Jednou zo základných vetiev matematickej analýzy je integrálny počet.To pokrýva široké pole objektov, kde prvý - je neurčitý integrál.Pozícia ju ako kľúč, je, že na strednej škole odhaľuje rastúci počet vyhliadok a príležitostí, ktorý popisuje vyššiu matematiku.
vzhľad
Na prvý pohľad sa zdá úplne neoddeliteľnou súčasťou modernej, aktuálne, ale v praxi sa ukáže, že sa vrátil v roku 1800 pred naším letopočtom.Homeland je oficiálne považovaný Egypt ako neprežili skoršie dôkazy o jeho existencii.Je to z dôvodu nedostatku informácií, a pritom umiestnený jednoducho ako fenomén.To opäť potvrdzuje úroveň vedeckého rozvoja národov tých časov.Nakoniec sa zistilo, spisy starovekých gréckych matematikov, datovať sa od 4. storočia pred naším letopočtom.Opisujú použitú metódu, kde je neurčitý integrál, ktorého podstatou bolo nájsť hlasitosť alebo oblasť zakriveného tvaru (trojrozmerný a dvojrozmerné rovine, v tomto poradí).Princíp výpočtu založeného na rozdelení pôvodných figurálnych nekonečne zložiek, ak objemu (oblasť) už známa.V priebehu doby, metóda rastie, Archimedes používal to, aby si oblasť paraboly.Podobné výpočty v rovnakom čase, a vykonávať cvičenia v starovekej Číne, kde boli úplne nezávislá z gréckeho kolegu vedy.
Development
ďalšie prielom v XI storočí pred naším letopočtom sa stal dielom arabského vedca "voz" Abu Ali al-Basra, ktorý tlačil hranice už známe, sú odvodené z integrálneho vzorca pre výpočet sumy čiastkach a stupňov od prvejZa štvrté, používať pre to poznáme spôsob matematické indukcie.
mysli dnes obdivujeme, ako starí Egypťania vytvorili úžasné pamiatky bez použitia špeciálnych nástrojov, s možnou výnimkou svojich rúk, ale nie moc mysli vedcov času nemenej zázrak?V porovnaní s dnešnej dobe života, zdá takmer primitívne, ale rozhodnutie o neurčitých integrálov vyvodiť všade a používané v praxi pre ďalší rozvoj.
Ďalším krokom došlo v XVI storočí, keď taliansky matematik priniesol Cavalieri metódu indivisibles, ktorý zdvihol Pierre de Fermat.Tieto dve osobnosti položil základ pre moderné integrálneho počtu, ktorý je známy v túto chvíľu.Oni zviazané pojmy diferenciácie a integrácie, ktoré boli predtým vnímané ako samosprávnych celkov.Skrátka a dobre, matematika tej doby bol rozbila, závery častíc existujú samy o sebe, s obmedzeným rozsahom.Spôsob združovania a hľadanie spoločného východiska bola pravdivá len v čase, vďaka nemu, moderné matematickej analýzy mali príležitosť rásť a rozvíjať sa.
S postupom času mení všetko, a zápis integrálu rovnako.Skrátka a dobre, vedci boli vymenovaní to v jeho vlastným spôsobom, napríklad, Newton použiť ikonu námestie, ktoré dal integrovateľnú funkciu, alebo jednoducho dať dohromady.Tento nepomer trvalo až do XVII storočia, kedy medzníkom pre celú teóriu matematická analýza vedec Gottfried Leibniz predstavil ako symbol poznáme.Podlhovastý "S" je vlastne založený na tomto písmeno v abecede, pretože predstavuje súčet primitív.Meno integrál bol kvôli Jacob Bernoulli, po 15 rokoch.
Formálna definícia neurčitý integrál závisí na definícii primitívneho, takže považujeme ju na prvom mieste.
Primitívne - to je inverzná funkcia derivátu, v praxi to je volané primitívne.Inými slovami: primitívne funkcie z d - je funkcia D, derivát sa rovná V & lt; = & gt;V '= v.Vyhľadávanie primitívne je, výpočet neurčitý integrál, a proces sa nazýva integrácie.
Príklad:
funkcie S (y) = y3, a jeho primitívne S (y) = (Y 4/4).
množina všetkých primitív o funkciu - to je neurčitý integrál, sa uvádza takto: ∫v (x) dx.
Vzhľadom k tomu, V (x) - Toto sú niektoré z pôvodnej primitívne funkcie, máme výraz: ∫v (x) dx = V (x) + C, kde C - konštantná.V rámci ľubovoľnej konštanty sa rozumie akákoľvek konštantná, pretože jeho derivát je nulová.
Vlastnosti
vlastnosti, ktoré majú neurčitý integrál, založené na definíciách a vlastnosti derivátov.
