Et af de grundlæggende grene af matematisk analyse er integralregning.Den dækker det brede felt af objekter, hvor den første - det er en ubestemt integral.Position det som nøglen er, at tilbage i gymnasiet afslører et stigende antal perspektiver og muligheder, som beskriver de højere matematik.
udseende
Ved første øjekast synes det aldeles integreret moderne, aktuelt, men i praksis viser det sig, at han havde medvirket i 1800 f.Kr..Homeland er officielt betragtes Egypten som ikke har overlevet den tidligere bevis for dens eksistens.Det på grund af manglende information, alt imens placeret blot som et fænomen.Det bekræfter endnu en gang den videnskabelige udvikling af folkene i disse tider.Endelig blev det fundet skrifter af de gamle græske matematikere, stammer fra det 4. århundrede f.Kr..De beskriver den anvendte metode, hvor stamfunktion, essensen af, som var at finde volumen eller areal af den krumme form (tredimensionale og todimensionale plan, henholdsvis).Princippet om beregning baseret på fordelingen af de oprindelige figur uendeligt komponenter, forudsat at den mængde (arealet) af allerede kendt.Over tid, fremgangsmåden er vokset, Archimedes bruges den til at finde det område, som parabel.Lignende beregninger på samme tid, og gennemføre øvelser i det gamle Kina, hvor de var helt uafhængig af den græske kollega videnskab.
Development
næste gennembrud i XI århundrede f.Kr. er blevet arbejdet i den arabiske videnskabsmand "vogn" Abu Ali al-Basri, der skubbede grænserne for det allerede kendte, er afledt af den integrerede formel til beregning summerne af de beløb og grader fra første tilFor det fjerde, at bruge til dette ved, at vi metoden til matematisk induktion.
sind i dag beundre, hvordan de gamle egyptere skabte de fantastiske monumenter uden specialværktøj, med den mulige undtagelse af hans hænder, men ikke magt sindet videnskabsmænd af tiden ikke mindre et mirakel?Sammenlignet med den nuværende tidspunkt i livet synes næsten primitivt, men beslutningen af ubestemt integraler udledt overalt og anvendes i praksis for videre udvikling.
næste skridt fandt sted i det XVI århundrede, hvor italienske matematiker bragte Cavalieri metode indivisibles, der samles op Pierre de Fermat.Disse to personlighed lagde grunden til den moderne integralregning, som er kendt i øjeblikket.De bandt begreberne differentiering og integration, der tidligere blev opfattet som selvstændige enheder.I det store og har matematikken i denne tid blevet knust, konklusionerne af partiklerne eksisterer af sig selv, med begrænset rækkevidde.Way of association og søgningen af fælles fodslag var den eneste sande i det øjeblik, takket være ham, den moderne matematiske analyse haft mulighed for at vokse og udvikle sig.
Med tiden ændrer alt, og notation af integralet så godt.I det store og har forskerne udpeget det på sin egen måde, for eksempel, Newton brugt en firkantet ikon, der satte en integrabel funktion, eller blot sætte sammen.Denne forskel varede indtil XVII århundrede, da en milepæl for hele teorien om matematisk analyse videnskabsmand Gottfried Leibniz indført som et symbol velkendt for os.Den aflange "S" er faktisk baseret på det bogstav i alfabetet, som repræsenterer summen af primitiver.Navnet på integralet skyldtes Jacob Bernoulli, efter 15 år.
formel definition af ubestemt integral afhænger af definitionen af den primitive, så vi mener, at det i første omgang.
Den primitive - det er den omvendte funktion af derivatet, i praksis kaldes primitive.Med andre ord: primitiv funktion af d - er en funktion D, det afledte er lig med v & lt; = & gt;V '= v.Søg den primitive vil sige, at beregningen af den ubestemte integral, og processen kaldes integration.
Eksempel:
funktionen s (y) = Y3, og dens primitive S (y) = (Y4 / 4).
sæt af alle primitiver i funktion - det er ubestemt integral, det er angivet som følger: ∫v (x) dx.
Fordi V (x) - Disse er nogle af de oprindelige primitive funktion, har vi et udtryk: ∫v (x) dx = V (x) + C, hvor C - konstant.Under den arbitrær konstant: enhver konstant, da dens afledte er nul.
Properties
ejendomme, der har en ubestemt integral, baseret på definitionerne og egenskaber af derivater.
