studerade avancerad matematik bör vara känt att summan av en potensserie i intervallet konvergensen av ett antal av oss, är en kontinuerlig och obegränsat antal gånger differentierade funktion.Frågan uppstår: är det möjligt att hävda att ges en godtycklig funktion f (x) - är summan av en potensserie?Det vill säga på vilka villkor f-Ia f (x) kan representeras av en potensserie?Betydelsen av denna fråga är att det är möjligt att ersätta cirka Q-uw f (x) är summan av de första villkoren i en potensserie, är det polynom.En sådan ersättning funktion är ganska enkelt uttryck - polynom -. Är praktiskt och lösa vissa problem i matematisk analys, nämligen att lösa integraler vid beräkning av differentialekvationer, och så vidare D.
visat att för vissa f-ii f (x)som kan beräkna derivat av (n + 1): e ordningen, inklusive den senaste, i närheten av (α - R, X0 + R) för en punkt x = α är en rättvis formel:
Denna formel är uppkallad efter den berömde vetenskapsmannen Brooke Taylor.Serien, som är härledd från den tidigare, kallas ett Maclaurin serie:
regeln som gör det möjligt att producera en Maclaurin serieutveckling:
- Bestäm derivaten av den första, andra, tredje ... ordning.
- beräknat, vilket är derivat i x = 0.
- Record Maclaurin serie för denna funktion, och sedan för att bestämma intervallet konvergens.
- bestämma intervallet (-R, R), där återstoden av Maclaurin formeln
Rn (x) - & gt;0 för n - & gt;oändlighet.Om den finns, måste den funktionen f (x) vara lika med summan av den Maclaurin serien.
Betrakta nu Maclaurin-serien för de enskilda funktionerna.
1. Sålunda är det första f (x) = ex.Naturligtvis, genom sina egenskaper såsom f-Ia har derivat av en mängd av order, och f (k) (x) = ex, där k är lika med alla de naturliga talen.Substitution x = 0.Vi får f (k) (0) = e0 = 1, k = 1,2 ... Baserat på ovanstående, ett antal ex kommer att vara följande:
2. Maclaurin serie för funktionen f (x) = sin x.Omedelbart anger att f-Ia för alla okända kommer att ha derivat förutom f '(x) = cos x = sin (x + n / 2), f' '(x) = -sin X = sin (x+ 2 * n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), där k är lika med ett positivt heltal.Det vill säga, genom att utföra enkla beräkningar, kan vi konstatera att serien för f (x) = sin x är av denna typ:
3. Låt oss nu betrakta teologiska fakulteten f (x) = cos x.Det är för alla det okända har derivat av godtycklig ordning, och | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) | & lt; = 1, k = 1,2 ... ännu en gång, som producerarvissa beräkningar, finner vi att serien för f (x) = cos x skulle se ut så här:
Så har vi listat de viktigaste funktionerna som kan utökas i en Maclaurin serie, men de kompletterar Taylor serien för vissa funktioner.Nu kommer vi att lista dem också.Det bör också noteras att Taylor och Maclaurin serie är en viktig del av verkstaden serien i lösningar av högre matematiken.Så, Taylor-serien.
1. Den första är serien för f-ii f (x) = ln (1 + x).Såsom i de tidigare exemplen, för detta vi f (x) = ln (1 + x) kan vikas i en rad, med användning av den allmänna formen av Maclaurin serie.Emellertid kan denna funktion Maclaurin erhållas mycket lättare.Att integrera en geometrisk serie, får vi serien för f (x) = ln (1 + i) av provet:
2. Och andra, som kommer att vara finalen i denna artikel, är serien för f (x) = arctg talet.För x tillhör intervallet [-1, 1] är utbyggnaden av mässan:
Det är allt.I denna artikel har vi anses vara den mest använda Maclaurin och Taylor-serien i högre matematik, i synnerhet på det ekonomiska och tekniska högskolor.
