studerte avansert matematikk bør være kjent at summen av en kraft serie i intervallet konvergens av flere av oss, er en kontinuerlig og ubegrenset antall ganger differensierte funksjon.Spørsmålet melder seg: er det mulig å argumentere for at gitt en vilkårlig funksjon f (x) - er summen av en potensrekke?Det vil si, under hvilke forhold den f-Ia f (x) kan representeres ved en potensrekke?Betydningen av dette problemet er at det er mulig å erstatte ca Q-uw f (x) er summen av de første få form av en makt-serien, er at polynomet.En slik erstatning funksjon er ganske enkelt uttrykk - polynom -. Er praktisk og løse visse problemer i matematisk analyse, nemlig i å løse integraler i beregningen av differensialligninger, og så videre D.
vist seg at for noen f-ii f (x)som kan beregne de deriverte av de (n + 1) th orden, inkludert den siste, i nærheten av (α - R; x0 + R) av et punkt x = α er en rettferdig formel:
Denne formelen er oppkalt etter den berømte vitenskaps Brooke Taylor.Serien, som er avledet fra den forrige, som kalles en Maclaurinrekker:
regel som gjør det mulig å produsere en Maclaurin rekkeutvikling:
- Bestem derivater av den første, andre, tredje ... orden.
- beregnet, som er derivater i x = 0.
- Record Maclaurinrekker for denne funksjonen, og deretter å bestemme intervallet av konvergens.
- bestemme intervallet (R, R), hvor resten av Maclaurin formel
Rn (x) - & gt;0 for n - & gt;uendelig.Hvis den finnes, må den funksjonen f (x) være lik summen av Maclaurinrekker.
Tenk nå Maclaurin serien for de enkelte funksjonene.
1. Således er den første f (x) = ex.Selvfølgelig, etter deres egenskaper, for eksempel f-Ia har derivater av en rekke ordrer, og f (k) (x) = ex, hvor k er lik for alle de naturlige tall.Erstatte x = 0.Vi får f (k) (0) = E0 = 1, k = 1,2 ... Basert på ovennevnte, en rekke ex vil være som følger:
2. Maclaurinrekker for funksjonen f (x) = sin x.Umiddelbart angi at f-Ia for alle ukjente vil ha derivater foruten f '(x) = cos x = sin (x + n / 2), f' '(x) = -sin x = sin (x+ 2 * n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), hvor k er lik en hvilken som helst positivt heltall.Det er, ved å utføre enkle beregninger, kan vi konkludere med at serien for f (x) = sin x er av denne typen:
3. Nå la oss vurdere Teologisk Fakultet for f (x) = cos x.Det er for alle de ukjente er derivater av vilkårlig rekkefølge, og | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) | & lt; = 1, k = 1,2 ... enda en gang å produserevisse beregninger, finner vi at serien for f (x) = cos x ville se slik ut:
Så har vi listet opp de viktigste funksjonene som kan utvides i en Maclaurin serien, men de utfyller Taylor serien for enkelte funksjoner.Nå vil vi liste dem også.Det bør også bemerkes at Taylor og Maclaurinrekker er en viktig del av verkstedet serie i oppløsninger med høyere matematikk.Så, Taylor-serien.
1. Den første er den serie for f-ii f (x) = ln (1 + x).Som i de tidligere eksempler, for dette har vi f (x) = ln (1 + x) kan brettes i en rad, med den generelle formen av Maclaurinrekker.Imidlertid kan denne funksjonen Maclaurin oppnås mye lettere.Integrering av en geometrisk rekke, får vi serien for f (x) = ln (1 + i) av prøven:
2. Og den andre, noe som vil være endelig i denne artikkelen, er serien for f (x) = arctg tallet.For x tilhører intervallet [-1, 1] er utvidelsen av messen:
Det er alt.I denne artikkelen ble vi ansett som den mest brukte Maclaurin og Taylor-serien i høyere matematikk, særlig på det økonomiske og tekniske høyskoler.