Overvej nøglepunkter:
- integreret derivat af den primitive sig selv er primitiv, plus en arbitrær konstant C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;
- derivat af integralet af funktionen er den oprindelige funktion & lt; = & gt;(∫v (x) dx) '= v (x);
- konstant fjernes fra den integrerede tegn & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, hvor k - er vilkårlig;
- integral, som er taget fra summen af identisk lig med summen af integraler af & lt; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.
De sidste to egenskaber kan det konkluderes, at ubestemt integral er lineær.På grund af dette, har vi: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
At konsolidere overveje eksempler på løsninger ubestemmelig integraler.
nødvendigt at finde integralet ∫ (3sinx + 4cosx) dx:
- ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C.
Fra eksempel kan vi konkludere, at du ikke ved, hvordan man skal håndtere ubestemt integraler?Bare finde alle de primitive!Men søgningen efter principperne beskrevet nedenfor.
metoder og eksempler
for at løse den integrerede, kan du ty til følgende metoder:
- bordet klar til brug;
- integrere af dele;
- integreret ved at erstatte den variable;
- afvikling under tegnet af differentialet.
borde
nemmeste og behagelig måde.I øjeblikket kan den matematiske analyse prale ganske omfattende tabeller, som præciseret de grundlæggende formler af ubestemmelig integraler.Med andre ord, der er mønstre, der er afledt til dig, og du kan kun drage fordel af dem.Her er en liste over grundlæggende tabel positioner, som kan vise næsten alle tilfælde have en løsning:
- ∫0dy = C, hvor C - konstant;
- ∫dy = y + C, hvor C - konstant;
- ∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, hvor C - en konstant, og n - er forskelligt fra antallet af enheder;
- ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, hvor C - konstant;
- ∫eydy = ey + C, hvor C - konstant;
- ∫kydy = (ky / ln k) + C, hvor C - konstant;
- ∫cosydy = siny + C, hvor C - konstant;
- ∫sinydy = -cosy + C, hvor C - konstant;
- ∫dy / cos2y = TGY + C, hvor C - konstant;
- ∫dy / sin2y = -ctgy + C, hvor C - konstant;
- ∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, hvor C - konstant;
- ∫chydy = genert + C, hvor C - konstant;
- ∫shydy = Chy + C, hvor C - konstant.
Hvis du ønsker at komme med et par trin fører integranden til en tabelform visning og nyde sejren.Eksempel: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.
Ifølge beslutningen er det klart, at for tabellenEksempel integranden mangler multiplikator 5. Vi føje det sideløbende med dette ganges med 1/5 til generelle udtryk ændrede sig ikke.
Integration af dele
Betragt to funktioner - z (y) og x (y).De skal være kontinuerligt differentiabel på sit domæne.Som en af egenskaberne af differentiering har: d (xz) + = XDZ ZDx.Integration begge sider, får vi: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + ZDx) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.
omskrivning af den resulterende ligning, får vi en formel, der beskriver metoden til integration ved dele: ∫zdx = ZX - ∫xdz.
Hvorfor er det nødvendigt?Det faktum, at nogle få eksempler kan forenkle, relativt set, at reducere ∫zdx ∫xdz, hvis sidstnævnte er tæt på tabelform.Desuden kan denne formel bruges mere end en gang, for optimale resultater.
Hvordan man løser ubestemt integraler på denne måde:
- nødvendigt at beregne ∫ (r + 1) e2sds
∫ (x + 1) e2sds = {z = s + 1, DZ = ds, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((S + 1) E2S) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((s + 1) E2S) / 2-E2S / 4 + C;
- skal beregne ∫lnsds
∫lnsds = {z = LNS, DZ = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫ S x DS / s = slns - ∫ds = slns -s+ C = S (LNS-1) + C.
Udskiftning variabel
Dette princip beslutning om ubestemt integraler i efterspørgslen ikke mindre end de to foregående, men kompliceret.Fremgangsmåden er som følger: Lad V (x) - integralet af en funktion v (x).I tilfælde af, at der i sig selv integreret i fangsterne slozhnosochinenny eksempel, vil sandsynligvis blive forvirret og gå til de forkerte løsninger.For at undgå dette praktiseres overgang fra variable x til z, hvor en generel udtryk visuelt forenklede samtidig opretholde z afhængig af x.
matematikkens sprog er som følger: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), hvor x =y (z) - substitution.Og naturligvis den inverse funktion z = y-1 (x) beskriver forholdet og forholdet mellem variabler fuldt.Vigtigt - differential dx nødvendigvis erstattet med den nye forskellen dz, siden ændringen af variablen i ubestemt integral involverer erstatte den overalt, ikke kun i integranden.
