Fourier - una representación de una función elegida arbitrariamente a un período específico en una fila.En términos generales, la decisión a que se refiere al elemento de expansión de la base ortogonal.La ampliación de funciones en series de Fourier es una herramienta muy poderosa en la solución de diversos problemas debido a las propiedades de la transformación en la integración, diferenciación y cambiar las expresiones de argumento y de convolución.
persona que no está familiarizado con las matemáticas superiores, así como con el trabajo del científico francés Fourier probable es que no va a entender lo que las "filas" y lo que hacen.Sin embargo, esta transformación es bastante fuertemente entre en nuestras vidas.Se utiliza no sólo las matemáticas, sino también físicos, químicos, médicos, astrónomos, sismólogos, oceanógrafos y otros.También debemos echar un vistazo más de cerca con las obras del gran científico francés que hicieron el descubrimiento, por delante de su tiempo.
Hombre y la transformada de Fourier
series de Fourier son uno de los métodos (junto con el análisis y otros) de la transformada de Fourier.Este proceso se produce cada vez que una persona escucha un sonido.Nuestros oídos convierte automáticamente la onda sonora.El movimiento de vibración de las partículas elementales en un medio elástico están dispuestos en serie (en el espectro) valores sucesivos de el nivel de volumen para los tonos de diferentes tonos.A continuación, el cerebro convierte los datos en sonidos familiares para nosotros.Todo esto se suma a nuestra voluntad o conciencia en sí, sino con el fin de entender estos procesos tomará varios años para estudiar matemáticas superiores.
Más acerca de la transformada de Fourier
transformada de Fourier se puede realizar analítica, números y otros métodos.Series de Fourier son procesos numeral para descomponer los procesos oscilatorios - de mareas y olas de luz a los ciclos solares (y otros objetos astronómicos) actividad.El uso de estas técnicas matemáticas pueden desmontar funciones que representan los procesos oscilatorios en una serie de componentes sinusoidales que van del mínimo al máximo y la espalda.La transformada de Fourier es una función que describe la fase y la amplitud de los sinusoides que corresponden a una frecuencia particular.Este proceso se puede utilizar para hacer frente a las ecuaciones muy complejas que describen los procesos dinámicos que se producen bajo la acción del calor, la luz o energía eléctrica.Además, las series de Fourier le permiten destacar los componentes constantes en las formas de onda complejas, por lo que es posible interpretar correctamente las observaciones experimentales en medicina, química y astronomía.Antecedentes
padre fundador de esta teoría es el matemático francés Joseph Fourier.Su nombre fue posteriormente llamó a esta transformación.Inicialmente, los investigadores utilizaron una técnica para estudiar y explicar los mecanismos de conducción de calor - la propagación del calor en los sólidos.Fourier asume que la distribución inicial de ola de calor irregular se puede descomponer en sinusoide simple, cada uno de los cuales tendrá una temperatura mínima y máxima, así como su fase.Por lo tanto cada componente a medir de mínimo a máximo y viceversa.La función matemática que describe los picos superior e inferior de la curva, y la fase de cada armónico, llamada la transformada de Fourier de la expresión de la distribución de temperatura.El autor de la teoría de la reducción de la función de distribución global, que es difícil de descripción matemática, de una manera muy fácil de manejar una serie de funciones periódicas de seno y coseno, dando un total de la distribución inicial.Principio
de conversión y las opiniones de los contemporáneos
contemporáneos científico - matemáticos más importantes principios del siglo XIX - no aceptaron esta teoría.La principal objeción fue la aprobación de Fourier que la función de romper describiendo una línea recta o curva se rompe, puede representarse como una suma de expresiones sinusoidales que son continuas.Como ejemplo, considere el "paso" Heaviside: su valor es cero a la izquierda de la brecha y la unidad de la derecha.Esta función describe la dependencia de la corriente eléctrica a partir de la variable temporal para el cierre del circuito.Teoría Contemporáneos en ese momento, nunca se había encontrado con una situación así, cuando una expresión discontinua describe a una combinación de las funciones normales, continuos, como exponencial, seno, cuadrado o lineal.
que confunde a los matemáticos franceses en la teoría de Fourier?
