La somma degli angoli di un triangolo.

triangolo è un poligono con tre lati (i tre angoli).Il lato più comune rappresentano piccole lettere, la lettera maiuscola corrispondente che designa i vertici opposti.In questo articolo diamo uno sguardo a questi tipi di forme geometriche, il teorema che determina pari alla somma degli angoli di un triangolo.Tipi

grandi angoli

seguenti tipi di poligono con tre vertici:

ad angolo acuto in cui tutti gli angoli acuti;
rettangolare avente un angolo retto con il lato della sua immagine, detti piedini, e la parte che si trova opposto all'angolo retto è chiamato l'ipotenusa;
ottusa quando un angolo è ottuso;Isoscele
, che le due parti uguali, e si chiamano laterali, e il terzo - la base del triangolo;
equilatero con tre lati uguali.

Proprietà

Ci sono proprietà di base che sono caratteristici di ogni tipo di triangolo:

di fronte al lato più grande ha sempre un grande angolo, e viceversa;
lati opposti di uguale grandezza sono angoli uguali, e viceversa;
alcun triangolo ha due angoli acuti;

angolo esterno è maggiore di qualsiasi angolo interno non è legato a lui;
somma di due qualsiasi angolo è sempre minore di 180 gradi;
angolo esterno è uguale alla somma degli altri due angoli che non lo sono mezhuyut.

teorema sulla somma degli angoli di un triangolo

teorema afferma che se si sommano tutti gli angoli della figura geometrica, che si trova nel piano euclideo, la loro somma sarà di 180 gradi.Proviamo a dimostrare questo teorema.

Diamo abbiamo un triangolo arbitrario con i vertici KMN.Attraverso top M tracciare una linea parallela alla linea KN (anche questa linea è chiamata linea di Euclide).Va notato punto A in modo tale che il punto K e A erano situate su lati diversi MN dritto.Abbiamo ottenere lo stesso angolo e AMS MUF, che, come la menzogna interna trasversalmente per formare intersecano MN in cooperazione con linee CN e MA che sono parallele.Da ciò consegue che la somma degli angoli di un triangolo situato ai vertici di M e N è uguale alla dimensione dell'angolo della CMA.Tutti i tre angoli costituiti da una somma pari alla somma degli angoli CMA e MCS.Poiché questi angoli sono interno rispetto alle linee parallele unilaterali CN e MA in KM taglio, la loro somma è di 180 gradi.QED.

indagine

Da sopra questo teorema implica il seguente corollario: ogni triangolo ha due angoli acuti.Per dimostrare questo, dobbiamo supporre che questa figura geometrica ha un solo angolo acuto.Inoltre, si può presumere che nessun angolo non è acuto.In questo caso, deve essere almeno due angoli, la cui entità è pari o superiore a 90 gradi.Ma allora la somma degli angoli è maggiore di 180 gradi.E questo non può essere, in quanto per il Teorema somma degli angoli di un triangolo è 180 ° - non più e non meno.Questo è quello che doveva essere provato.

proprietà angoli esterni

Qual è la somma degli angoli di un triangolo, che sono esterni?La risposta a questa domanda può essere ottenuto utilizzando uno dei due metodi.Il primo è la necessità di trovare la somma degli angoli, che sono presi uno ad ogni vertice, cioè tre angoli.La seconda implica che è necessario trovare la somma dei sei angoli ai vertici.Per iniziare con l'affare ha lasciati con il primo.Quindi, il triangolo ha sei angoli esterni - a ciascun vertice dei due.Ogni coppia ha angoli uguali tra loro, perché essi sono verticali:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Inoltre, è noto che l'angolo esterno del triangolo è uguale alla somma dei due interna, non sono mezhuyutsya con esso.Pertanto,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Si scopre che la somma degli angoli esterni sono prese una per una nella parte superiore di ciascuno, sarà pari a:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A ∟S + + + + + ∟A ∟V ∟V ∟S= 2 x (+ ∟A ∟V + ∟S).

Dato il fatto che la somma degli angoli è uguale a 180 gradi, si può sostenere che i ∟A + ∟V ∟S = + 180 °.Questo significa che ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °.Se si utilizza la seconda opzione, allora la somma dei sei angoli sarà corrispondentemente maggiore raddoppiato.Questa è la somma degli angoli esterni di un triangolo sarà:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

triangolo rettangolo

Qual è uguale alla somma degli angoli di un triangolo rettangolo è l'isola?La risposta, ancora una volta, dal Teorema, in cui si afferma che gli angoli di un triangolo aggiungere fino a 180 gradi.E i nostri suoni affermazione (di proprietà) come segue: nel triangolo rettangolo angoli acuti aggiungere fino a 90 gradi.Dimostriamo la sua veridicità.Ci sia dato un triangolo KMN, che ∟N = 90 °.Dobbiamo dimostrare che ∟K ∟M + = 90 °.