Eksempel:
- nødt til at finde ∫ (s + 1) / (S2 + 2s - 5) ds
anvendelse udskiftningen z = (s + 1) / (s2 + 2s-5).Så 2sds = dz = 2 + 2 (s + 1) ds & lt; = & gt;(s + 1) ds = dz / 2.Som et resultat, følgende udtryk, som er meget let at beregne:
∫ (s + 1) / (s2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2LN | z | + C = 1 / 2LN| s2 + 2s-5 | + C;
- nødt til at finde integreret ∫2sesdx
at løse omskrive udtryk i følgende form:
∫2sesds = ∫ (2e) SDS.
betegne en = 2e (erstatter det argument dette trin er ikke, er det stadig er), at give vores tilsyneladende komplekse, integreret grundlæggende tabelform:
∫ (2e) sds = ∫asds = som / lna+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2SES / ln (2 + LNE) + C = 2SES / (ln2 + 1) + C.
Wrap under tegnet af forskellen
I det store og denne metodeubestemt integraler - tvillingebror af princippet om ændring af variable, men der er forskelle i proceduren for registrering.Overvej detaljer.
Hvis ∫v (x) dx = V (x) + C og y = z (x), så ∫v (y) dy = V (y) + C.
Vi må ikke glemme de trivielle integrerede transformationer, blandthvor:
- dx = d (x + a), og hvor - hver konstant;
- dx = (1 / a) d (ax + b), hvor en - konstant igen, men ikke nul;
- XdX = 1 / 2D (x2 + b);
- sinxdx = -D (cosx);
- cosxdx = d (sinx).
Hvis vi betragter det generelle tilfælde, når vi beregner ubestemt integral, kan eksempler bringes under den generelle formel w '(x) dx = DW (x).
Eksempler:
- brug for at finde ∫ (2s + 3) 2DS, ds = 1 / 2D (2S + 3)
∫ (2s + 3) 2DS = 1 / 2∫ (2S + 3) 2d (2s+ 3) = (1/2) x ((2S + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;
∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (USS) / USS = -ln | USS | + C.
Online hjælp
I nogle tilfælde fejl, som kan være eller dovenskab eller et presserende behov, kan du brugeOnline tips, eller rettere, for at bruge en lommeregner ubestemt integraler.På trods af den tilsyneladende kompleksitet og kontroversielle karakter af integralerne, deres beslutning er behæftet med en vis algoritme, som er bygget på princippet om ", hvis du ikke gør ... så ...".
Selvfølgelig vil meget indviklede eksempler på denne regnemaskine ikke mestre, da der er tilfælde, hvor en afgørelse er at finde en kunstigt "tvunget" ved at indføre visse elementer i processen, fordi resultatet ikke er oplagte måder at opnå.På trods af den kontroversielle karakter af denne erklæring, det er sandt, som matematikken i princippet en abstrakt videnskab, og dens primære mål anser behovet for at udvide grænserne for mulighederne.Faktisk for en smidig run-i teorierne er meget vanskeligt at bevæge sig op og udvikle sig, så ikke antage, at eksempler på løsning af ubestemt integraler, som gav os - det er højden af muligheder.Men tilbage til den tekniske side af tingene.I det mindste at kontrollere beregningerne, kan du bruge tjenesten, hvor det blev forklaret for os.Hvis der er behov for automatisk beregning af komplekse udtryk, så de ikke behøver at ty til en mere alvorlig software.Det er nødvendigt at være opmærksom primært på miljøet MatLab.
Ansøgning
beslutningsprocesser ubestemte integraler ved første øjekast synes helt løsrevet fra virkeligheden, fordi det er svært at se den indlysende brug af flyet.Faktisk deres anvendelse overalt direkte umuligt, men de anses for nødvendige mellemliggende element i processen for tilbagetrækning af løsninger, der anvendes i praksis.Så tilbage til integration af differentiering, dermed aktivt deltager i processen med at løse ligninger.
Til gengæld disse ligninger har en direkte indvirkning på afgørelsen af et mekanisk problem, beregning af baner og varmeledningsevne - kort sagt alt, hvad der udgør den nuværende og forme fremtiden.De ubestemte integral, eksempler, som vi har overvejet ovenfor, blot trivielle ved første øjekast, som en base for at udføre flere og flere nye opdagelser.
