Summan av vinklarna i en triangel.

Triangle är en polygon med tre sidor (de tre vinklar).Den vanligaste biverkningen representerar små bokstäver, motsvarande bokstav som betecknar de motsatta hörn.I den här artikeln tar vi en titt på dessa typer av geometriska former, satsen som avgör vilket är lika med summan av vinklarna i en triangel.

Typer största vinklar

följande typer av polygon med tre hörn:

akut-vinklad i vilken alla skarpa vinklar;
rektangulära med en rät vinkel med den sida av hans bild, som kallas ben, och den sida som är placerad mitt emot den räta vinkeln kallas hypotenusa;
trubbig när en vinkel är trubbig;
likbent, som de två sidorna lika, och de kallas i sidled, och tredje - basen av triangeln;
liksidig har tre lika långa sidor.

Egenskaper

Det finns grundläggande egenskaper som är karakteristiska för varje typ av triangel:

motsatt den större sidan har alltid en stor vinkel, och vice versa;
motsatta sidor av samma storlek är lika vinklar, och vice versa;
har någon triangel har två spetsiga vinklar;

yttre vinkel är större än någon intern vinkel är inte släkt med honom;
summan av vilka två vinklar är alltid mindre än 180 grader;
yttre vinkel är lika med summan av de andra två hörnen som inte är mezhuyut honom.

sats på summan av vinklarna i en triangel

sats säger att om du lägger upp alla hörn av den geometriska figuren, som ligger i den euklidiska plan, kommer deras summa är 180 grader.Låt oss försöka bevisa detta teorem.

Låt vi har en godtycklig triangel med hörn KMN.Genom topp M dra en linje parallell med linjen KN (även denna linje kallas raden av Euklides).Det bör noteras punkt A på ett sådant sätt att punkten K och A var belägna på olika sidor raka MN.Vi får samma vinkel och AMS MUF, som i likhet med den inre lögn tvären för att bilda korsande MN i samarbete med KN och MA linjer som är parallella.Härav följer att summan av vinklarna i en triangel belägen i hörnen av M och N är lika med storleken på vinkeln hos CMA.Alla tre vinklar består av ett belopp som motsvarar summan av vinklarna CMA och MCS.Eftersom dessa vinklar är interna i förhållande till ensidiga parallella linjer CN och MA på skär KM, är deras summa 180 grader.QED.

utredning

Uppifrån denna sats innebär följande konsekvens: varje triangel har två spetsiga vinklar.För att bevisa detta, låt oss anta att denna geometrisk figur har endast en spetsig vinkel.Dessutom kan man anta att ingen vinkel är inte akut.I detta fall måste det vara minst två vinklar, vars storlek är lika med eller större än 90 grader.Men då summan av vinklarna är större än 180 grader.Och detta kan inte vara, eftersom genom sats summan av vinklarna i en triangel är 180 ° - varken mer eller mindre.Det är vad som måste bevisas.

fastighetsytterhörn

Vad är summan av vinklarna i en triangel, som är externa?Svaret på denna fråga kan erhållas genom att använda en av två metoder.Den första är behovet av att finna summan av de vinklar, som tas en vid varje hörn, det vill säga tre vinklar.Den andra innebär att du måste hitta summan av de sex vinklarna på hörnen.Till att börja med låt oss ta itu med den första.Således har triangeln sex yttervinklar - vid varje hörn av de två.Varje par har lika vinklar mot varandra, eftersom de är vertikala:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Dessutom är det känt att den yttre vinkeln hos triangeln är lika med summan av de två inre, inte mezhuyutsya med den.Därför

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Det visar sig att summan av de externa vinklar tas en och en nära toppen av varje, kommer att vara lika med:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A ∟S + + + ∟A ∟V + ∟V ∟S= 2 x (+ ∟A ∟V + ∟S).

Med tanke på att summan av vinklarna är lika med 180 grader, kan man hävda att ∟A + ∟V ∟S = + 180 °.Detta innebär att ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °.Om det andra alternativet används, då summan av de sex vinklarna blir motsvarande större fördubblas.Det är summan av de yttre vinklarna i en triangel är:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

rätvinklig triangel

Vad är lika med summan av vinklarna i en rätvinklig triangel är ön?Svaret, återigen, från sats, där det sägs att vinklarna i en triangel lägga till upp till 180 grader.Och våra påstående ljud (fastighets) enligt följande: i rätvinklig triangel spetsiga vinklar lägga till upp till 90 grader.Vi bevisa sin ärlighet.Låt det ges en triangel KMN, som ∟N = 90 °.Vi måste bevisa att ∟K ∟M + = 90 °.

