telpā plakni var definēt dažādos veidos (par vienu punktu un nesēju un vektoru diviem punktiem, trīs punkti, uc).Tas ir šajā vienādojumā plaknes var būt dažāda veida.Tāpat, saskaņā ar konkrētiem nosacījumiem plakne var būt paralēli, perpendikulāri, krustojas, ucPar šo un runāt šajā rakstā.Mēs iemācīties veikt vispārējo vienādojums plaknē un ne tikai.
Normal vienādojums
Pieņemsim, ka ir telpa R3, kas ir taisnstūra koordinātu sistēmas XYZ.Mēs definējam vektora α, kas tiks atbrīvoti no sākotnējās A. punktā, caur beigām vektora alfa izdarīt P plakne, kas ir perpendikulāra tā.
Let P uz patvaļīgs punkts Q = (x, y, z).Rādiuss vektors Q punktu parakstīt vēstuli p.Par vektoru alfa garums ir vienāds ar p = IαI un Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).
Tas ir vienība vektors, kas ir vērsta uz sāniem, kā arī vektors α.α, β, un γ - ir leņķis, ko veido starp vektoru Ʋ un pozitīvu virzieniem asīm, kas telpa X, Y, Z, attiecīgi.No punkta uz vektoru Ʋ QεP projekcija ir konstante, kas ir vienāda ar p (p, Ʋ) = P (r≥0).
Iepriekš vienādojums ir jēga, ja p = 0.Vienīgā P plakne šajā gadījumā būs krustojas D daļas (α = 0), kas ir izcelsmes, un vienība vektors Ʋ, atbrīvo no punkts O būs perpendikulāra P, neskatoties uz tā virzienā, kas nozīmē, ka vektors Ʋ noteiktslīdz parakstīt.Iepriekšējā vienādojums ir mūsu lidmašīna II, izteikts vektoru formā.Bet koordinātas no tās veida tik:
P ir lielāks vai vienāds ar 0. Esam atraduši vienādojums plaknē, telpā normālā veidā.
Vispārējā formula
Ja vienādojums koordinātas reizināt jebkuru skaitli, kas nav vienāds ar nulli, mēs iegūstam vienādojumu līdzvērtīga tas, kas nosaka pašu lidmašīnu.Tas ir skats:
Šeit A, B, C - ir skaitlis, tajā pašā laikā atšķiras no nulles.Šis vienādojums ir minēta kā plaknes vienādojumu vispārējā veidā.
vienādojums plaknē.Īpaši gadījumi
vienādojums vispārējā veidā var mainīt ar papildu nosacījumiem.Apsveriet dažus no tiem.
pieņemt, ka koeficients A ir vienāds ar 0. Tas nozīmē, ka plakne ir paralēla dota ass SOx.Šajā gadījumā, mainīt formu vienādojuma: Vu + CZ + D = 0.
līdzīga forma vienādojumu mainīsies un ar šādiem nosacījumiem:
- Pirmkārt, kad B = 0, tad vienādojums izmaiņas Ax + Cz + D = 0, kas varētu liecināt, kas ir paralēla y asij.
- Otrkārt, ja C = 0, vienādojums tiek pārveidots Ax + By + D = 0, tad būs runāt par paralēli iepriekš asi Oz.
- Treškārt, ja D = 0, vienādojums varētu izskatīties Ax + By + CZ = 0, kas nozīmētu, ka plakne šķērso Ö (izcelsmes).
- Ceturtkārt, ja A = B = 0, tad vienādojums izmaiņas Cz + D = 0, kas izrādīsies paralēli Oxy.
- Piektkārt, ja B = C = 0, vienādojums kļūst Ax + D = 0, kas nozīmē, ka plakne ir paralēla Oyz.
- Sestkārt, ja A = C = 0, vienādojums izpaužas Vu + D = 0, tad būs paralēli ziņojumam Oxz.
tipa vienādojumi sadaļās
gadījumā, ja skaits A, B, C, D ir atšķirīgs no nulles, forma vienādojuma (0) var būt šādi:
x / a + y / b + z / a= 1,
kur a = -D / A, b = -D / b, c = -D / C.
iegūtu rezultātu vienādojums plaknē gabalos.Jāatzīmē, ka šī lidmašīna būs krustojas ass Ox pie koordinātām (a, 0,0), dy - (0, b, 0) un Oz - (0,0, s).
