ללא הגבלת זמן נפרד.

אחד הסניפים הבסיסיים של אנליזה מתמטית הוא אינטגרלי.זה מכסה תחום הרחב של חפצים, שבו הראשון - זה הוא חלק בלתי נפרד בלתי מוגבל.עמדתו כמפתח היא שבחזרה בתיכון מגלה מספר גדל והולך של לקוחות פוטנציאליים והזדמנויות, המתאר את המתמטיקה הגבוהה.הופעת

של

במבט הראשון, זה נראה לגמרי בלתי נפרד מודרני, אקטואלי, אך בפועל מתברר שהוא הופיע בשנת 1800 לפני הספירה.מולדת נחשבת באופן רשמי כמצרים לא שרדה את הראיות הקודמות של קיומה.זה בשל חוסר המידע, כל הזמן בעמדה פשוט כתופעה.זה שוב מאשר את רמת של העמים של זמנים ההם פיתוח מדעי.לבסוף נמצא כתבים של המתמטיקאים היווניים העתיקים, מתקופת המאה ה -4 לפנה"ס.הם מתארים את השיטה שבה מוגדר נפרד, את המהות של מה שהייתה כדי למצוא את הנפח או שטח של הצורה המעוגלת (מטוס תלת-ממדי ודו-ממדי, בהתאמה).העיקרון של חישוב המבוסס על חלוקת הרכיבים זעירים הדמות המקוריות, ובלבד שהנפח (האזור) של ידוע כבר.לאורך זמן, השיטה גדלה, ארכימדס השתמש בו כדי למצוא את השטח של פרבולה.חישובים דומים באותו הזמן, ותרגילי התנהגות בסין העתיקה, שבו הם היו עצמאיים לחלוטין ממדע הבחור היווני.פריצת הדרך הבאה

פיתוח

במאה XI לפנה"ס הפכה את עבודתו של המדען הערבי "עגלה" אבו עלי אל-בצרי, שדחפו את הגבולות ידועים כבר, נגזרים מהנוסחא נפרד לחישוב הסכומים בסכומים ובמעלות מהראשון לרביעית, שימוש לזו שאנו מכירים את שיטת האינדוקציה מתמטית.מוחות
של היום להעריץ איך המצרים הקדמונים יצרו את המונומנטים המדהימים ללא כל כלים מיוחדים, למעט אולי ידיו, אבל לא את כוחו של מדעני המוח של הזמן לא פחות נס?בהשוואה לתקופה הנוכחית של חיים נראה כמעט פרימיטיווי, אבל ההחלטה של ​​אינטגרלים בלתי מוגבל בכל מקום ולהסיק משמש בפועל להמשך פיתוח.

השלב הבא התרחש במאה השישה עשר, כאשר מתמטיקאי איטלקי הביא שיטת Cavalieri של indivisibles, שהרימה פייר דה פרמה.שתי אישיות אלה הניחה את היסודות לאינטגרליים המודרני, אשר ידוע באותו הרגע.הם קשרו את המושגים של גזירה ואינטגרציה, שנתפסו בעבר כיחידות אוטונומיות.באופן כללי, המתמטיקה של הזמן שנופצה, המסקנות של החלקיקים קיימות בעצמם, עם היקף מוגבל.הדרך של עמותה והחיפוש של מכנה משותף הייתה נכונה רק ברגע, בזכותו, הניתוח המתמטי המודרני הייתה ההזדמנות לגדול ולהתפתח.

עם חלוף הזמן משנה את הכל, והסימון של נפרד, כמו גם.באופן כללי, מדענים המיועדים אותו בדרכו שלו, למשל, ניוטון השתמש בסמל מרובע, שהכניס פונקצית integrable, או פשוט להרכיב.פער זה נמשך עד המאה XVII כאשר ציון דרך עבור התאוריה של מדען ניתוח המתמטי גוטפריד לייבניץ כל הציג כסמל מוכר לנו."S" המוארך מבוסס למעשה על מכתב שהאלפבית, כמייצג את הסכום של הפרימיטיבים.השם נפרד נבע יעקב ברנולי, לאחר 15 שנים.הגדרה רשמית

של נפרד בלתי מוגבל תלויה בהגדרה של פרימיטיווי, ולכן אנחנו רואים את זה במקום הראשון.