Después de todo, si un matemático era correcto en sus afirmaciones, entonces, sumando una serie de Fourier trigonométrica infinita, se puede obtener una representación precisa de la etapa de expresión, incluso si no tiene muchos pasos similares.A principios del siglo XIX, esta declaración parecía absurdo.Pero a pesar de todas las dudas, muchos matemáticos han ampliado el alcance del estudio de este fenómeno, se mueve más allá de la investigación de la conductividad térmica.Sin embargo, la mayoría de los científicos siguieron sufriendo la pregunta: "¿Puede la suma de serie de senos converge al valor exacto de la función discontinua"
Convergencia de las series de Fourier: el ejemplo cuestión
de la convergencia plantea siempre que sea necesario suma de la serie infinita de números.Para entender este fenómeno, considere el ejemplo clásico.¿Podría alguna vez llegue a la pared cuando cada paso será la mitad de la anterior?Supongamos que usted está a dos metros de la meta, el primer paso más cerca de alrededor de la mitad del camino, el siguiente - al nivel de las tres cuartas partes, y después de la quinta a superar casi el 97 por ciento del camino.Sin embargo, no importa la cantidad de pasos que realice, el objetivo previsto que llegue en el sentido matemático estricto.Usando cálculos numéricos, podemos probar que al final puede ser abordado en una arbitrariamente pequeña distancia dada.Esto es equivalente a una prueba que demuestra que el valor total de una media, un cuarto, y así sucesivamente. E. tenderá a la unidad.
cuestión de la convergencia: la segunda venida, o Dispositivo Lord Kelvin
nuevo la cuestión surgieron a finales del siglo XIX, cuando el Fourier trató de usar para predecir la intensidad de flujos y reflujos.En ese momento, Lord Kelvin fue inventado dispositivo es un dispositivo de computación analógica que permite a los navegantes militar y marina mercante para realizar un seguimiento de este fenómeno natural.Este mecanismo define un conjunto de fases y amplitudes de la altura de la mesa de las mareas y los momentos de tiempo correspondientes, mide cuidadosamente en el puerto durante el año.Cada parámetro es una marea componente sinusoidal de expresión es uno de los componentes regulares.Los resultados de la medición se introducen en el dispositivo informático Lord Kelvin, la síntesis de la curva, que predice la altura del agua como función de tiempo para el próximo año.Muy pronto se hicieron estas curvas para todos los puertos del mundo.
Y si el proceso se romperán función discontinua?
En el momento parecía obvio que el dispositivo de predicción de un maremoto, con una gran cantidad de cuentas de los elementos pueden calcular un gran número de fases y amplitudes, y así proporcionar una predicción más precisa.Sin embargo, resultó que este patrón no se observa en los casos en que la expresión de marea que se sintetiza, contenía un fuerte salto, es decir, es discontinuo.En ese caso, si se introducen los datos en el dispositivo de una tabla de puntos de tiempo, calcula unos coeficientes de Fourier.La función original se restaura gracias a la componente sinusoidal (de acuerdo con los coeficientes que se encuentran).La discrepancia entre el original y la expresión reconstruida puede medirse en cualquier punto.Durante el cálculo repetido y la comparación muestra que el valor de la mayor error se reduce.Sin embargo, están localizados en la región correspondiente al punto de ruptura, y cualesquiera otros puntos tiende a cero.En 1899, este resultado se confirmó teóricamente Joshua Willard Gibbs, de la Universidad de Yale.
