-Line - é um caso especial de um quadrilátero que tem um par de lados paralelos é.O termo "Keystone" é derivado da palavra τράπεζα grego, significando "mesa", "mesa".Neste artigo, vamos considerar os tipos de trapézio e suas propriedades.Além disso, nós olhamos como para calcular os elementos individuais da figura geométrica.Por exemplo, a diagonal de um trapézio equilátero, a linha do meio, a área, e outros. O material é apresentado no estilo da geometria elementar popular, t. E. Em uma forma facilmente acessível.
Geral
Primeiro, vamos entender o que o quadrilátero.Esta figura é um caso especial de um polígono tendo quatro lados e quatro vértices.Dois vértices do quadrilátero que não são adjacentes são chamados oposto.O mesmo pode ser dito dos dois lados não adjacentes.Os principais tipos de pátios - um paralelogramo, retângulo, diamante, quadrado, trapézio e deltóide.
Então, de volta para o trapézio.Como já dissemos, este número os dois lados são paralelos.Eles são chamados bases.Os outros dois (não-paralelas) - lados.Os materiais dos vários exames e exames muitas vezes você pode encontrar as tarefas associadas com trapézios cuja solução muitas vezes requer o conhecimento do aluno, não é fornecido pelo programa.O curso de geometria escola apresenta aos alunos as propriedades de ângulos e diagonais e linha média de um trapézio isósceles.Mas diferente do que se referia a uma figura geométrica tem outras características.Mas sobre eles mais tarde ... Tipos
trapézio
Há muitos tipos de este valor.No entanto, a maioria concordou em considerar dois deles - isósceles e retangular.
1. trapézio rectangular - uma figura na qual um dos lados perpendiculares à base.Ela tem dois ângulos são sempre noventa graus.
2. trapézio isósceles - uma figura geométrica cujos lados são iguais.E isso significa, e os ângulos nas pares de bases como iguais.Principais princípios
de métodos para estudar as propriedades de um trapézio
para os princípios básicos incluem o uso da chamada abordagem tarefa.Na verdade, não há necessidade de entrar em um curso de geometria teórica de novas propriedades desta figura.Eles podem ser abertos ou em processo de formulação das várias tarefas (melhor sistema).É muito importante que o professor sabe quais as tarefas que você precisa colocar na frente dos alunos em um determinado momento do processo educativo.Além disso, cada trapézio propriedade pode ser representada como uma tarefa fundamental na tarefa.
O segundo princípio é o chamado organização espiral do estudo "notável" propriedade trapézio.Isto implica um retorno ao processo de aprendizagem para as características individuais da figura geométrica.Assim, é mais fácil para os alunos a memorizá-las.Por exemplo, quatro pontos característicos.Pode ser provado como no estudo de semelhança, e subsequentemente utilizando os vectores.E de igual triângulos adjacentes aos lados da figura, é possível provar, que utiliza não só as propriedades de triângulos com alturas iguais, levadas a cabo para os lados, que se encontram sobre uma linha recta, mas também pela fórmula S = 1/2 (ab * sinα).Além disso, é possível trabalhar fora da lei dos senos inscritos no trapézio ou um triângulo retângulo descrito no trapézio, e assim por diante D.
uso de "extracurricular" características uma figura geométrica no conteúdo do curso escolar -. Tasking é a tecnologia de seu ensino.Referência constante para estudar as propriedades da passagem do outro permite aos alunos aprender o trapézio mais profunda e fornece a solução das tarefas.Assim, procede-se ao estudo desta figura notável.Elementos
e propriedades de um trapézio isósceles
Como já observamos, nesta figura geométrica os lados são iguais.No entanto, ele é conhecido como um trapézio direito.E o que ela é tão notável e por isso tem o seu nome?As características especiais desta figura relata que ela não só os lados e ângulos iguais com as bases, mas também na diagonal.Além disso, os ângulos de um trapézio isósceles é igual a 360 graus.Mas isso não é tudo!De todos os trapézios isósceles única em torno de um círculo pode ser descrito.Isto é devido ao facto de que a soma dos ângulos opostos na figura é de 180 graus, mas apenas quando esta condição pode ser descrito por um círculo em torno do quadrilátero.As seguintes propriedades de figuras geométricas considera-se que a distância a partir do topo oposto da base para a projecção do vértice sobre uma linha recta que contém esta base será igual à linha média.
