annetaan yksinkertainen toiminto trigonometria = sin (x) on derivoituva jokaisessa pisteessä koko toimialueen.On tarpeen osoittaa, että johdannainen sinin mitään väitettä on kosini samassa kulmassa, eli "= Cos (x).
todiste perustuu määritelmään johdannaisen
Define x (mielivaltaisen) pienessä naapurustossa tietyn pisteen △ X x0.Näytämme arvo funktion sitä, ja pisteessä x löytää lisäys määritellyn toiminnon.Jos △ X - kasvu argumentti, sitten uusi argumentti - on x0 + Ax = x, arvo tämän funktion tietyn arvon argumentin y (x) on Sin (x0 + Ax), funktion arvo tietyllä pisteeseen (x0) on myös tunnettu.
Nyt meillä on Au = Sin (X0 + △ x) -sin (x0) - sai kasvu toiminto.
mukaan kaava sini summa kahden eriarvoiseen kulmat muuntaa ero Au.
Au = Sin (x0) · Cos (△ x) + cos (x0) · Sin (Ax) miinus Sin (x0) = (cos (Ax) -1) · Sin (x0) + cos (x0) · Sin (△ x).
vaihtamisen ehdot ryhmitelty ensimmäisestä kolmanteen Sin (x0), suorittaa yhteinen tekijä - sine - suluissa.Saimme ilmaista ero Cos (△ x) -1.Muutat merkki kiinnikkeen ja suluissa.Tietäen mitä on 1-Cos (△ x), teemme muutoksen ja saada yksinkertaistettu ilme Au, joka jaetaan sitten △ x.
Au / △ X on muotoa: Cos (x0) · Sin (△ x) / △ x 2 · sin2 (0,5 · △ x) · Sin (x0) / △ X.Tämä on suhde lisäys toiminnon oletuksiin lisäys väitettä.
edelleen löytää raja suhdeluvut saatu meille täy △ x yleensä nolla.
tunnettua, että raja Sin (△ x) / Ax on yhtä suuri kuin 1, tietyn ehdon.Ja ilmaisu 2 · sin2 (0,5 · △ x) / △ x tuloksena summa yksityinen siirtymistä sisältävä tuote ensimmäisenä merkittävä raja tekijä: osoittajan osa ja znemenatel jaa 2, neliön sini vaihtaa tuote.Joten:
(Sin (0,5 · Ax) / (0,5 · Ax)) · Sin (Ax / 2).
raja tämän ilmentymisen △ x yleensä nolla, lukumäärä on yhtä suuri kuin nolla (1 kerrottuna 0).On käynyt ilmi, että raja-suhde Ay / △ x on Cos (x0) · 1-0, tämä on Cos (x0), ilmaus, joka ei riipu △ x, pyrkivät 0. Siksi johtopäätös: johdannainen sini kulmasta tahansa x on kosini xme kirjoittaa niin: "= Cos (x).
Tämä kaava on lueteltu taulukossa tunnettujen johdannaisten, jossa kaikki alkeisfunktioita
Kun ratkaisemaan ongelmia, jossa hän tapaa johdannainen sini, voit käyttää sääntöjä erilaistumista ja valmiita kaavoja taulukosta.Jos esimerkiksi haluat löytää johdannainen yksinkertainen funktio y = 3 · sin (x) -15.Käytämme perussäännöt eriyttäminen, poistaminen numeerinen tekijä merkki johdannaisen ja johdannainen laskennan vakio numero (se on nolla).Levitä taulukkomuodossa arvon johdannainen sinin kulma x yhdenvertaisen Cos (x).Saamme vastauksen: y '= 3 · Cos (x) -O.Tämä johdannainen puolestaan on myös alkeisfunktio y = G · Cos (x).
johdannainen sini potenssiin tahansa väitettä
laskettaessa lauseke (sin2 (x)), sinun täytyy muistaa, miten erottaa monimutkainen tehtävä.Joten, = sin2 (x) - on eksponentiaalinen funktio ehdottomina potenssiin.Väite on myös trigonometriset toiminto, monimutkainen argumentti.Tulos on tässä tapauksessa tuote Ensimmäinen tekijä on johdannainen neliön monimutkainen argumentti, ja toinen - johdannainen sinus.Tässä on sääntö erottaa funktio funktio: (u (v (x))) "on (u (v (x)))" · (v (x)) ".Expression v (x) - monimutkainen argumentti (sisäinen toiminto).Jos annettu toiminta on "y on yhtä suuri kuin sini potenssiin x", johdannainen, joka on yhdistelmä funktio on y = 2 · sin (x) · cos (x).Tuote ensimmäinen tekijä on kaksinkertaistunut - tunnetaan johdannainen potenssifunktio, ja Cos (x) - johdannainen sinin argumentti monimutkaisia asteen funktio.Lopullinen tulos voidaan muuntaa kaavalla trigonometristen sini kaksinkertaisen kulman.: Johdannainen on Sin (2 · x).Tämä kaava on helppo muistaa, sitä käytetään usein pöytä.