Således, enligt den sats på summan av vinklarna ∟K + ∟M ∟N = + 180 °.I detta tillstånd är det sagt att ∟N = 90 °.Det visar sig ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °.Det är ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °.Det är vad vi ska behöva bevisa.

Utöver de ovan nämnda egenskaperna hos en rätvinklig triangel, kan du lägga till dessa:

vinklar som ligger mot benen är skarpa;
triangulär hypotenusan är större än någon av benen;
benen mer än summan av hypotenusan;
katetem i triangeln, som ligger mittemot hörnet 30 grader, hälften av hypotenusan, dvs den är lika med hälften.

Som en annan egenskap av den geometriska formen kan identifieras Pythagoras sats.Hon menar att i en triangel med en vinkel på 90 grader (rektangulära) är lika med summan av kvadraterna på benen till kvadraten på hypotenusan.

summan av vinklarna i en likbent triangel

Tidigare har vi sagt att en likbent triangel kallas en polygon med tre hörn innehållande två lika sidor.Den här fastigheten är känd geometrisk figur: vinklarna på sin bas lika.Låt oss bevisa detta.

Ta triangel KMN, vilket är isosceles, SC - dess bas.Vi är skyldiga att bevisa att ∟K = ∟N.Så, låt oss anta att MA - bisektris är vår triangel KMN.Triangle MCA med det första tecknet på en triangel är lika MNA.Nämligen villkor med tanke på att CM = HM, MA är en gemensam sida, ∟1 = ∟2, eftersom AI - en bisektris.Använda lika de två trianglar, skulle man kunna hävda att ∟K = ∟N.Därför är satsen bevisas.

Men vi är intresserade, vad är summan av vinklarna i en triangel (likbent).Eftersom det i detta avseende har inga finesser, kommer vi att börja från satsen diskuterats ovan.Det vill säga, vi kan säga att ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, eller 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (som ∟K = ∟N).Den här fastigheten kommer inte att bevisa som hon sats summan av vinklarna i en triangel har visat tidigare.

Också med tanke på egenskaperna hos hörnen i triangeln, det finns också sådana viktiga uttalanden:

inom en liksidig triangel höjd som har sänkts till basen, är också medianen, bisector den vinkel som är mellan jämbördiga parter, samt symmetriaxel starten;
median (bisector höjd), som hålls på sidorna av en geometrisk figur är lika.

liksidig triangel

Det kallas också rätt, är triangeln, som är lika för alla parter.Och därmed också lika vinklar.Var och en av dem är 60 grader.Vi visar den här egenskapen.

Låt oss anta att vi har en triangel KMN.Vi vet att KM = NM = CL.Detta innebär att enligt fastighets hörn, ligger vid foten av en liksidig triangel, ∟K = = ∟M ∟N.Eftersom enligt summan av vinklarna i en triangel teorem ∟K + ∟M ∟N ^ = 180 °, den 3 x ∟K = 180 ° eller ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °.Sålunda uttalandet dokazano.Kak sedd uppifrån på basis av beviset av teorem, är summan av vinklarna i en liksidig triangel som summan av vinklarna i varje annan triangel 180 grader.Återigen bevisar detta teorem är inte nödvändigt.

Det finns fortfarande några egenskaper som är karakteristiska för en liksidig triangel:

medianen, bisektrisen, höjd i sådan geometrisk figur är desamma, och deras längd är beräknad som (a × √3): 2;
om beskriva en polygon runt denna cirkel, sedan dess radie är lika med (a x √3): 3;
om en liksidig triangel inskriven i en cirkel, då radien blir (och x √3): 6;
Området denna geometrisk figur beräknas på följande sätt: (a2 x √3): 4.

trubbig triangel

per definition, är mellan 90 till 180 ° trubbvinklig triangel ett av dess hörn.Med tanke på att vinkeln för de två andra geometriska former är vassa, kan man dra slutsatsen att de inte överskrider 90 grader.Följaktligen teoremet på summan av vinklarna i en triangel arbete vid beräkning av summan av vinklarna i en trubbig triangel.Så, kan vi lugnt säga, baserat på ovanstående sats att summan av vinklarna trubbig triangel är 180 grader.Återigen, inte denna sats inte behöver åter bevis.