L'integrale indefinito.

Uno dei rami fondamentali di analisi matematica è il calcolo integrale.Esso copre il vasto campo di oggetti, dove il primo - è un integrale indefinito.Posizionare come la chiave è che al liceo rivela un crescente numero di prospettive e opportunità, che descrive le matematiche superiori.

comparsa di

A prima vista, sembra assolutamente integrante moderno, attuale, ma in pratica si scopre che era apparso nel 1800 aC.Homeland è ufficialmente considerata come l'Egitto non sono sopravvissuti la prova precedente della sua esistenza.E a causa della mancanza di informazioni, pur posizionato semplicemente come fenomeno.Si conferma ancora una volta il livello di sviluppo scientifico dei popoli di quei tempi.Infine è stato trovato scritti degli antichi matematici greci, risalente al 4 ° secolo aC.Essi descrivono il metodo utilizzato dove la integrale indefinito, la cui essenza era di trovare il volume o area della forma curva (piano tridimensionale e bidimensionale, rispettivamente).Il principio di calcolo basato sulla divisione della figura componenti infinitesimali originali, purché il volume (area) del già noto.Nel tempo, il metodo è cresciuta, Archimede usò per trovare l'area della parabola.Calcoli simili allo stesso tempo, ed esercizi di condotta in Cina antica, dove erano completamente indipendente dal compagno scienza greca.

Sviluppo

prossimo passo avanti nel XI secolo aC, è diventata l'opera dello scienziato arabo "carro" Abu Ali al-Basri, che ha spinto i confini del già noto, sono derivate dalla formula integrale per il calcolo delle somme degli importi e gradi dal primoIn quarto luogo, utilizzando per questo conosciamo il metodo di induzione matematica.Menti
di oggi ammirare come gli antichi egizi creato i monumenti incredibili senza speciali strumenti, con la possibile eccezione delle sue mani, ma non ha fatto il potere degli scienziati mente del tempo di meno di un miracolo?Rispetto al momento della vita sembra quasi primitiva, ma la decisione di integrali indefiniti dedotte ovunque e utilizzati nella pratica per un ulteriore sviluppo.

passo successivo avvenne nel XVI secolo, quando il matematico italiano portò metodo Cavalieri degli indivisibili, che raccolse Pierre de Fermat.Questi due personalità gettato le basi per il calcolo integrale moderna, che è noto in questo momento.Hanno legato i concetti di differenziazione e integrazione, che in precedenza erano percepiti come unità autonome.In generale, la matematica di quel tempo è andato in frantumi, le conclusioni delle particelle esistono di per sé, con portata limitata.Via di associazione e la ricerca di un terreno comune è stato l'unico vero in questo momento, grazie a lui, la moderna analisi matematica hanno avuto l'opportunità di crescere e svilupparsi.

Con il passare del tempo cambia tutto, e la notazione dell'integrale pure.In generale, gli scienziati hanno designato è a suo modo, ad esempio, Newton ha utilizzato un un'icona quadrata, che ha messo una funzione integrabile, o semplicemente messi insieme.Questa disparità è durato fino al XVII secolo, quando un punto di riferimento per tutta la teoria dello scienziato analisi matematica Gottfried Leibniz introdotto come un simbolo a noi familiare.La "S" allungata è attualmente basato su tale lettera dell'alfabeto, come rappresenta la somma delle primitive.Il nome dell'integrale era dovuto a Jacob Bernoulli, dopo 15 anni.

definizione formale di integrale indefinito dipende dalla definizione del primitivo, così abbiamo ritenuto, in primo luogo.

La primitiva - è la funzione inversa del derivato, in pratica si chiama primitiva.In altre parole: la funzione primitiva del d - è una funzione D, il derivato è pari a v & lt; = & gt;V '= v.Ricerca il primitivo è, il calcolo della integrale indefinito, e il processo si chiama integrazione.

Esempio:

s (y) = Y3, e le sue primitive S (y) = (Y4 / 4).

insieme di tutte le primitive della funzione - questo è un integrale indefinito, è indicato come segue: ∫v (x) dx.

