Dessa geometriska former finns överallt omkring oss.Konvex polygoner är naturligt, såsom en bikaka eller artificiella (konstgjorda).Dessa värden skall användas vid framställning av olika typer av beläggningar, måla, arkitektur, inredning, etc.Konvexa polygoner har egenskapen att alla sina poäng är på samma sida av linjen som passerar genom ett par intilliggande hörn av geometrisk figur.Det finns andra definitioner.En konvex polygon kallas en, som ligger i ett enda halvplan med avseende på någon rad som innehåller en av dess sidor.
konvexa polygoner
Kursen av elementär geometri är alltid behandlas extremt enkla polygoner.För att se alla egenskaperna hos geometriska figurer är nödvändigt att förstå deras natur.Till att börja förstå att slutna är varje linje vars ändar är desamma.Och den siffra som bildas av den, kan ha en mängd olika konfigurationer.Polygon kallas en enkel sluten polyline vars angränsande enheter är inte placerade på samma linje.Hennes länkar och noder är respektive sidor och hörn av geometrisk figur.Enkel polyline får inte skär sig själv.
angränsande hörn av polygon kallas, i händelse av att de är ändarna på en av dess sidor.En geometrisk figur, som har en n: te antalet hörn, och således den n-te antal parter som kallas n-gon.Samu streckad linje kallas gränsen eller konturen av geometrisk figur.Polygonal plan eller platt polygon kallas den sista delen av en plan, begränsas de.Angränsande sidor av den geometriska figur som kallas de brutna linjesegment som härrör från en toppunkt.De kommer inte att grannar om de är baserade på olika hörn av polygon.
Övriga definitioner konvexa polygoner
I elementär geometri, det finns flera motsvarighet i menande definitioner, vilket tyder på vad som kallas en konvex polygon.Dessutom är alla dessa påståenden är lika sant.En konvex polygon är den som har:
• varje segment som förbinder två punkter inom det ligger helt i det;
• ligger däri alla diagonaler;
• någon intern vinkel är mindre än 180 °.
polygon delar alltid planet i två delar.En av dem - den begränsade (det kan inneslutas i en cirkel), och den andra - obegränsat.Den första kallas det inre området, och den andra - det yttre området av den geometriska figuren.Detta är skärningspunkten av polygonen (med andra ord - den gemensamma komponenten) av flera halv-plan.Dessutom, varje segment har ändar på de punkter som tillhör polygon, är helägt av honom.
sort konvexa polygoner
definition av en konvex polygon inte tyder på att det finns många typer av dem.Och var och en av dem har vissa kriterier.För konvexa polygoner som har en inre vinkel av 180 °, som kallas utbuktningar något.Konvex geometrisk figur som har tre toppar, som kallas en triangel, fyra - fyrkant, fem - Pentagon, och så vidare D. Var och en av den konvexa n-gon uppfyller följande viktiga krav: n. Skall vara lika med eller större än 3. Var och en av trianglarna är konvex.Den geometrisk figur av denna typ, vid vilken alla hörn är på samma cirkel, som kallas den inskrivna cirkeln.Beskrivs konvex polygon kallas om alla dess sidor vidrör cirkel runt henne.Två polygoner kallade lika endast i det fall när man använder överlagringen kan kombineras.Platt polygon kallas en polygonal plan (i planet), som är begränsad till denna geometrisk figur.
regelbunden konvex månghörning
regelbundna polygoner kallas geometriska former med lika vinklar och sidor.Inuti dem finns det en punkt 0, som är lika långt från var och en av dess hörn.Det kallas centrum av denna geometrisk figur.Segmentsförbinder centrum med hörn av geometrisk figur som kallas apothem, och de som ansluter punkt 0 med parterna - radier.
korrekt fyrkant - en kvadrat.Den rätvinklig triangel kallas liksidig.För dessa siffror finns följande regel: varje hörn av en konvex polygon är 180 ° * (n-2) / n,
där n - antalet hörn av den konvexa geometri.
ytan för varje regelbunden polygon bestäms av formeln:
S = p * h,
där p är lika med halva summan av alla sidor av polygon, och h är längden på apothem.