הפרימיטיבי - זה הפונקציה ההפוכה של הנגזר, בפועל זה נקרא פרימיטיווי.במילים אחרות: פונקציה פרימיטיבית של ד - הוא D פונקציה, נגזר שווה לנ & lt; = & gt;V '= v.חיפוש הפרימיטיבי הוא, חישוב בלתי מוגבל נפרד, והתהליך נקרא אינטגרציה.

דוגמא: פונקצית

של (y) = Y3, ו- S הפרימיטיבי שלה (y) = (y4 / 4).סט

של כל הפרימיטיבים של הפונקציה - זה בלתי נפרד בלתי מוגבל, הוא ציין כדלקמן: ∫v DX (x).

בגלל V (x) - אלה הם חלק מהפונקציה הפרימיטיבית המקורית, יש לנו ביטוי: ∫v (x) dx = V (x) + C, שבו C - קבוע.תחת קבוע השרירותית פירושו כל קבוע, מאז הנגזר שלה הוא אפס.מאפייני

מאפייני

שיש לי נפרד בלתי מוגבל, על פי ההגדרות ומאפיינים של נגזרים.
שקול נקודות מפתח: נגזר נפרד

• של הפרימיטיבי הוא עצמו פרימיטיווי, בתוספת C השרירותי קבוע & lt; gt = &;∫V '(x) dx = (x) + C V;נגזר
• של נפרד מהפונקציה היא הפונקציה המקורית & lt; = & gt;(DX ∫v (x)) '= V (x);קבוע
• יוסר שלט נפרד & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v DX (x), שבו k - הוא שרירותי;
• נפרד, אשר נלקח מהסכום של זהה שווה לסכום של אינטגרלים של & lt; = & gt;dy = + ∫w dy ∫ (v (y) + w (y)) ∫v (y) dy (Y).

ניתן להסיק שני הנכסים האחרונים שנפרד בלתי מוגבל הוא ליניארי.בשל כך, יש לנו: dy = + l∫w dy ∫ (KV (y) dy + ∫ LW (y)) k∫v (y) dy (Y).

כדי לגבש לשקול דוגמאות של פתרונות אינטגרלים בלתי מוגבל.

צורך למצוא ∫ נפרד (3sinx + 4cosx) DX:

• ∫ (3sinx 4cosx +) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + ג

מהדוגמא אנו יכולים להסיק כי אתה לא יודע איך להתמודד עם אינטגרלים בלתי מוגבל?רק למצוא את כל הפרימיטיבים!אבל החיפוש אחר העקרונות שנדון בהמשך.שיטות

ודוגמאות

על מנת לפתור נפרד, אתה יכול לפנות לשיטות הבאות: שולחן

• מוכן לשימוש;
• לשלב בחלקים;
• משולב על ידי החלפה משתנה;יישוב
• במזל את ההפרש.שולחנות

דרך הקלה ביותר

ונעימה.כרגע, הניתוח המתמטי יכול להתפאר שולחנות נרחבים למדי, שפרטו את נוסחות הבסיסיות של אינטגרלים בלתי מוגבל.במילים אחרות, יש דפוסים נגזרו לך ואתה יכול רק לנצל אותם.הנה רשימה של עמדות שולחן בסיסיות, שיכול להציג כמעט כל מקרה, יש פתרון: ∫0dy

• = C, שבו C - קבוע;
• ∫dy = y + C, שבו C - קבוע;∫yndy
• = (yn + 1) / (n + 1) + C, שבו C - קבוע, וn - שונה ממספר היחידות;
• ∫ (1 / y) dy = LN | y | + C, שבו C - קבוע;
• ∫eydy = EY + C, שבו C - קבוע;
• ∫kydy = (KY / LN k) + C, שבו C - קבוע;
• ∫cosydy = siny + C, שבו C - קבוע;
• ∫sinydy = -cosy + C, שבו C - קבוע;
• ∫dy / cos2y = tgy + C, שבו C - קבוע;
• ∫dy / sin2y = -ctgy + C, שבו C - קבוע;
• ∫dy / (1 + Y2) = arctgy + C, שבו C - קבוע;
• ∫chydy = C + ביישנית, שבו C - קבוע;
• ∫shydy = CHY + C, שבו C - קבוע.