Perché la V (x) - Queste sono alcune delle funzioni primitivo originale, abbiamo un'espressione: ∫v (x) dx = V (x) + C, dove C - costante.Sotto la costante arbitraria qualsiasi costante, poiché la sua derivata è zero.Proprietà

Proprietà

che hanno un integrale indefinito, basati sulle definizioni e le proprietà dei derivati.
Considerare i punti chiave:

• derivata integrante del primitivo è di per sé primitivo, più una costante arbitraria C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;
• derivata dell'integrale della funzione è la funzione originale & lt; = & gt;(∫v (x) dx) '= v (x);Costante
• viene rimosso dal segno di integrale & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, dove k - è arbitraria;
• integrale, che viene prelevata dalla somma di identicamente uguale alla somma di integrali di & lt; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Le ultime due proprietà può concludere che l'integrale indefinito è lineare.A causa di questo, abbiamo: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Per consolidare considerare esempi di soluzioni integrali indefiniti.

necessario trovare la ∫ integrale (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C.

Dall'esempio possiamo concludere che non si sa come affrontare integrali indefiniti?Basta trovare tutte le primitive!Ma la ricerca dei principi discussi di seguito.Metodi

ed esempi

al fine di risolvere l'integrale, si può ricorrere ai seguenti metodi: tavolo

• pronto all'uso;
• integrare per parti;
• integrato sostituendo variabile;Insediamento
• sotto il segno del differenziale.Tavoli

più semplice e piacevole.Al momento, l'analisi matematica può vantare abbastanza ampi tavoli, che espone le formule di base degli integrali indefiniti.In altre parole, ci sono modelli derivati ​​per voi e si può solo trarre vantaggio di loro.Ecco un elenco di posizioni di tabella di base, che possono visualizzare quasi ogni caso, disporre di una soluzione:

• ∫0dy = C, dove C - costante;
• ∫dy = y + C, dove C - costante;
• ∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, dove C - una costante, e n - è diverso dal numero di unità;
• ∫ (1 / a) dy = ln | y | + C, dove C - costante;
• ∫eydy = ey + C, dove C - costante;
• ∫kydy = (ky / ln k) + C, dove C - costante;
• ∫cosydy = siny + C, dove C - costante;
• ∫sinydy = -cosy + C, dove C - costante;
• ∫dy / cos2y = tgy + C, dove C - costante;
• ∫dy / sin2y = -ctgy + C, dove C - costante;
• ∫dy / (1 + y 2) = arctgy + C, dove C - costante;
• ∫chydy = timido + C, dove C - costante;
• ∫shydy = chy + C, dove C - costante.

Se si vuole fare un paio di gradini conducono integrando a una visualizzazione tabulare e godersi la vittoria.Esempio: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) D (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C

Secondo la decisione è chiaro che per la tavolaEsempio integrando manca moltiplicatore 5. Aggiungiamo che in parallelo con questo moltiplicare per 1/5 di espressione generale non è cambiata.

integrazione per parti

Consideriamo due funzioni - z (y) e X (y).Essi devono essere continuamente differenziabile in suo dominio.Come una delle proprietà di differenziazione sono: d (xz) + = XDZ ZDX.L'integrazione di entrambe le parti, si ottiene: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + ZDX) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.

Riscrivere l'equazione risultante, si ottiene una formula che descrive il metodo di integrazione per parti: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Perché è necessario?Il fatto che alcuni esempi possono semplificare, relativamente parlando, per ridurre ∫xdz ∫zdx, se quest'ultimo è vicino ad una forma di tabelle.Inoltre, questa formula può essere utilizzato più di una volta, per ottenere risultati ottimali.

Come risolvere integrali indefiniti questo modo:

• necessario calcolare ∫ (s + 1) e2sds

∫ (x + 1) e2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((s + 1) e2s) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((s + 1) e2s) / 2-e2s / 4 + C;

• deve calcolare ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, = dy ds} = linfonodi sentinella - ∫s x ds / s = linfonodi sentinella - ∫ds = linfonodi sentinella -s+ C = s (LNS-1) + variabile sostituzione C.

Questo principio decisione degli integrali indefiniti della domanda non meno rispetto alle due precedenti, anche se complicato.Il metodo è il seguente: Sia V (x) - l'integrale di una funzione v (x).Nel caso in cui in sé integrante nell'esempio catture slozhnosochinenny, rischia di confondersi e passare alle soluzioni sbagliate.Per evitare questo praticata transizione dalla variabile x alla z, in cui un'espressione semplificata generale visivamente mantenendo z seconda x.

