La somme des angles d'un triangle.

Triangle est un polygone ayant trois côtés (les trois angles).Le côté le plus commun représentent petites lettres, la lettre de capital correspondante qui désigne les sommets opposés.Dans cet article, nous prenons un coup d'oeil à ces types de formes géométriques, le théorème qui détermine ce qui équivaut à la somme des angles d'un triangle.Types

plus grands angles

types de polygone avec trois sommets suivants:

angle aigu dans lequel tous les angles vifs;
rectangulaire ayant un angle droit avec le côté de son image, appelés les jambes, et le côté qui est placé en face de l'angle droit est appelé l'hypoténuse;
obtus quand un angle est obtus;Isocèle
, dont les deux côtés égaux, et ils sont appelés latérale, et la troisième - la base du triangle;
équilatéral ayant trois côtés égaux.

Propriétés

Il propriétés de base qui sont caractéristiques de chaque type de triangle:

face du plus grand côté a toujours un grand angle, et vice versa;
côtés opposés du même ordre de grandeur sont des angles égaux, et vice versa;

avoir un triangle a deux angles aigus;
angle extérieur est plus grand que n'importe quel angle interne est pas lié à lui;
somme de tous les deux angles est toujours inférieur à 180 degrés;
angle extérieur est égale à la somme des deux autres coins qui ne sont pas de lui mezhuyut.

théorème sur la somme des angles d'un triangle

théorème affirme que si vous additionnez tous les coins de la figure géométrique, qui est situé dans le plan euclidien, leur somme sera de 180 degrés.Essayons de démontrer ce théorème.

Laissez nous avons un triangle arbitraire avec des sommets KMN.Grâce top M tracer une ligne parallèle à la ligne KN (même cette ligne est appelée ligne d'Euclide).Il convient de noter un point A d'une manière telle que le point K et A étaient situés sur des côtés différents MN droite.Nous obtenons le même angle et AMS MUF, qui, comme le mensonge intérieure transversalement pour former intersection MN en coopération avec les lignes du CN et MA qui sont parallèles.Il en résulte que la somme des angles d'un triangle situé au niveau des sommets de m et n est égale à la taille de l'angle de l'AMC.Tous les trois angles sont constitués d'une somme égale à la somme des angles CMA et MCS.Étant donné que ces angles sont internes à l'égard de lignes parallèles unilatérales CN et MA au KM coupe, leur somme est de 180 degrés.CQFD.

enquête

De ce théorème ci-dessus implique le corollaire suivant: chaque triangle a deux angles aigus.Pour le prouver, nous partons du principe que cette figure géométrique a seulement un angle aigu.En outre, on peut supposer qu'aucun angle aigu est pas.Dans ce cas, il doit y avoir au moins deux angles, dont la grandeur est égale ou supérieure à 90 degrés.Mais alors, la somme des angles est supérieur à 180 degrés.Et cela ne peut pas être, puisque le théorème somme des angles d'un triangle est 180 ° - ni plus ni moins.Voilà ce que devait être prouvé.

propriété coins extérieurs

Quelle est la somme des angles d'un triangle, qui sont externes?La réponse à cette question peut être obtenu en utilisant une des deux méthodes.Le premier est la nécessité de trouver la somme des angles, qui sont prises une à chaque sommet, soit trois angles.Le second implique que vous devez trouver la somme des six angles aux sommets.Pour commencer avec l'offre d'let avec la première.Ainsi, le triangle a six angles extérieurs - à chaque sommet des deux.Chaque paire a angles égaux les uns aux autres, parce qu'ils sont à la verticale:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.Addition

, il est connu que l'angle extérieur du triangle est égale à la somme des deux interne, ne sont pas mezhuyutsya avec elle.Par conséquent,

∟1 = + ∟A ∟S, ∟2 ∟A = + ∟V, ∟3 = + ∟V ∟S.

Il se trouve que la somme des angles externes sont pris un par un, près du haut de chaque, sera égal à:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A ∟S + + + + + ∟A ∟V ∟V ∟S= 2 x (+ ∟A ∟V + ∟S).

Compte tenu du fait que la somme des angles est égale à 180 degrés, il peut être soutenu que ∟A + ∟V ∟S = + 180 °.Cela signifie que ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °.Si la deuxième option est utilisée, alors la somme des six angles sera d'autant plus grand doublé.Telle est la somme des angles extérieurs d'un triangle sera:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

triangle

Quel est égale à la somme des angles d'un triangle est de l'île?La réponse, encore une fois, du théorème, qui stipule que les angles d'un triangle ajouter jusqu'à 180 degrés.Et nos sons d'assertion (de propriété) comme suit: dans le triangle rectangle angles aigus ajouter jusqu'à 90 degrés.Nous prouvons sa véracité.Qu'il y être donné un triangle KMN, qui ∟N = 90 °.Nous devons prouver que ∟K ∟M + = 90 °.