אם אתה רוצה לעשות כמה צעדים להוביל מִסתַכֶּמֶת לתצוגה טבלאית וליהנות מהנצחון.לדוגמא: ∫cos (5x - 2) (5x -2) DX = 1 / 5∫cos ד (5x - 2) = 1/5 x חטא (5x - 2) + ג

על פי ההחלטה ברור שלשולחןמִסתַכֶּמֶת הדוגמא חסרת מכפיל 5. אנו מוסיפים אותו במקביל ללהכפיל את זה על ידי 1/5 לביטוי כללי לא השתנה.

אינטגרציה על ידי חלקי

שקול שתי פונקציות - z (Y) וx (y).הם חייבים להיות גזירה ברציפות בתחום שלו.כאחד מהמאפיינים של בידול יש לי: zdx ד (XZ) + = xdz.שילוב שני הצדדים, אנחנו מקבלים: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + zdx) = & gt;ZX = ∫zdx + ∫xdz.

כתוב את המשוואה וכתוצאה מכך, אנחנו מקבלים נוסחה המתארת ​​את השיטה של ​​אינטגרציה על ידי חלקים: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

למה זה נחוץ?העובדה שכמה דוגמאות יכולות לפשט, באופן יחסי, כדי להפחית ∫xdz ∫zdx, אם האחרון הוא קרוב לצורת טבלה.כמו כן, נוסחה זו ניתן להשתמש יותר מפעם אחת, לתוצאות מיטביות.

כיצד לפתור אינטגרלים בלתי מוגבל בדרך זו:

• צורך לחשב ∫ (ים 1 +) e2sds

∫ (x + 1) e2sds = {= z S + 1, dz = DS, y = 1 / 2e2s, dy= E2xds} = (S + 1) e2s () / 2-1 / 2∫e2sdx = ((S + 1 e2s)) / 2-e2s / 4 + C;

• חייב לחשב ∫lnsds ∫lnsds {z = LNS, dz = DS / s, s = y, = dy DS} = slns =

- -s = ∫ds slns - x DS / = slns של ∫s+ = C s (LNS-1) + משתנה החלפת ג

החלטת עיקרון זה של אינטגרלים בלתי מוגבל בדרישה לא פחות משני הקודמים, אם כי מסובך.השיטה היא כדלקמן: בוא V (x) - נפרד מכמה v פונקציה (x).במקרה שבפני עצמו נפרד בדוגמא slozhnosochinenny תופסת, עשוי להתבלבל וללכת לפתרונות לא נכונים.כדי להימנע מכך התאמנו מעבר מx משתנה עד ת ', שבו ביטוי כללי חזותי פשוטה, תוך שמירה על z בהתאם x.

בשפה מתמטית הוא כדלקמן: y ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) 'dz = V (z) (z) = V ((x) y-1), שבו x =y (z) - חילוף.וגם, כמובן, z הפונקציה ההפוכה = y-1 (x) מתאר באופן מלא את היחסים ואת הקשר בין משתנים.חשוב - DX ההפרש הוחלף בהכרח עם dz ההפרש החדש, מאז השינוי של משתנה באינטגרלי בלתי מוגבל כרוך החלפתו בכל מקום, לא רק מִסתַכֶּמֶת.

דוגמא:

• צריך למצוא ∫ (ים + 1) / (s2 + 2s - 5) DS

להחיל את z התחלופה = (S + 1) / (s2 + 2s-5).אז 2sds = dz = 2 + 2 (S + 1) DS & lt; = & gt;(S + 1) DS = dz / 2.כתוצאה מכך, את הביטוי הבא, שהוא קל מאוד לחישוב:

∫ (ים + 1) / (s2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln| S2 + 2s-5 | + C;

• צריך למצוא ∫2sesdx נפרד

כדי לטפל לשכתב את הביטוי בצורה הבאה:

∫2sesds = ∫ SDS (2E).

