Prior k vytvoreniu výpočtovej techniky Fourier techniky je najlepšia zbraň v arzenáli vedcov pracujúcich s vlnovou povahy nášho sveta.Fourierovej radu v komplexnom tvare umožňuje nielen riešiť jednoduché problémy, ktoré samy o sebe na priame použitie Newtonove zákony mechaniky, ale aj základné rovnice.Väčšina z objavov devätnásteho storočia newtonovskej vedy bolo možné len vďaka metóde Fourierovou.
Fourier dnes rad
S rozvojom výpočtovej techniky Fourier zvýšil na kvalitatívne novú úroveň.Táto technika je pevne zakorenené v takmer všetkých oblastiach vedy a techniky.Ako príklad, digitálne audio a video signálu.Jeho zavedenie bolo možné len vďaka teóriu vyvinutej francúzskeho matematika na začiatku devätnásteho storočia.To znamená, že Fourierov rad v komplexnom tvare umožnila urobiť prielom v štúdiu kozmického priestoru.Okrem toho, že má vplyv na štúdium fyziky polovodičov a plazmy, mikrovlnné akustika, oceánografie, radar, seizmológia.
trigonometrické Fourierov rad
V matematike, Fourier séria je spôsob, ako reprezentovať ľubovoľných komplexné funkcie ako súčet jednoduchšie.V bežných prípadoch je počet týchto výrazov môže byť nekonečné.Čím väčší počet zohľadnená pri výpočte, tým presnejšie konečný výsledok sa získa.Najviac obyčajné použitie jednoduchého goniometrických funkcií Cosine a sine.V tomto prípade, Fourier séria sa volá trigonometrické, a rozhodnutia týchto výrazov - harmonické rozkladu.Táto metóda má dôležitú úlohu v matematiky.Po prvé, je trigonometrické rady poskytuje prostriedky pre obraz, a funkcia učenia, to je hlavná jednotka teórie.Okrem toho, že nám umožňuje vyriešiť niekoľko problémov v matematickej fyziky.A konečne, táto teória prispela k rozvoju matematickej analýzy vyvolalo rad veľmi dôležitých odvetviach matematiky (integrálne teória, teória periodických funkcií).Okrem toho, je východiskovým bodom pre rozvoj týchto teórií: sád, funkcia reálnej premennej, funkčné analýzu, a ohlasoval začiatok harmonické analýzy.