Agora vamos olhar para a forma de encontrar os cantos de um trapézio isósceles.Consideremos o caso de soluções para este problema, desde que as dimensões conhecidas dos lados da figura.Decisão
geralmente rectângulo é denotado pelas letras A, B, C, D, onde aC e dC - uma base.Os lados trapézio isósceles são iguais.Assumimos que X é igual ao seu tamanho, e o tamanho da base é Y, e Z (menor e maior, respectivamente).Para realizar o cálculo do ângulo necessário para segurar na altura H. O resultado é um triângulo retângulo ABN, onde AB - a hipotenusa, eo BN e AN - pernas são.Calculou-se o tamanho da UM perna: com uma base leva menos e o resultado é dividido por 2. Nós escrever como uma fórmula: (ZY) / 2 = F. Agora, para o cálculo do ângulo do triângulo usamos função cos.Ficamos com a seguinte entrada: cos (β) = X / F.Agora vamos calcular o ângulo: β = arcos (X / F).Além disso, sabendo que um canto, podemos determinar o segundo, porque é operação aritmética elementar: 180 - β.Todos os ângulos são definidos.
Há uma segunda solução para este problema.No início eu omito de canto para calcular o valor da altura H. perna BN.Sabe-se que o quadrado da hipotenusa de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.Ficamos com: BN = √ (F2 X2).Em seguida, usamos a função tg trigonométricas.O resultado é: β = arctg (BN / F).Ângulo agudo encontrado.A seguir, define-se um ângulo obtuso semelhante para o primeiro método.
diagonais de propriedade de um trapézio isósceles
escrever os primeiros quatro regras.Se a diagonal em um trapézio isósceles perpendicular, então:
- a altura da figura representa a soma das bases, divididos por dois;
- sua altura ea linha média são iguais;
- área de um trapézio é igual ao quadrado da altura (a linha do meio, a metade da soma das bases);
- quadrado diagonal é metade da soma do quadrado de bases ou duas vezes o quadrado da linha média (altura).
Agora considere a fórmula que determina a diagonal de um trapézio equilátero.Essa informação pode ser dividido em quatro partes:
comprimento 1. Fórmula diagonalmente através dela.
aceito que A - base inferior, B - C superior - lados iguais, D - diagonal.Neste caso, o comprimento pode ser determinada como se segue: D =
√ (C 2 + A * B).
2. Fórmula para o comprimento da diagonal da lei dos cossenos.
aceite que A - base inferior, B - C superior - lados iguais, D - diagonal, α (na base inferior) e β (a base superior) - os cantos de um trapézio.Ficamos com a seguinte fórmula, com o qual você pode calcular o comprimento da diagonal:
- D = √ (A2 + S2-2A * * No cosα);
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).
3. Fórmula comprimentos das diagonais de um trapézio isósceles.
aceito que A - base inferior, B - superior, D - diagonal, M - linha média, H - altura, P - a área de um trapézio, α e β - o ângulo entre as diagonais.Determinar o comprimento das seguintes fórmulas:
- D = √ (M2 + H2);
- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);
- D = √ (H (A + B) / sinα) √ = (2n / sinα) = √ (2M + H / sinα).
Adhoc igualdade: sinα = sinβ.
4. Fórmula diagonalmente em todo o comprimento e altura da parte.
aceito que A - base inferior, B - C superior - os lados, D - diagonal, H - altura, α - ângulo da base inferior.
Determinar o comprimento das seguintes fórmulas:
- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);
- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);
- D = √ (A2 + * S2-2A √ (C 2 H 2)).Elementos
e propriedades de trapézio rectangular
Vamos ver o que é isso formas geométricas interessantes.Como já dissemos, nós temos um trapézio rectangular dois ângulos retos.
Além da definição clássica, existem outros.Por exemplo, um trapézio rectangular - um trapézio, um lado da qual é perpendicular aos substratos.Ou formas tendo nos ângulos laterais.Neste tipo de trapézios altura é o lado que é perpendicular à base.A linha do meio - um segmento que liga os pontos médios dos dois lados.A propriedade do referido elemento é que é paralela às bases, e é igual a metade da sua soma.
Agora vamos considerar as fórmulas básicas que definem as formas geométricas.Para fazer isso, assumimos que o A e B - base;C (perpendicular à base) e D - a parte do trapézio rectangular, H - linha média, α - um ângulo agudo, P - quadrado.
