Súčet uhlov trojuholníka.

Triangle je polygón má tri strany (tri uhly).Najčastejšie vedľajšie predstavujú malé písmená, zodpovedajúce veľké písmeno, ktoré označuje opačné vrcholy.V tomto článku sa pozrieme na tieto typy geometrických tvarov, vetu, ktorá určuje, ktorá sa rovná súčtu uhlov trojuholníka.Druhy

najväčšie uhly

nasledujúce typy polygónu s tromi vrcholmi:

• ostrouhlé v ktorej sú všetky ostré uhly;
• obdĺžnikový mať jednu pravý uhol so stranou jeho obrazu, sa nazývajú nohy, a strana, ktorá je umiestnená naproti pravého uhla, sa nazýva preponu;
• tupý, keď jeden uhol je tupý;
• rovnoramenný, ktoré sa obe strany rovnaké, a oni sa nazývajú postranné, a tretí - základňa trojuholníka;
• rovnostranný mať tri rovnaké strany.

Reality

Existujú základné vlastnosti, ktoré sú charakteristické pre každý typ trojuholníka:

• naproti väčšia strana má vždy veľký uhol, a naopak;
• opačnej strany rovnakej veľkosti sú rovnaké uhly, a naopak;
• mať akýkoľvek trojuholník má dva ostré uhly;
• vonkajšie uhol je väčší než akýkoľvek vnútorný uhol nesúvisí s ním;
• súčet ľubovoľných dvoch uhlov je vždy menší ako 180 °;
• exteriér uhol rovná súčtu ostatných dvoch rohov, ktoré sa ho mezhuyut.

veta o súčte uhlov trojuholníka

teorém hovorí, že ak spočítate všetky rohy geometrického útvaru, ktorý sa nachádza v Euclidean lietadle, bude ich súčet bude o 180 stupňov.Skúsme dokázať túto vetu.

Či máme ľubovoľný trojuholník s vertices KMN.Cez vrchol m nakresliť čiaru paralelne k linke KN (aj táto linka sa nazýva línia Euclid).Je potrebné poznamenať, bod A takým spôsobom, že bod K a boli umiestnené na rôznych stranách rovné MN.Dostaneme rovnaký uhol a AMS Muf, ktorý, rovnako ako vnútorné lož priečne k vytvoreniu pretínajúca MN v spolupráci s KN, a RO liniek, ktoré sú rovnobežné.Z toho vyplýva, že súčet uhlov trojuholníka umiestneného vo vrcholoch M a N sa rovná veľkosti uhla CMA.Všetky tri uhly sa skladajú z čiastky rovnajúcej sa súčtu uhlov CMA a MCS.Pretože tieto uhly sú interné s ohľadom na jednostranné rovnobežiek CN a RO na rezanie KM, ich súčet je 180 stupňov.QED.

vyšetrovanie

Z výšky tejto vety vyplýva nasledovné Logickým vyústením: každý trojuholník má dva ostré uhly.Na dôkaz toho, dajte nám predpokladať, že tento geometrický obrazec má iba jeden ostrý uhol.Tiež je možné predpokladať, že žiadny uhol nie je akútne.V tomto prípade musí byť aspoň dva uhly, ktorého veľkosť je rovná alebo väčšia ako 90 stupňov.Ale potom je súčet uhlov je väčší ako 180 stupňov.A to nemôže byť, pretože podľa Veta súčtom uhlov trojuholníka je 180 ° - nie viac a nie menej.To je to, čo muselo byť preukázané.

majetku mimo rohy

Aká je súčet uhlov trojuholníka, ktoré sú externé?Odpoveď na túto otázku možno získať pomocou jednej z dvoch metód.Prvým z nich je potreba nájsť súčet uhlov, ktoré sú prijaté jedna v každom vrchole, to je, troch uhlov.Druhý znamená, že budete musieť nájsť súčet šiestich uhlov vo vrcholoch.Ak chcete začať s poďme vysporiadať sa s prvou.To znamená, že trojuholník má šesť vonkajšie uhly - v každom vrchole oboch.Každý pár má rovnaké uhle k sebe navzájom, pretože sú vertikálne:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Okrem toho je známe, že vonkajšie uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch vnútorných, nie sú mezhuyutsya s ním.Preto,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Ukazuje sa, že suma vonkajšie uhly sú prijímané jeden po druhom v hornej časti každého, sa bude rovnať:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A ∟S + + + + + ∟A ∟V ∟V ∟S= 2 x (+ ∟A ∟V + ∟S).

Vzhľadom na to, že súčet uhlov je 180 stupňov, to môže byť argumentoval, že ∟A + ∟V ∟S = + 180 °.To znamená, že ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °.Ak sa použije druhá možnosť, potom je súčet uhlov šiestimi bude zodpovedajúcim spôsobom väčší zdvojnásobil.To je súčet vonkajších uhlov trojuholníka bude:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

pravouhlý trojuholník

Čo sa rovná súčtu uhlov pravouhlého trojuholníka je ostrov?Odpoveď, opäť, z vety, v ktorom sa uvádza, že uhly trojuholníka pridať až 180 stupňov.A naše tvrdenia zvuky (vlastníctva) takto: v pravouhlom trojuholníku ostré uhly pridať až 90 stupňov.Sme preukázať jeho pravdivosť.Nech tam dostať trojuholník KMN, čo ∟N = 90 °.Musíme dokázať, že ∟K ∟M + = 90 °.

