eenvoudige iteratiemethode, ook wel de methode van opeenvolgende benaderingen - een wiskundig algoritme voor het vinden van de waarden van de onbekende grootheden door een geleidelijke verduidelijken.De essentie van deze werkwijze is dat, zoals de naam impliceert, geleidelijk expressie een eerste benadering van de volgende gebeurtenissen, steeds verfijnder resultaten.Deze methode wordt gebruikt om de waarde van een variabele te vinden in een bepaalde functie, en het oplossen van stelsels, zowel lineaire als niet-lineaire.
Bedenk hoe deze methode het oplossen van lineaire systemen wordt toegepast.Wijze van eenvoudige iteratie algoritme is als volgt:
1. Controleer de toestand van de convergentie in de originele matrix.De stelling van convergentie als de eerste matrixsysteem een diagonale dominantie (dwz elke rij van de hoofddiagonaal elementen moet groter in omvang dan de som van diagonale elementen van de kant van de module), de wijze van eenvoudige iteratie - convergent.
2. De matrix van het oorspronkelijke systeem is niet altijd de diagonale dominantie.In dat geval kan het systeem converteren.De vergelijkingen die de convergentie voorwaarde te voldoen is intact gelaten, maar met onbevredigend maken lineaire combinaties, dwzvermenigvuldigen, aftrekken, optellen de vergelijkingen samen om het gewenste resultaat.
Als het resulterende systeem in de belangrijkste diagonale coëfficiënten zijn ongemakkelijk, dan naar beide kanten van deze vergelijking wordt toegevoegd wat betreft de vorm ci * xi, tekens die moet samenvallen met de tekens van de diagonale elementen.
3. Zet het resulterende systeem versie:
x- = β- + α * x-
Dit kan gedaan worden op vele manieren, bijvoorbeeld: van de eerste vergelijking Express x1 via andere onbekend van vtorogo- x2 vantretego- x3 etc.Tegelijkertijd gebruiken we de formule:
αij = - (aij / AII)
i = bi / AII
opnieuw moeten ervoor zorgen dat het systeem van de normale soort komt overeen met de convergentie voorwaarde:
Σ (j = 1) | αij | ≤ 1,terwijl i = 1,2, ... n
4. Start te gebruiken, namelijk de methode van opeenvolgende benaderingen.
x (0) - aanvankelijke aanpassing, drukken we door x (1), gevolgd door een x (1) uitdrukkelijk x (2).De algemene formule van een matrix vorm ziet er als volgt uit:
x (n) = β- + α * x (n-1)
berekenen totdat we de gewenste nauwkeurigheid te bereiken:
max | xi (k) -xi (k + 1) ≤ ε
Dus, laten we eens kijken naar de praktijk van de methode van eenvoudige herhaling.Voorbeeld:
lossen lineaire systemen:
4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 met een nauwkeurigheid ε = 10-3
Laten we eens kijken, of gedomineerd door de diagonale elementen van de module.
We zien dat het voldoet aan de convergentie voorwaarde slechts de derde vergelijking.De eerste en de tweede om te zetten in de eerste vergelijking voegen we de tweede:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
aftrekken van de eerste van de derde:
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
We veranderde de oorspronkelijkesysteem equivalent:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
geef nu het systeem normale vorm:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Controleer de convergentie van de iteratie proces:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, dat wil zeggen,de voorwaarde wordt voldaan.
0,3947
eerste benadering x (0) = 0,4762
0,8511
Vervang deze waarden in de vergelijking van de normale vorm, krijgen we de volgende waarden:
0,08835
x (1) = 0,486793
0, 446.639
vervangen nieuwe waarden, krijgen we:
0,215243
x (2) = 0,405396
0,558336
blijven berekenen tot het moment nog niet gekomen is dicht bij de waarden die voldoen aan bepaalde voorwaarden.
0,18813
x (7) = 0,441091
0,544319
0,188002
x (8) = 0,44164
0,544428
controleren de juistheid van de resultaten:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0544 = 3,9977
resultaten verkregen door het vervangen van de gevonden waarden in de oorspronkelijke vergelijking, volledig voldoen aan de vergelijking.
Zoals we kunnen zien, de methode van eenvoudige iteratie geeft een vrij nauwkeurige resultaten, maar voor de oplossing van deze vergelijking moesten we veel tijd door te brengen en te doen omslachtige berekeningen.