Convergencia de las series de Fourier y el desarrollo de las matemáticas en el análisis general
Fourier no se aplica a las expresiones que contienen un número infinito de explosiones en un determinado intervalo.En las series de Fourier general, si la función original de la presentación de los resultados de la medición física real siempre converge.Preguntas de convergencia del proceso para las clases específicas de funciones han dado lugar a nuevas ramas de las matemáticas, como la teoría de las funciones generalizadas.Se asocia con nombres tales como L. Schwartz, J .. Mikusiński y J. Temple.En el marco de esta teoría se estableció la base teórica clara y precisa de expresiones tales como la función delta de Dirac (que describe el área de la región unificada, se concentró en un barrio infinitesimal del punto) y "paso" Heaviside.A través de este trabajo de las series de Fourier se convirtió en útil para la resolución de ecuaciones y problemas en los que la cifra es intuitivo: una carga puntual, los medios de punto, dipolos magnéticos, y la carga concentrada en la viga.Método
Fourier series
Fourier, de conformidad con los principios de interferencia, comienza con la descomposición de las formas complejas en más simple.Por ejemplo, un cambio en el flujo de calor debido a su paso a través de los diversos obstáculos de material de forma irregular, o un cambio en la superficie de la tierra aislante - un terremoto, un cambio en la órbita de un cuerpo celeste - la influencia de los planetas.Normalmente, estas ecuaciones que describen sistemas clásicos simples es elemental resueltos por cada ola.Fourier mostró que las soluciones simples pueden resumirse como para tareas más complejas.En el lenguaje de las matemáticas, la serie de Fourier - una metodología para la presentación de la cantidad de expresión de armónicos - coseno y ondas sinusoidales.Por lo tanto, este análisis también se conoce como "análisis armónico."
Series de Fourier - un método ideal para la "era de la informática»
Antes de la creación de la técnica de Fourier tecnología informática es la mejor arma en el arsenal de los científicos que trabajan con la naturaleza ondulatoria de nuestro mundo.Series de Fourier en forma compleja le permite no sólo resolver problemas sencillos que se prestan a la aplicación de las leyes de la mecánica de Newton dirigir, sino también las ecuaciones fundamentales.La mayor parte de los descubrimientos de la ciencia newtoniana del siglo XIX se hizo posible sólo por el método de Fourier.
Fourier series hoy
Con el desarrollo de las computadoras de Fourier resucitado a un nivel cualitativamente nuevo.Esta técnica está firmemente arraigada en casi todos los campos de la ciencia y la tecnología.Como ejemplo, una señal de audio y vídeo digital.Su implementación ha sido posible sólo gracias a la teoría desarrollada por el matemático francés a principios del siglo XIX.Por lo tanto, la serie de Fourier en forma compleja ha permitido hacer un gran avance en el estudio del espacio exterior.Además, se ha afectado el estudio de la física de los semiconductores y de plasma, la acústica de microondas, la oceanografía, el radar, la sismología.
series de Fourier trigonométrica
En matemáticas, la serie de Fourier es una forma de representar funciones complejas arbitrarias como una suma de simple.En los casos comunes, el número de estas expresiones puede ser interminable.Cuanto mayor sea el número tenido en cuenta en el cálculo, se obtiene más preciso será el resultado final.El uso más común de simples funciones trigonométricas coseno y seno.En este caso, la serie de Fourier se llama trigonométricas, y la decisión de tales expresiones - la descomposición armónica.Este método tiene un papel importante en las matemáticas.En primer lugar, una serie trigonométrica proporciona un medio para la imagen, y la función de aprendizaje, es la unidad principal de la teoría.Además, nos permite resolver una serie de problemas en la física matemática.Por último, esta teoría ha contribuido al desarrollo del análisis matemático dio lugar a una serie de ramas muy importantes de las matemáticas (teoría integral, la teoría de las funciones periódicas).Además, el punto de partida para el desarrollo de las siguientes teorías: juegos, funciones de una variable real, análisis funcional, y marcó el inicio del análisis armónico.