Tak, podľa vety o súčtu uhlov ∟K + ∟M ∟N = + 180 °.V tomto stave, v ktorom sa hovorí, že ∟N = 90 °.Ukazuje sa, ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °.To je ∟K ∟M + = 180 ° C - 90 ° = 90 °.To je to, čo by sme mali dokázať.

Okrem uvedených vlastností pravouhlého trojuholníka, môžete pridať tieto:

• uhly, ktoré ležia proti nôh sú ostré;
• trojuholníkové prepona je väčší než ktorýkoľvek z nôh;
• nohy viac než súčet prepona;
• odvesna trojuholníka, ktorý leží oproti rohových 30 stupňov, polovica prepona, to znamená, že sa rovná polovici.

Ako ďalšie vlastnosť geometrického tvaru možno identifikovať Pytagorova veta.Tvrdí, že v trojuholníku s uhlom 90 stupňov (pravouhlých) sa rovná súčtu štvorcov na nohách na štvorec prepony.

súčet uhlov rovnoramenného trojuholníka

Predtým sme si povedali, že rovnoramenného trojuholníka sa nazýva polygón s troma vrcholmi, ktoré obsahujú dva rovnaké strany.Táto vlastnosť je známe geometrický obrazec: uhly na jeho základni rovné.Dokážme to.

Vezmite trojuholník KMN, čo je rovnoramenný, SC - svoju základňu.Sme povinní preukázať, že ∟K = ∟N.Takže, predpokladajme, že MA - Os je náš trojuholník KMN.Trojuholník MCA s prvom náznaku trojuholníka sa rovná MNA.Najmä podmienka vzhľadom k tomu, CM = HM, MA je spoločná strana, ∟1 = ∟2, pretože AI - na deliacou čiaru.Použitie rovnosť dvoch trojuholníkov, jeden mohol argumentovať, že ∟K = ∟N.Preto, veta je preukázané.

Ale my zaujíma, aký je súčet uhlov trojuholníka (rovnoramenného).Pretože v tomto ohľade nemá na jeho vlastnosti, budeme vychádzať z vety vyššie.To znamená, že môžeme povedať, že ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, alebo 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (ako ∟K = ∟N).Táto vlastnosť sa nepreukáže, keď teorém súčet uhlov trojuholníka bolo preukázané skôr.

Tiež s ohľadom na vlastnosti v rohoch trojuholníka, sú tu tiež tak dôležité výroky:

• v rovnostrannom trojuholníku výške, ktorá bola spustená k podkladu, je tiež stredná, sečné uhlom, ktorý je medzi rovnocennými účastníkmi, ako aj osi súmernosti jej založenia;
• medián (výška sečné), ktoré sú držané na stranách geometrického útvaru sú rovnaké.

rovnostranný trojuholník

To je tiež nazývané právo, je trojuholník, ktoré sa rovnajú všetkým stranám.A teda aj rovnaké uhly.Každý z nich je 60 stupňov.Dokážeme túto vlastnosť.

Predpokladajme, že máme trojuholník KMN.Vieme, že KM = NM = CL.To znamená, že podľa majetkových rohov, ktorá sa nachádza na základni v rovnostranného trojuholníka, ∟K = = ∟M ∟N.Vzhľadom k tomu, v závislosti na súčte uhlov trojuholníka teorému ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, 3 x ∟K = 180 ° alebo ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °.To znamená, že vyhlásenie dokazano.Kak pohľade zhora na základe dôkazu vety, súčet uhlov rovnostranného trojuholníka ako súčet uhlov akéhokoľvek iného trojuholníka je 180 stupňov.Opäť preukázanie tejto vety nie je nutné.

Tam sú ešte niektoré vlastnosti charakteristické pre rovnostranného trojuholníka:

• mediánu, deliacou čiaru, výška v takej geometrického útvaru sú rovnaké, a ich dĺžka je vypočítaná ako (a × √3): 2;
• ak popisujú mnohouholník okolo tohto kruhu, potom jeho polomer je rovný (A x √3): 3;
• ak rovnostranný trojuholník vpísaný do kružnice, potom polomer bude (a x √3): 6;
• plocha tohto geometrického obrazca sa vypočíta nasledujúcim spôsobom: (a2 x √3): 4.

tupý trojuholník

Podľa definície, tupé pravouhlý trojuholník, jeden z jeho rohov je medzi 90 až 180 stupňov.Avšak vzhľadom na to, že uhol ďalších dvoch geometrických tvarov sú ostré, možno dospieť k záveru, že sa neprekročí 90 stupňov.V dôsledku toho je veta o súčtu uhlov trojuholníka práce v stanovuje ako súčet uhlov v tupom trojuholníka.Takže môžeme bezpečne povedať, založený na vyššie uvedenom teorému, že súčet uhlov tupoúhlého trojuholníka je 180 stupňov.Opäť platí, že táto veta nemusí znovu dôkaz.