Egenskaper konvexa polygoner
konvexa polygoner har vissa egenskaper.Således, ett segment som förbinder två godtyckliga punkter i en geometrisk figur, nödvändigtvis belägen däri.Bevis:
anta att P - den konvexa polygonen.Ta två godtyckliga punkter, såsom A, B, som tillhör P. Genom den nuvarande definitionen av en konvex polygon, dessa punkter är belägna på ena sidan av den raka linje som innehåller någon riktning R. Följaktligen har AB även denna egendom och återfinns i R. En konvex polygon alltidkan delas upp i flera trianglar absolut alla diagonaler som höll ett av sina toppar.
konvexa vinklar av geometriska former
vinklar av en konvex polygon - de vinklar som bildas av parterna.De inre hörnen är i den inre delen av den geometriska figuren.Vinkeln som bildas av parterna, som möts vid ett hörn, kallas vinkeln på en konvex polygon.Hörnen intill de inre hörnen av den geometriska figur, som kallas externa.Varje hörn av en konvex polygon, som ligger inuti är:
180 ° - x,
där x - värdet av det yttre hörnet.Denna enkla formel gäller för alla typer av geometriska former sådana.
I allmänhet, för de yttre hörnen finns följande regel: varje hörn av en konvex polygon är lika med skillnaden mellan 180 ° och värdet av det inre hörnet.Det kan ha värden från -180 ° till 180 °.Följaktligen, när den inre vinkeln är 120 °, kommer utseendet att ha ett värde av 60 °.
summan av vinklarna för konvexa polygoner
summan av de inre vinklarna av en konvex polygon bestäms av formeln:
180 ° * (n-2),
där n - antalet hörn i den n-gon.
summan av vinklarna i en konvex polygon beräknas helt enkelt.Tänk sådana geometriska former.För att bestämma summan av vinklarna i en konvex polygon måste vara ansluten till en av dess hörn till andra hörn.Som ett resultat av denna åtgärd vänder (n-2) av triangeln.Det är känt, att summan av vinklarna i en triangel är alltid 180 °.Eftersom antalet i varje polygon equals (n-2), är summan av de inre vinklarna i figuren är lika med 180 ° x (n-2).
summan av vinklarna i en konvex polygon, nämligen de två inre och angränsande ytterkanter och vid denna konvexa geometrisk figur kommer alltid att vara lika med 180 °.På grundval av detta kan vi definierar summan av alla sina vinklar:
180 x n.
summan av de inre vinklarna av 180 ° * (n-2).Följaktligen är summan av alla de yttre hörnen av den siffra som fastställs av formeln:
180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.
summan av externa vinklar av något konvex polygon kommer alltid att vara lika med 360 ° (oavsett hur många av dess sidor).Utanför hörnet
konvex polygon i allmänhet representeras av skillnaden mellan 180 ° och värdet av den interna vinkel.
Andra egenskaper hos en konvex polygon
Förutom dessa grundläggande egenskaper hos geometriska figurer, har de också andra som uppstår vid hantering av dem.Således kan någon av polygoner delas upp i flera konvexa n-gon.Du måste fortsätta alla sina sidor och skär den geometriska formen längs dessa raka linjer.Dela varje polygon i flera konvexa partier och kan vara så att spetsen av var och en av de bitar matchas med alla dess hörn.Från en geometrisk figur kan vara mycket enkelt att göra trianglar genom alla diagonaler från en toppunkt.Således, varje polygon, slutligen, kan delas upp i ett visst antal trianglar, som är mycket användbart för att lösa olika problem i samband med dessa geometriska former.
omkretsen av en konvex polygon
polylinje segment, som kallas sidor av polygonen, ofta indikeras av följande bokstäver: ab, BC, CD, DE, EA.Denna sida av de geometriska former med hörn a, b, c, d, e.Summan av längderna av de sidor av en konvex polygon kallas dess omkrets.
omkrets polygon
konvexa polygoner kan skrivas och beskrivas.Omkrets om alla sidor av den geometriska figuren kallas inskrivet i den.Detta kallas en polygon beskrivits.Centrum cirkel, som är inskriven i en polygon är skärningspunkten av de bisektriserna av vinklar inom en given geometrisk figur.Det område av polygon är lika:
S = p * r,
där r - radien av den inskrivna cirkeln, och p - semiperimeter given polygon.
cirkel som innehåller de hörn av polygon beskrivs av honom kallas.Dessutom kallas detta konvexa geometrisk figur den inskrivna.Centrum cirkel som beskrivs om den här polygonen är skärningspunkten av de så kallade midperpendiculars alla sidor.
diagonaler av konvexa geometriska former
diagonaler en konvex polygon - ett segment som förbinder grann hörn inte.Var och en av dem är inne i geometrisk form.Antalet diagonaler n-gon är inställd enligt formeln:
N = n (n - 3) / 2.
diagonala konvex polygon Numret är viktigt i elementär geometri.Antalet trianglar (R), som kan bryta varje konvex polygon beräknas på följande sätt:
K = n - 2.
antal diagonaler en konvex polygon är alltid beroende av antalet hörn.
