Geometrisk progression er vigtig i matematik som en videnskab, og anvendt betydning, da den har et meget bredt anvendelsesområde, selv i højere matematik, siger, teorien om serien.Den første oplysninger om de fremskridt, kom til os fra det gamle Egypten, især i form af et velkendt problem i Rhind papyrus syv personer med syv katte.Variationer af dette problem gentaget mange gange på forskellige tidspunkter fra andre nationer.Selv den store Leonardo af Pisa, bedre kendt som Fibonacci (XIII c.), Talte til hende i hans "Book of kuglerammen."
Så geometrisk progression har en gammel historie.Det er en numerisk sekvens med nul første sigt og hver efterfølgende start fra den anden, bestemmes ved at multiplicere den tidligere gentagelse formlen for permanente, ikke-nul nummer, som kaldes nævneren progression (det er normalt betegnes ved hjælp af bogstavet q).
klart, det kan findes ved at dividere hver efterfølgende løbetid sekvensen til den foregående, dvs. to z: z 1 = ... = zn: z n-1 = ....Derfor er en opgave for progression (zn) nok til at kende værdien af det var det første medlem af y 1 og nævneren q.
eksempel, lad z 1 = 7, q = - 4 (q & lt; 0), så har vi følgende geometriske progression 7 - 28 112-448, ....Som du kan se, er den resulterende sekvens er ikke monoton.
Husk på, at en vilkårlig sekvens af monoton (stigende / faldende), når hver af dets fremtidige medlemmer af mere / mindre end den foregående.For eksempel sekvensen 2, 5, 9, ... og -10, -100, -1000, ... - ensformigt, den anden af dem - er faldende eksponentielt.
I det tilfælde, hvor q = 1, alle medlemmer i progression opnås lige og det kaldes konstant.
Til sekvens var progression af denne type, skal den opfylde følgende nødvendig og tilstrækkelig betingelse, nemlig: startende fra den anden, hver af sine medlemmer bør være det geometriske gennemsnit af tilstødende medlemsstater.
Dette hotel tillader under visse to tilstødende fund vilkårlig sigt progression.
n'te sigt af et geometrisk progression er let at finde formlen: zn = z 1 * q ^ (n-1), vel vidende den første valgperiode z 1 og nævneren q.
Siden den numeriske sekvens er værd, et par simple beregninger give os en formel til at beregne summen af de første form af progression, nemlig:
S n = - (zn * q - z 1) / (1 - q).
Udskiftning i formlen værdi zn dets ekspression z = 1 * q ^ (n-1) til opnåelse af en anden mængde af progressionen af formlen: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).
fortjener opmærksomhed på følgende interessant faktum: ler tablet fundet i udgravninger af det gamle Babylon, som henviser til VI.BC bemærkelsesværdigt indeholder summen af 1 + 2 + 22 ... + 29 lig med 2 i tiende magt minus 1. forklaring på dette fænomen er ikke fundet.
Vi noterer en af egenskaberne for geometrisk progression - en konstant arbejde af sine medlemmer, fordelt med lige stor afstand fra enderne af sekvensen.
særligt vigtigt ud fra et videnskabeligt synspunkt, sådan noget som en uendelig geometrisk progression og beregne dens størrelse.Antages det, at (yn) - en geometrisk progression med en nævneren q, opfylder betingelsen | q | & lt;1, vil det blive kaldt grænsen for søges af allerede kendte til os summen af dets første medlemmer sum, med ubegrænset forøgelse af n, så den nærmer sig uendelig.
finder dette beløb som følge af anvendelse af formlen:
S n = y 1 / (1-q).
Og da erfaringen har vist, den tilsyneladende enkelhed af denne progression er skjult et kæmpe program potentiale.For eksempel, hvis vi konstruere en sekvens af kvadrater på følgende algoritme, der forbinder midtpunkterne af den foregående, så de danner et kvadrat uendelig geometrisk progression med en nævneren 1/2.De samme progression danner trekanter og firkanter opnået på hvert trin af byggeri, og dens sum er lig med arealet af den oprindelige kvadrat.