1. O lado, perpendicular à base, um valor igual à altura (C = N), e é igual ao comprimento do segundo lado A e o seno do α ângulo a uma base maior (C = A * sinα).Além disso, é igual ao produto da tangente das α ângulo agudo e a diferença de bases: C = (A-B) * tgα.
2. O lado do D (não perpendicular à base) igual ao quociente entre a diferença de A e B e o co-seno (α) um ângulo agudo ou uma figura altura privada H e seio ângulo agudo: A = (A-B) / cos α = C / sinα.
3. O lado que é perpendicular à base igual à raiz quadrada da diferença entre o quadrado D - segundo lado - e o quadrado da diferença entre as bases:
C = √ (q2 (AB 2)).
Parte 4. Um trapézio rectangular é igual à raiz quadrada da soma do quadrado de lado C, e a diferença entre as bases quadradas de formas geométricas: D = √ (C2 + (A-B) 2).
5. O lado do C é igual ao quociente entre a soma de duas vezes a área da sua fundamentação: C = P / H = 2n / (A + B).
6. área que define o produto M (linha do meio de um trapézio rectangular) para a altura ou a lado, perpendiculares à base: P = M * N = M * C.
7. Parte C é igual ao quociente de duas vezes a área da figura na obra do ângulo agudo do seio ea soma de suas bases: C = P / M * sinα = 2n / ((A + B) * sinα).
lado 8. Fórmula do trapézio rectangular em toda a sua diagonal eo ângulo entre eles:
- sinα = sinβ;
- C = (D1 D2 * / (A + B)) * sinα = (D1 D2 * / (A + B)) * sinβ,
onde D1 e D2 - trapezoidal diagonal;α e β - o ângulo entre eles.
lado 9. Fórmula através de um canto na base inferior e as outras partes: D = (A-B) / cosα = C / sinα = N / sinα.
Desde trapezoidal com um ângulo reto é um caso especial do trapézio, as outras fórmulas que determinam esses números vai se reunir e retangular.Propriedades
inscrito círculo
Se a condição é dito que em um círculo trapézio rectangular inscrito, você pode usar as seguintes propriedades:
- o montante é a soma dos lados bases;
- a distância a partir do topo de uma forma rectangular para os pontos de contacto do círculo inscrito é sempre igual;
- igual à altura do lado do trapézio, perpendicular à base, e é igual ao diâmetro do círculo;
- centro do círculo é o ponto em que se cruzam bisectors dos ângulos;
- se o lado é dividida em segmentos de o ponto de contacto H e M, em seguida, o raio do círculo que é igual à raiz quadrada do produto destes segmentos;
- quadrangular, que se formou os pontos de contacto, o vértice do trapézio e o centro do círculo inscrito - um quadrado cujo lado é igual ao raio;
- área da figura é igual ao produto do regime de meia-sum e razões para a sua altura.
trapézio Similares
Este tópico é muito útil para estudar as propriedades de figuras geométricas.Por exemplo, na diagonal trapézio dividido em quatro triângulos, e adjacente às bases são semelhantes, e para os lados - por igual.Esta afirmação pode ser chamado de uma propriedade de triângulos, que são trapézio quebrado suas diagonais.A primeira parte desta afirmação é comprovada pela indicação de semelhança nos dois cantos.Para provar que a segunda parte é melhor usar o método abaixo.
A prova
aceito que a figura ABSD (AD e BC - a base do trapézio) é diagonais quebrados HP e AC.O ponto de intersecção - O. Recebemos quatro triângulos: AOC - na base inferior, BOS - na base superior, ABO e SOD nas laterais.Triângulos SOD e biofeedback têm uma altura comum, nesse caso, se os segmentos e CD OD são as suas bases.Nós achamos que a diferença em suas áreas (P) é igual à diferença entre estes segmentos: PBO / PSOD = BO / ML = K. Daí PSOD PBO = / K.Da mesma forma, o MAA triângulos e biofeedback têm uma altura comum.Nós aceitamos os seus segmentos de base SB e OA.Ficamos com a PBO / PAOB = CO / OA = K e PAOB PBO = / K.Daqui resulta que PSOD = PAOB.