Uppdelning konvex polygon
I vissa fall, för att lösa geometriska uppgifter bör delas upp i flera konvexa polygon trianglarna med disjunkta diagonaler.Detta problem kan lösas genom att ta bort vissa formel.
vissa uppgifter: ring rätt typ av delning av en konvex n-gon i flera trianglar diagonaler skär bara i hörnen av en geometrisk figur.
Lösning: Antag att P1, P2, P3, ..., Pn - toppen av denna n-gon.Nummer Xn - det antal av dess partitioner.Noggrant titta på den resulterande diagonal geometrisk figur Pi Pn.I alla de rätta partitioner tillhör P1 Pn till en viss triangel P1 Pi Pn, där 1 & lt; i & lt; n.På denna grund och under förutsättning att i = 2,3,4 ..., n-1 erhålles (n-2) av dessa partitioner, som omfattar alla möjliga specialfall.
Låt i = 2 är en grupp av regelbundna partitioner, alltid innehåller en diagonal P2 Pn.Antalet partitioner som är en del av det sammanfaller med antalet partitioner (n-1) gon P2 P3 P4 ... PN.Med andra ord är det lika med Xn-1.
Om jag = 3, sedan den andra gruppen partitionerna kommer alltid att innehålla en diagonal P3 P1 och P3 Pn.Antalet korrekta partitioner som ingår i gruppen, kommer att sammanfalla med det antal partitioner (n-2) gon P3, P4 ... Pn.Med andra ord kommer det att vara Xn-2.
Låt i = 4, sedan bland trianglar säkert rätt partition kommer att innehålla en triangel P4 P1 Pn, som kommer att gränsa den fyrsidiga P1 P2, P3, P4, (n-3) gon P5 P4 ... Pn.Antalet korrekta partitioner sådan fyrsidiga lika X4, och partitionsnumret (n-3) gon lika Xn-3.Baserat på det föregående, kan vi säga att det totala antalet regelbundna partitioner som finns i denna grupp är lika med Xn-3 X4.Andra grupper som i = 4, 5, 6, 7 ... kommer att innehålla Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 ... regelbundna partitioner.
lät jag = n-2, är densamma som antalet partitioner i gruppen, där i = 2 (med andra ord, lika Xn-1) antalet partitioner i rätt grupp.
Sedan X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2, ..., då antalet partitioner av konvexa polygoner lika:
Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 + Xn-X4 X5 + 4 ...5 + X 4 + Xn-Xn-3 X4 + Xn-2 + Xn-1.
Exempel:
X5 = X4 + X3 + X4 = 5
X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14
X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42
X8 X7 =+ X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132
rätt antal partitioner inne en diagonalt kors
Vid provning av särskilda fall kan det antas att antalet diagonaler konvex n-gon är lika med produkten av alla partitionersiffra (n-3).
bevis för denna hypotes: föreställa sig att P1n = Xn * (n-3), sedan någon n-gon kan delas in i (n-2) en triangel.Dessutom, från dem kan staplas (n-3) -chetyrehugolnik.Dessutom är varje fyrhörning diagonalen.Eftersom denna konvex geometrisk figur kan utföras två diagonaler, vilket innebär att alla (n-3) får hålla ytterligare -chetyrehugolnikah diagonal (n-3).På grundval av detta kan vi dra slutsatsen att någon rätt är det möjligt att utföra partitionen (n-3) -diagonali som uppfyller villkoren i detta problem.
området konvexa polygoner
ofta att lösa olika problem i elementär geometri blir nödvändigt att bestämma området för en konvex polygon.Antag att (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n representerar en sekvens av koordinater för alla grann hörn i en polygon utan själv korsningar.I detta fall är dess area beräknas med följande formel:
S = ½ (Σ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)),
där (X1, Y1) = (Xn 1, Yn + 1).