Così, secondo il teorema sulla somma degli angoli ∟K + ∟M ∟N = + 180 °.In questa condizione si dice che ∟N = 90 °.Si scopre ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °.Cioè ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °.Questo è ciò che dovremmo avere da dimostrare.

Oltre alle proprietà di cui sopra di un triangolo rettangolo, è possibile aggiungere questi:

angoli che si trovano contro le gambe sono taglienti;
hypotenuse triangolare è maggiore di qualsiasi delle gambe;
le gambe più rispetto alla somma dell'ipotenusa;
cateto del triangolo, che si trova di fronte l'angolo di 30 gradi, un mezzo di ipotenusa, cioè è uguale a metà.

Come un'altra proprietà della forma geometrica può essere identificato teorema di Pitagora.Si ritiene che in un triangolo con un angolo di 90 gradi (rettangolare) è uguale alla somma dei quadrati delle gambe al quadrato dell'ipotenusa.

somma degli angoli interni di un triangolo isoscele

precedenza abbiamo detto che un triangolo isoscele è chiamato un poligono con tre vertici che contengono due lati uguali.Questa struttura è nota figura geometrica: gli angoli alla sua base uguali.Proviamo questo.

Prendere triangolo KMN, che è isoscele, SC - la sua base.Siamo tenuti a dimostrare che ∟K = ∟N.Così, supponiamo che MA - bisettrice è il nostro triangolo KMN.Triangolo MCA con il primo segno di un triangolo è uguale MNA.Vale a dire la condizione dato che CM = HM, MA è una faccia comune, ∟1 = ∟2, perché l'intelligenza artificiale - una bisettrice.Utilizzando l'uguaglianza dei due triangoli, si potrebbe sostenere che ∟K = ∟N.Quindi, il teorema è dimostrato.

Ma siamo interessati, qual è la somma degli angoli di un triangolo (isoscele).Poiché in questo senso non ha le sue caratteristiche, si partirà dal teorema discusso sopra.Cioè, si può dire che ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, o 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (come ∟K = ∟N).Questa proprietà non si rivelerà come lei teorema somma degli angoli interni di un triangolo è stato dimostrato in precedenza.

Considerando anche le proprietà degli angoli del triangolo, ci sono anche tali dichiarazioni importanti:

all'interno un'altezza triangolo equilatero, che è stato abbassato alla base, è anche la mediana, bisettrice dell'angolo che si trova tra le parti uguali, nonché l'asse di simmetria di fondazione;
mediana (altezza bisettrice), che si svolgono ai lati di una figura geometrica sono uguali.

triangolo equilatero

E 'chiamata anche la destra, è il triangolo, che sono uguali a tutte le parti.E quindi anche angoli uguali.Ciascuno di essi è di 60 gradi.Dimostriamo questa proprietà.

Supponiamo che abbiamo un triangolo KMN.Sappiamo che KM = NM = CL.Questo significa che, in base agli angoli di proprietà, che si trova alla base di un triangolo equilatero, ∟K = = ∟M ∟N.Poiché in base alla somma degli angoli di un teorema triangolo ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, il 3 x ∟K = 180 ° o ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °.Così, il dokazano.Kak dichiarazione visto dall'alto sulla base della prova del teorema, la somma degli angoli di un triangolo equilatero come somma degli angoli di qualsiasi altro triangolo è 180 gradi.Ancora una volta dimostrando questo teorema non è necessario.

Ci sono ancora alcune proprietà caratteristiche di un triangolo equilatero:

mediana, bisettrice, altezza in una figura geometrica sono gli stessi, e la loro lunghezza è calcolato come (a × √3): 2;
se descrivere un poligono intorno a questo cerchio, poi il suo raggio è uguale a (una x √3): 3;
se un triangolo equilatero inscritto in un cerchio, allora il raggio sarà (e x √3): 6;
area di questa figura geometrica è calcolato come segue: (a2 x √3): 4.

triangolo ottuso

Per definizione, triangolo ottusi rettangolo, uno dei suoi angoli è tra 90 a 180 gradi.Tuttavia, dato che l'angolo delle altre due forme geometriche sono taglienti, si può concludere che non superino 90 gradi.Di conseguenza, il teorema sulla somma degli angoli di un triangolo di lavoro nel calcolo della somma degli angoli in un triangolo ottuso.Quindi, possiamo tranquillamente dire, in base al teorema di cui sopra che la somma degli angoli del triangolo ottuso è di 180 gradi.Ancora una volta, questo teorema non ha bisogno di ri-proof.