Para consolidar o material é recomendado para os alunos a encontrar uma ligação entre as áreas de triângulos obtidos, que é trapézio quebrado suas diagonais, decidindo a próxima tarefa.Sabe-se que as áreas de triângulos BOS e ADP são iguais, você deve encontrar a área de um trapézio.Desde PSOD = PAOB, então PABSD PBO + = DAOP + 2 * PSOD.A partir da semelhança de triângulos BOS e ADP mostra que BO / OD = √ (PBO / DAOP).Consequentemente, PBO / PSOD = BO / OD = √ (PBO / DAOP).Ficamos com a PSOD = √ (* PBO DAOP).Então PABSD PBO + = DAOP + 2 * √ (DAOP PBO *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.Propriedades
semelhança
Continuando a desenvolver este tema, você pode provar as outras características interessantes dos trapézios.Assim, utilizando a semelhança pode provar secção propriedade que passa através do ponto formado pela intersecção das diagonais da presente figura geométrica, paralela à base.Para fazer isso vai resolver o seguinte problema: você precisa encontrar o comprimento do segmento da RK, que passa através do ponto O. A partir da semelhança de triângulos ADP e biofeedback que segue AO / OS = BP / BS.A partir da semelhança de triângulos ADP e ASB resulta que AB / AC = PO / BS = AD / (BS + PA).Isto implica que PO = BS * BP / (BS + PA).Da mesma forma, a partir da semelhança de triângulos MLC e DBS resulta que OK = BS * BP / (BS + PA).Isto implica que PO = OK e RK = 2 * BS * BP / (BS + PA).O segmento que passa pelo ponto de intersecção das diagonais, paralela à base e que liga os dois lados do ponto de intersecção de dois dividido.Seu comprimento - é a média harmônica das bases da figura.
Considere o seguinte trapezoidal qualidade, o qual é chamado a propriedade dos quatro pontos.Os pontos de intersecção das diagonais (D), as intersecções continuar lados (E) e o meio de base (T e G) se encontram sempre na mesma linha.Isso é facilmente comprovado por similaridade.Estes triângulos BES e AED são semelhantes, e em cada um deles, e a mediana ET HEDGEHOG dividir o ângulo do ápice de E em partes iguais.Por conseguinte, o ponto E, T e F são colineares.Do mesmo modo, na mesma linha são dispostas em termos de T, O, e G. Isto resulta da semelhança de triângulos BOS e ADP.Assim, podemos concluir que todos os quatro pontos - E, T, S e F - vai mentir sobre uma linha reta.
Usando trapézios semelhantes, podem ser oferecidos aos estudantes para encontrar o comprimento do segmento (LF), que se divide em dois figura similar.Este segmento deve ser paralelo às bases.Desde trapézio obtido ALFD e LBSF semelhante, a BS / LF = LF / AD.Isto implica que o LF = √ (BS * BP).Descobrimos que o segmento de quebrar como um trapézio em duas, tem um comprimento igual ao comprimento da média geométrica do valor de base.
Considere a seguinte propriedade de similaridade.Baseia-se no segmento, que divide o trapézio em duas partes de igual tamanho.Aceitamos esse segmento Keystone ABSD é dividido em dois como PT.A partir do topo da B reduzido a altura de segmento que é dividida em duas partes PT - B1 e B2.Obtemos PABSD / 2 = (BS EN +) * B1 / 2 = (AD + PT) * B2 / 2 = PABSD (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Próximo compor o sistema, a primeira equação é (BS EN +) * B1 = (AD + PT) * B2 e a segunda (BS EN +) * = B1 + (BS BP) * (B1 + B2) / 2.Daqui resulta que B2 / B1 = (BS EH +) / (AD + EH) e BS EN + = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1).Nós descobrimos que o comprimento do segmento, dividindo o trapézio em dois tamanho igual, igual ao comprimento quadrático médio da base: √ ((BS2 + w2) / 2).Conclusões
semelhança
Assim, provámos que:
1. O segmento de linha que une, no meio dos lados do trapézio, em paralelo com AD e BC e é igual a AC média e AD (o comprimento da base do trapézio).
2. A linha que passa pelo ponto de intersecção das diagonais paralelas AD e BC será igual aos números da BP média harmônica e BS (2 * BS * BP / (BS + PA)).
3. Corte, quebrando no trapézio como, tem um comprimento de a média geométrica do BC bases e AD.
4. O elemento que divide a figura em dois tamanhos iguais, tem um comprimento da média de números de quadrados de AD e BC.
Para consolidar o material e compreensão das relações entre os segmentos do estudante é necessário para construí-los para um trapézio particular.O que isso significa?
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