Cramerschen Regel - ist eine der genauen Methoden zur Lösung von linearen algebraischen Gleichungen (Slough).Seine Genauigkeit durch die Verwendung der Determinanten der Matrizen sowie einige der Einschränkungen bei der Beweis des Theorems auferlegt.
System von linearen algebraischen Gleichungen mit Koeffizienten, die zu zum Beispiel eine Vielzahl von R - reelle Zahlen, von unbekannten x1, x2, ..., xn heißt die Menge der Ausdrücke der Form
ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi für i =1, 2, ..., m, (1)
wobei aij, bi - reelle Zahlen.Jeder dieser Ausdrücke wird als eine lineare Gleichung, aij - Koeffizienten der Unbekannten, bi - freien Koeffizienten der Gleichungen.
Lösung von (1) wird als die n-dimensionalen Vektor x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), die, wenn sie in für die Unbekannten x1 substituiert, ..., xn jeder der Reihen in dem System auf x2wahre Gleichheit.
System wird als konsistent, wenn sie mindestens eine Lösung hat, und inkonsequent, wenn seine Reihe von Lösungen mit der leeren Menge übereinstimmt.
Es muss daran erinnert, dass, um die Lösung von Systemen von linearen algebraischen Gleichungen mit Hilfe der Cramerschen Regel zu finden, Matrizen, Systeme müssen quadratisch sein, was im Grunde bedeutet die gleiche Anzahl von Unbekannten und Gleichungen im System werden.
Also, um das Verfahren der Cramer verwenden, sollten Sie zumindest wissen, was die Matrix ist ein System von linearen algebraischen Gleichungen und wie es ausgegeben wird.Und zweitens, um zu verstehen, was man die Determinante der Matrix, und beherrschen die Fähigkeiten seiner Berechnung.
davon ausgehen, dass dieses Wissen, die Sie besitzen.Wonderful!Dann müssen Sie nur Formeln der Bestimmung der Methode der Cramer merken.Zur Vereinfachung der Speicherung verwenden die folgende Notation:
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Det - die wichtigste Determinante des Systems;
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deti - ist die Determinante der Matrix von der Hauptmatrix des Systems durch Ersetzen der i-ten Spalte der Matrix auf einen Spaltenvektor, dessen Elemente die rechten Seiten der Systeme linearer Gleichungen erhalten werden;
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n - die Anzahl der Unbekannten und Gleichungen im System.
Dann Cramerschen Regel berechnen die i-te Komponente xi (i = 1, .. n) n-dimensionalen Vektor x geschrieben werden als
xi = deti / Det, (2).
So Det strikt ungleich Null.
einzigartige Lösung, wenn sie gemeinsam von der Bedingung der Nicht-Null wichtigste Determinante des Systems zur Verfügung gestellt.Andernfalls, wenn die Summe von (xi), quadriert, strikt positiv ist, dann SLAE eine quadratische Matrix ist inkonsistent.Dies kann insbesondere dann, wenn zumindest eine der deti ungleich Null auftreten.
Beispiel 1 .Zur Lösung der dreidimensionalen System von Lau, mit Cramer-Formel.
x1 + 2 x2 x3 + 4 = 31,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.
Entscheidung.Wir schreiben die Matrix der Zeile, in der Ai - ist die i-te Zeile der Matrix.
A1 = (1 2 4), A2 = (1, 5 2), A3 = (-1 3 1).
Spalte frei Koeffizienten b = (31 29 Oktober).
Hauptdeterminante Det System
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 12-12 2-10 = -27.
Zur Berechnung det1 Verwendung Substitution a11 = b1, b2 = a21, a31 = b3.Dann
det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 a31 + b3 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 a12 b2 = ... = -81.
In ähnlicher Weise, um eine Permutation zu berechnen mit det2 = b1 a12, a22 = b2, b3 = a32 und jeweils an DET3 berechnen - a13 = b1, b2 = a23, a33 = b3.
Dann können Sie diese det2 = -108 überprüfen und DET3 = - 135.
Nach der Cramerschen Regel finden wir x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135/ (- 27) = 5.
Antwort: x ° = (3,4,5).
Basierend auf den Bedingungen für die Anwendbarkeit dieser Regel kann der Cramerschen Regel zur Lösung linearer Gleichungssysteme indirekt verwendet werden, zum Beispiel, um das System auf die mögliche Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit vom Wert eines Parameters k zu untersuchen.
Beispiel 2. Bestimmen Sie, für welche Werte der Parameter k die Ungleichung | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | & lt; = 0 genau eine Lösung.
Entscheidung.
können diese Unterschiede in der Definition der Modulfunktion nur durchgeführt werden, wenn beide Ausdrücke gleichzeitig Null.Y = 4, x +
ky = -4 - daher wird das Problem der Suche nach der Lösung eines linearen Gleichungssystems algebraischer Gleichungen
kx reduziert.
Lösung dieses Systems nur dann, wenn es die Hauptdeterminante
Det = k ^ {2} + 1 nicht Null ist.Offensichtlich hält diese Bedingung für alle gültigen Werte der Parameter k.
Antwort: für alle reellen Werte des Parameters k.
Die Ziele dieser Art können auch reduziert werden, viele praktische Probleme der Mathematik, Physik oder Chemie.
