enkel iteration metod, även kallad metod för successiva approximationer - en matematisk algoritm för att hitta värdena för de okända storheter genom att successivt klargöra det.Kärnan i denna metod är att, som namnet antyder, gradvis uttrycker en initial approximation av de därpå följande, blir mer förfinade resultat.Denna metod används för att hitta värdet på en variabel i en given funktion, och lösa ekvationssystem, både linjära och icke-linjära.
Fundera på hur denna metod implementeras i lösningen av linjära system.Metod för enkel iteration algoritmen är följande:
1. Kontrollera kondition konvergens i den ursprungliga matrisen.Satsen av konvergens om den ursprungliga matrissystemet har en diagonal dominans (dvs. måste varje rad av de viktigaste diagonalelementen vara större i storlek än summan av diagonalelementen i sidan av modulen), metoden för enkel iteration - konvergent.
2. Matrisen med det ursprungliga systemet är inte alltid den diagonala dominans.I sådana fall kan systemet konvertera.Ekvationerna som uppfyller konvergenstillstånd lämnas intakt, men med otillfredsställande göra linjärkombinationer, dvs.multiplicera, subtrahera, summerar ekvationerna tillsammans för att få det önskade resultatet.
Om det resulterande systemet i huvuddiagonalen koefficient är obekväma, sedan till båda sidor av denna ekvation tillsätts när det gäller formen ci * xi, tecken som måste sammanfalla med tecken på diagonalelementen.
3. Konvertera det resulterande systemet till normal vy:
x- = β- + α * x-
Detta kan göras på många sätt, till exempel: från den första ekvationen Express x1 genom andra okända från vtorogo- x2 fråntretego- x3 etcSamtidigt använder vi formeln:
αij = - (AIJ / All)
i = bi / All
bör återigen se till att systemet med normal typ motsvarar konvergens skick:
Σ (j = 1) | αij | ≤ 1,medan jag = 1,2, ... n
4. Börja använda, i själva verket, metoden för successiva approximationer.
x (0) - initial approximation uttrycker vi genom x (1), följt av x (1) uttryck x (2).Den allmänna formeln för en matrisform ser ut så här:
x (n) = β- + α * x (n-1)
beräkna tills vi når önskad noggrannhet:
max | xi (k) -xi (k + 1) ≤ ε
Så, låt oss titta på utövandet av metoden för enkel iteration.Exempel:
lösa linjära system:
4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 med noggrannhet ε = 10-3
Låt oss se, huruvida domineras av de diagonala elementen i modulen.
Vi ser att konvergens skick uppfyller endast den tredje ekvationen.Den första och andra konvertera till den första ekvationen vi lägger till andra:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
subtrahera den första från tredje:
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
Vi förvandlade originalsystemet motsvarande:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
nu ge systemet till normalform:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Kontrollera konvergensen av iteration process:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, dvs.villkoret är uppfyllt.
0,3947
initial approximation x (0) = 0,4762
0,8511
Ersätt dessa värden i ekvationen för normalform, vi får följande värden:
0,08835
x (1) = 0,486793
0, 446639
ersätta nya värden, vi får:
0,215243
x (2) = 0,405396
0,558336
fortsätter att räkna tills det ögonblick ännu inte har kommit i närheten av de värden som uppfyller angivna villkor.
0,18813
x (7) = 0,441091
0,544319
0,188002
x (8) = 0,44164
0,544428
kontrollera riktigheten av resultaten:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0,544 = 3,9977
resultat som erhållits genom att ersätta de värden som finns i den ursprungliga ekvationen, till fullo uppfyller ekvationen.
Som vi kan se, metoden för enkel iteration ger en ganska exakta resultat, men för att lösa denna ekvation vi tvungna att tillbringa en hel del tid och gör besvärliga beräkningar.