Zoberme kľúčové body:
- neoddeliteľnou derivát primitívneho je sám primitívne, plus ľubovoľná konštanta C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;
- derivát integrálu funkcie je pôvodná funkcia & lt; = & gt;(∫v (x) dx) "= v (x);
- konštanta je odstránený z integrálneho znamení & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, kde k - je ľubovoľná;
- integrálne, ktorá je prevzatá z súčtu identicky rovná súčtu integrálov & lt; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.
Posledné dve vlastnosti možno dospieť k záveru, že neurčitý integrál je lineárna.Vzhľadom k tomu, máme: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
Upevniť zvážiť príklady riešenia neurčité integrály.
nutné nájsť integrálne ∫ (3sinx + 4cosx) dx:
- ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C.
Z príkladu môžeme konštatovať, že neviete, ako sa vysporiadať s neurčitú integrálov?Len nájsť všetky primitív!Ale hľadanie princípov popísané nižšie.
metódy a príklady
S cieľom vyriešiť integrál, môžete sa uchýliť k nasledujúcich spôsobov:
- stôl pripravený na použitie;
- integráciu po častiach;
- integrované nahradením premenné;
- osada pod znamienku rozdielu.
tabuľky
najjednoduchší a príjemný spôsob.V súčasnej dobe je matematická analýza sa môže chváliť pomerne rozsiahle tabuľky, ktoré zdôraznilo základných vzorcov z neurčitých integrálov.Inými slovami, tam sú vzory získané na vás a vy môžete vziať len ich výhod.Tu je zoznam základných polôh stola, ktorý dokáže zobraziť takmer každej inštanciu, ktorá má riešenie:
- ∫0dy = C, kde C - konštantná;
- ∫dy = y + C, kde C - konštantná;
- ∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, kde C - konštantná, a n - je odlišný od počtu jednotiek;
- ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, kde C - konštanta;
- ∫eydy = ey + C, kde C - konštantná;
- ∫kydy = (ky / ln k) + C, kde C - konštanta;
- ∫cosydy = šíny + C, kde C - konštantná;
- ∫sinydy = -cosy + C, kde C - konštantná;
- ∫dy / cos2y = tgy + C, kde C - konštantná;
- ∫dy / sin2 = -ctgy + C, kde C - konštantná;
- ∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, kde C - konštanta;
- ∫chydy = plachý + C, kde C - konštantná;
- ∫shydy = Chy + C, kde C - konštantná.
Ak chcete, aby sa pár krokov vedú integrand na zobrazenie tabuľkové a teraz víťazstvo.Príklad: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.
Podľa rozhodnutia je jasné, že pre tabuľkuPríklad integrand postráda násobič 5. pridáme ho paralelne s týmto vynásobte 1/5 na všeobecnú výraz sa nezmenil.
per partes
Uvažujme dve funkcie - Z (y) a X (y).Musí byť spojito diferencovateľná na svojom odbore.Ako jeden z vlastností diferenciácie mať: d (xz) + = Xdz ZDX.Integrácia oboch stranách, dostaneme: ∫d (xz) = ∫ (Xdz + ZDX) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.
Prepis výslednú rovnicu, dostaneme vzorec, ktorý popisuje metódu per partes: ∫zdx = zx - ∫xdz.
Prečo je to nutné?Skutočnosť, že niekoľko príkladov môže zjednodušiť, relatívne vzaté, redukovať ∫zdx ∫xdz, pokiaľ je tento v blízkosti forme tabuľky.Aj tento prostriedok sa môže použiť viac ako raz, pre dosiahnutie optimálnych výsledkov.
Ako riešiť neurčitú integrálov takto:
- potrebné na výpočet ∫ (y + 1) e2sds
∫ (x + 1) e2sds = {z = y + 1, DZ = ds, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((s + 1) E2S) / 2 - 1 / 2∫e2sdx = ((y + 1) E2S) / 2-E2S / 4 + C;
- musí počítať ∫lnsds
∫lnsds = {z = LNS, DZ = DS / s, y = y, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s+ C = S (LNS-1) + C.
Výmena variabilný
Táto zásada rozhodnutia neurčitých integrálov v dopyte nie menej ako predchádzajúce dva, ale komplikovaný.Táto metóda je nasledovné: Ak je V (x) - integrál nejaké funkcie v (x).V prípade, že samo o sebe integrálne úlovkov slozhnosochinenny napríklad, je pravdepodobné, že si zmätený a ísť do zlých riešení.Aby sa tomu zabránilo praktizuje prechod od premennú x do Z, v ktorom všeobecný výraz vizuálne zjednodušených pri zachovaní zv závislosti na x.