Ainsi, selon le théorème de la somme des angles ∟K ∟M ∟N + = + 180 °.Dans cette condition, il est dit que ∟N = 90 °.Il se trouve ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °.Voilà ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °.Voilà ce que nous devrions avoir à prouver.

En plus des propriétés ci-dessus d'un triangle rectangle, vous pouvez ajouter ces angles:

qui se trouvent contre les jambes sont tranchants;
hypoténuse triangulaire est supérieure à toutes les jambes;
les jambes plus que la somme de l'hypoténuse;
l'angle droit du triangle, qui se trouve en face des angles de 30 degrés, une moitié de l'hypoténuse, à savoir elle est égale à la moitié.

Comme autre propriété de la forme géométrique peut être identifié théorème de Pythagore.Elle fait valoir que dans un triangle avec un angle de 90 degrés (rectangulaire) est égale à la somme des carrés des jambes vers le carré de l'hypoténuse.

somme des angles d'un triangle isocèle

Précédemment, nous avons dit que un triangle isocèle est appelé un polygone à trois sommets contenant deux côtés égaux.Cette propriété est connue figure géométrique: les angles à sa base égale.Laissez-nous le prouver.

Prenez triangle KMN, qui est isocèle, SC - sa base.Nous sommes tenus de prouver que ∟K = ∟N.Donc, supposons que MA - bissectrice est notre triangle KMN.Triangle MCA avec le premier signe d'un triangle est égale MNA.À savoir la condition étant donné que CM = HM, MA, est un côté commun, ∟1 = ∟2, parce que l'AI - une bissectrice.Utilisation de l'égalité des deux triangles, on pourrait arguer que ∟K = ∟N.Ainsi, le théorème est démontré.

Mais nous sommes intéressés, ce qui est la somme des angles d'un triangle (isocèle).Depuis à cet égard n'a pas de ses caractéristiques, nous allons commencer à partir du théorème discuté ci-dessus.Autrement dit, nous pouvons dire que ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, ou 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (comme ∟K = ∟N).Cette propriété ne se montrera pas comme elle théorème somme des angles d'un triangle a été prouvé plus tôt.

Considérant également les propriétés des angles du triangle, il ya aussi ces déclarations importantes:

au sein d'une hauteur de triangle équilatéral qui a été réduit à la base, est également à la médiane, bissectrice de l'angle qui est entre des parties égales, ainsi que l'axe de symétrie de sa fondation;
médian (hauteur de la bissectrice), qui sont détenus aux côtés d'une figure géométrique sont égaux.

triangle équilatéral

Il est aussi appelé le droit, est le triangle, qui sont égaux à toutes les parties.Et donc aussi des angles égaux.Chacun d'eux est de 60 degrés.Nous prouvons cette propriété.

Supposons que nous avons un triangle KMN.Nous savons que KM = NM = CL.Cela signifie que selon les coins de la propriété, située à la base dans un triangle équilatéral, ∟K = = ∟M ∟N.Parce que, selon la somme des angles d'un triangle théorème de ∟K ∟M ∟N + + = 180 °, le 3 ∟K x = 180 ° ou ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °.Ainsi, la déclaration de dokazano.Kak en vue de dessus sur la base de la preuve du théorème, la somme des angles d'un triangle équilatéral comme la somme des angles de tout autre triangle est de 180 degrés.Prouvant une fois de ce théorème est pas nécessaire.

Il ya encore quelques propriétés caractéristiques d'un triangle équilatéral:

médiane, bissectrice, la hauteur d'une telle figure géométrique sont les mêmes, et leur longueur est calculée comme (a × √3): 2;
si décrire un polygone autour de ce cercle, puis son rayon est égal à (a x √3): 3;
si un triangle équilatéral inscrit dans un cercle, alors le rayon sera (et x √3): 6;Zone
de cette figure géométrique est calculé comme suit: (a2 x √3): 4.

triangle obtus

Par définition, triangle obtus, l'un de ses coins est comprise entre 90 à 180 degrés.Toutefois, étant donné que l'angle des deux autres formes géométriques sont tranchants, il peut être conclu qu'ils ne dépassent pas 90 degrés.Par conséquent, le théorème de la somme des angles d'un triangle de travail dans le calcul de la somme des angles dans un triangle obtus.Donc, nous pouvons dire en toute sécurité, sur la base du théorème ci-dessus que la somme des angles du triangle obtus est de 180 degrés.Encore une fois, ce théorème n'a pas besoin de ré-épreuve.