לציין = 2E (החלפת הטיעון שלב זה הוא לא, זה עדיין ים), לנותננו מורכב לכאורה, חלק בלתי נפרד מצורת טבלה בסיסית:

∫ (2E) SDS = ∫asds = כ/ LNA+ C = S / LN (2E) + C = 2ses / ln (2 + LNE) (2E) + C = 2ses / (LN2 + 1) + ג

גלישה בסימן ההפרש

ובשיטה גדולה, זהאינטגרלים בלתי מוגבל - אחיו תאום של עיקרון השינוי של משתנה, אבל יש הבדלים בתהליך של רישום.שקול פרט.

אם ∫v (x) dx = (x) + C ו- y = z (x), אז ∫v dy (y) = V (y) + ג

אנחנו לא צריך לשכוח את התמורות נפרד של מה בכך, בין Vשם:

• DX = ד (x +), ובו - כל מתמיד;
• = (1 /) ד DX (גרזן + b), שבו - קבוע שוב, אבל לא אפס;xdx = 1/2
• (X2 + b);
• sinxdx = -d (cosx);cosxdx = ד
• (sinx).

אם ניקח בחשבון את המקרה הכללי, כאשר אנו מחשבים את אינטגרליים בלתי מוגבל, ניתן להביא דוגמאות תחת הנוסחה הכללית w '(x) dx = DW (x).דוגמאות

:

• צריכה למצוא ∫ (2s + 3) 2ds, DS = 1/2 (2s + 3)

∫ (2s + 3) = 2ds 1 / 2∫ (2s + 3) 2 (2s+ 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6 x (2s) + 3) 2 + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | +

העזרה ג

האינטרנט בחלק מהמקרים, באשמה שיכולה להיות או עצלות, או צורך דחוף, אתה יכול להשתמשטיפים באינטרנט, או לייתר דיוק, לשימוש בלתי מוגבל אינטגרלים מחשבון.למרות המורכבות לכאורה והטבע שנוי במחלוקת של אינטגרלים, ההחלטה שלהם היא כפופה לאלגוריתם מסוים, אשר בנוי על העיקרון של "אם אתה לא ... אז ...".

כמובן, דוגמאות מורכבות מאוד של מחשבון זה לא לשלוט, כפי שיש מקרים שבהם החלטה יש למצוא באופן מלאכותי "נאלץ" על ידי החדרת אלמנטים מסוימים בתהליך, כי התוצאה היא לא דרכים ברורות להשגה.למרות האופי השנוי במחלוקת של הצהרה זו, זה נכון, כמו המתמטיקה, באופן עקרוני, מדע מופשט, והמטרה העיקרית שלה רואים את הצורך להרחיב את הגבולות של אפשרויות.ואכן, לחלק ריצה בתיאוריות קשה מאוד להתקדם ולהתפתח, ולכן לא להניח שדוגמאות של הפתרון של אינטגרלים בלתי מוגבל, שנתן לנו - זה הגובה של אפשרויות.אבל בחזרה לצד הטכני של דברים.לפחות לבדוק את החישובים, אתה יכול להשתמש בשירות שבו פירט לנו.אם יש צורך בחישוב אוטומטי של ביטויים מורכבים, אז הם לא צריכים לפנות אל תוכנה רצינית יותר.יש צורך לשים לב בעיקר בסביבה MATLAB.אינטגרלים בלתי מוגבל החלטת

יישום

במבט ראשון נראה מנותקים לחלוטין מהמציאות, משום שקשה לראות את השימוש הברור של המטוס.ואכן, השימוש בם בכל מקום באופן ישיר בלתי אפשרי, לעומת זאת, הם נחשבים אלמנט ביניים הכרחי בתהליך של נסיגה של פתרונות המשמשים בפועל.אז, בחזרה לאינטגרציה של בידול, וכך באופן פעיל המשתתף בתהליך של פתרון משוואות.
בתורו, יש לי משוואות אלה השפעה ישירה על ההחלטה של ​​בעיה מכאנית, חישוב מסלולים ומוליכות תרמית - בקיצור, כל מה שמהווה את ההווה ומעצב את העתיד.דוגמאות מוגדרת נפרד, שיש לנו נחשבות לעיל, רק טריוויאלי במבט ראשון, כבסיס לביצוע יותר ויותר גילויים חדשים.