V matematického jazyka je nasledujúci: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)), y '(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), kde x =y (z) - substitúcia.A, samozrejme, inverzné funkcie z = y-1 (x) plne popisuje vzťah a vzťah medzi premennými.Dôležité - diferenciál dx nutne nahradená novou diferenciálnej dz, pretože zmena premennej na neurčitý integrál zahŕňa nahrádzať to všade, nielen v integrand.
Príklad:
- musieť nájsť ∫ (y + 1) / (s2 + 2s - 5) ds
použiť substitúciu z = (y + 1) / (S2 + 2s-5).Potom 2sds = dz = 2 + 2 (y + 1) ds & lt; = & gt;(s + 1) ds = dz / 2.V dôsledku toho, nasledujúce rovnice, ktorá je veľmi ľahko vypočítať:
∫ (s + 1) / (s2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln| S2 + 2s-5 | + C;
- musieť nájsť neoddeliteľnou ∫2sesdx
K riešeniu prepíšte výraz v nasledujúcom tvare:
∫2sesds = ∫ (2E) SDS.
označujú = 2E (nahradenie argument, tento krok nie je, je to stále s), dať náš zdanlivo zložité, neoddeliteľnou súčasťou základnej tabuľkovej forme:
∫ (2e) SDS = ∫asds = as / LNA+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + LNE) + C = 2ses / (LN2 + 1) + C.
Wrap v znamení rozdielu
a veľký, touto metódouneurčitá integrály - dvojča princípe zmeny premenné, ale tam sú rozdiely v procese registrácie.Vezmime si detail.
Ak ∫v (x) dx = V (x) + C a y = z (x), potom ∫v (y) dy = V (y) + C.
Nemali by sme zabúdať, triviálne integrálnych transformácií, medzikde:
- dx = d (x + a), a kde - každá konštanta;
- dx = (1 / a) d (ax + b), kde a - konštanta znovu, ale nie na nulu;
- XDX = 1 / 2d (x2 + b);
- sinxdx = -d (cosx);
- cosxdx = d (sinx).
Ak vezmeme do úvahy všeobecný prípad, keď sme sa vypočítať neurčitý integrál, príklady môžu byť podaný v rámci všeobecného vzorca w '(x) dx = dw (x).
Príklady:
- musieť nájsť ∫ (2S + 3) 2DS, ds = 1 / 2D (2s + 3)
∫ (2s + 3) 2DS = 1 / 2∫ (2S + 3) 2D (2s+ 3) = (1/2) x ((2S + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;
∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + C.
Online pomoc
V niektorých prípadoch je porucha, ktorá môže byť alebo lenivosť, alebo naliehavá potreba, môžete použiťOnline tipy, alebo skôr, aby použiť kalkulačku neurčitých integrálov.Napriek zdanlivej zložitosť a kontroverzné povahe integrály, ich rozhodnutie podlieha určitému algoritmu, ktorý je postavený na princípe "ak nie ... potom ...".
samozrejme veľmi zložité príklady tohto kalkulačky Dokáže zvládnuť, pretože tam sú prípady, keď rozhodnutie musí nájsť umelo "nútení" zavedením určitých prvkov v procese, pretože výsledok nie je zrejmé spôsoby, ako dosiahnuť.Cez kontroverzné povahe tohto vyhlásenia, to je pravda, ako matematiky, v zásade abstraktné veda, a jeho hlavným cieľom sa domnieva, že je potrebné rozšíriť hranice možností.Skutočne, pre hladký beh-v teóriách je veľmi ťažké sa pohybovať hore a vyvíjať, takže nepredpokladajte, že príklady riešenia neurčitých integrálov, ktorý nám dal - to je výška možností.Ale späť k technickú stránku veci.Aspoň skontrolovať výpočty, môžete použiť službu, v ktorom bolo stanovené, nám.V prípade, že je potrebné pre automatický výpočet komplexných výrazov, potom nemajú sa uchýliť k vážnejšej softvér.Je nutné venovať pozornosť predovšetkým na životné prostredie MATLAB.
Aplikácia
rozhodnutie neurčitý integrál na prvý pohľad sa zdá byť úplne odtrhnuté od reality, pretože je ťažké vidieť zrejmý použitia lietadla.V skutočnosti, ich použitie kdekoľvek priamo nemožné, však, že sú považované za nevyhnutné medziľahlý prvok v procese odobratie roztokov používaných v praxi.Takže, späť k integrácii diferenciácie, čím sa aktívne zúčastňuje procesu riešenia rovníc.
Na druhej strane, tieto rovnice majú priamy vplyv na rozhodnutie mechanický problém, výpočet trajektórie a tepelnej vodivosti - skrátka všetko, čo predstavuje súčasný a formovaní budúcnosti.Neurčitý integrál, príklady ktorého sme sa zaoberali vyššie, iba na prvý pohľad banálne, ako základ pre vykonávanie viac a viac nových objavov.