In linguaggio matematico è la seguente: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), dove x =y (z) - sostituzione.E, ovviamente, la funzione inversa z = y-1 (x) descrive pienamente il rapporto e la relazione tra le variabili.Importante - dx differenziale necessariamente sostituito con il nuovo differenziale dz, poiché il cambiamento di variabile nel integrale indefinito prevede di sostituire ovunque, non solo nel integrando.

Esempio:

• necessario trovare ∫ (s + 1) / (s2 + 2s - 5) ds

applicano la sostituzione z = (s + 1) / (s2 + 2s-5).Poi 2sds = dz = 2 + 2 (s + 1) ds & lt; = & gt;(s + 1) ds = dz / 2.Di conseguenza, la seguente espressione, che è molto facile calcolare:

∫ (s + 1) / (s2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln| s2 + 2s-5 | + C;

• bisogno di trovare ∫2sesdx integrante

Per affrontare riscrivere l'espressione nella forma seguente:

∫2sesds = ∫ (2 sexies) sds.

denotano un = 2e (sostituendo l'argomento questo passaggio non è, è ancora s), dare il nostro apparentemente complesso, parte integrante della forma tabellare di base:

∫ (2e) sds = ∫asds = come / LNA+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + LNE) + C = 2ses / (LN2 + 1) + C

Avvolgere sotto il segno del differenziale

In generale, questo metodointegrali indefiniti - fratello gemello del principio del cambiamento di variabili, ma ci sono differenze nel processo di registrazione.Considerare i dettagli.

Se ∫v (x) dx = V (x) + C e y = z (x), quindi ∫v (y) dy = V (y) + C.

non dobbiamo dimenticare le trasformazioni integrali banali, tradove:

• dx = d (x + a), e in cui - ogni costante;
• dx = (1 / a) d (ax + b), dove a - nuovo costante, ma non nullo;
• xdx = 1 / 2d (x2 + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Se si considera il caso generale quando si calcola l'integrale indefinito, esempi può essere messo sotto la formula generale w '(x) dx = dw (x).

Esempi:

• bisogno di trovare ∫ (2s + 3) 2DS, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) 2DS = 1 / 2∫ (2s + 3) 2d (2s+ 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / coss = -ln | coss | + C.

aiuto in linea

In alcuni casi, il difetto che può essere o pigrizia, o un bisogno urgente, si può usareI suggerimenti in linea, o meglio, per usare una calcolatrice integrali indefiniti.Nonostante l'apparente complessità e la natura controversa delle integrali, la loro decisione è soggetta a un certo algoritmo, che è costruito sul principio di "non se lo fai ... allora ...".

corso, esempi molto intricate di questo calcolatore non padrone, come ci sono casi in cui una decisione deve trovare una artificialmente "costretto" con l'introduzione di alcuni elementi del processo, perché il risultato non è evidente modi per raggiungere.Nonostante la natura controversa di questa affermazione, è vero, come la matematica, in linea di principio, una scienza astratta, e il suo obiettivo primario considera la necessità di ampliare i confini delle possibilità.In effetti, per un corretto funzionamento, nelle teorie è molto difficile per spostarsi in alto e evolversi, quindi non pensare che gli esempi della soluzione di integrali indefiniti, che ci ha dato - questo è l'altezza di opzioni.Ma torniamo al lato tecnico delle cose.Almeno per controllare i calcoli, è possibile utilizzare il servizio in cui è stato precisato a noi.Se vi è la necessità per il calcolo automatico di espressioni complesse, allora non c'è bisogno di ricorrere ad un software più serio.E 'necessario prestare attenzione in primo luogo per l'ambiente MatLab.Decisione

Applicazione

integrali indefiniti a prima vista sembra completamente avulsa dalla realtà, perché è difficile vedere l'ovvio uso dell'aereo.Infatti, il loro uso ovunque direttamente impossibile, tuttavia, essi sono considerati necessari elemento intermedio nel processo di ritiro delle soluzioni utilizzate nella pratica.Quindi, tornando alla integrazione di differenziazione, partecipando così attivamente al processo di risolvere equazioni.
A loro volta, queste equazioni hanno un impatto diretto sulla decisione di un problema meccanico, il calcolo delle traiettorie e conduttività termica - in breve, tutto ciò che costituisce il presente e plasmare il futuro.Gli esempi integrale indefinito, di cui abbiamo sopra considerato, semplicemente banale a prima vista, come base per svolgere sempre di più le nuove scoperte.