Ņemot vienādojuma x / a + y / b + z / c = 1, tas ir viegli iztēloties izvietošanu plaknes attiecībā pret konkrētā koordinātu sistēmu.
koordinātas normālā vektora
normāls vektoru n plaknei P ir koordinātes, kas ir koeficienti vispārējā vienādojums plaknē, ti, n (A, B, C).
Lai noteiktu koordinātas normālā n, ir pietiekami, lai zinātu vispārējo vienādojums noteiktā plaknē.
Lietojot vienādojumu segmentos, kas ir forma x / a + y / b + z / c = 1, kā pielietojot vispārējo vienādojumu var rakstīts koordinātas jebkura normāla vektora attiecīgajā plaknē: (1 / a + 1 / b +1 / s).
vērts atzīmēt, ka normāls vektors palīdz atrisināt dažādas problēmas.Visbiežāk ir problēmas, ir pierādījums perpendikulārās vai paralēlās plaknēs, uzdevums atrast leņķi starp plaknēm vai leņķi starp plaknēm un līnijas.
view plakne vienādojums atbilstoši vietai koordinātām un normālu vektora
nulle vektora n, perpendikulāri uz konkrētu lidmašīnu, ko sauc par normālu (normālā) attiecīgajā plaknē.
pieņemam, ka koordinātu telpu (taisnstūra koordinātu sistēma) Oxyz jautāja:
- Mₒ punktu ar koordinātēm (hₒ, uₒ, zₒ);
- nulles vektors n = A * i + j + B C * * k.
nepieciešams veikt vienādojums plaknē, kas iet caur punktu perpendikulāri normālu Mₒ n.Telpā
izvēlēties jebkuru patvaļīgu punktu un ļaut viņai M (x y, z).Let rādiuss vektoru saskaņā ar jebkuru punktā M (x, y, z) ir R = x * i + y * j + z * k, un rādiuss vektors punktveida Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j + zₒ * k.Punkts M pieder attiecīgajā plaknē, ja vektors ir perpendikulārs vektors MₒM n.Mēs rakstīt orthogonality stāvokli, izmantojot skalārā produktu:
[MₒM, n] = 0.
Kopš MₒM = r-rₒ, vektora vienādojums plaknē izskatīsies šādi:
[r - rₒ, n] = 0.
Šis vienādojums var būt dažādas formas.Šim nolūkam, īpašībām skalāro produktu, un pārveidoja kreisajā pusē vienādojumu.[r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Ja [rₒ, n] apzīmēts kā s, mēs iegūstam šādu vienādojumu: [r, n] - C = 0 vai [r, n] = s, kas izsaka konsekvenci prognozēm par normālu vektoru rādiusa-vektoriem no dotajiem punktiem, kas pieder pie plaknes.
Tagad jūs varat saņemt veida ieraksta koordinēt mūsu lidmašīna vektoru vienādojumu [r - rₒ, n] = 0. Tā kā r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * Kun n = A * i + j + B C * * k, mums ir:
izrādās, veidojas mūsu vienādojums plaknē, kas iet caur punktu perpendikulāri normālu n:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.
veids plaknes vienādojuma saskaņā ar diviem punktiem koordinātes un vektors kolineāri plaknes
definē divus punktiem M "(x ', y' z") un M '(x ", y", Z "), kā arī vektors(A ", A" un ‴).
Tagad mēs varam pielīdzināt konkrētu lidmašīnu, kas notiks, izmantojot esošo punktiem M "un M", kā arī jebkuru M punkts ar koordinātēm (x, y, z) paralēli noteiktā vektoru.
Tas M'M vektori {x, x ', y, y'; ZZ "} un M" M = {x "-X ', y' y '; z" -Z'} jābūt coplanarvektors a = (a ", A" A ‴), un ka līdzekļi (M'M, M 'M, a) = 0.
Tātad mūsu vienādojums plaknē telpā varētu izskatīties šādi:
tipa vienādojumu plaknē krustojas trīs punktus
Pieņemsim, mums ir trīs punkti (x ', y', z '), (x', y"Z"), (x ‴ Have ‴, z ‴), kas nepieder pie tās pašas līnijas.Ir nepieciešams uzrakstīt vienādojumu plakni, kas iet caur norādīto trim punktiem.Par ģeometrijas teorija apgalvo, ka šāda veida plaknes patiešām pastāv, tas ir tikai viens, un tikai.Tā kā šī plakne šķērso punktu (x ', y', z "), forma tās vienādojuma ir šāds:
Šeit A, B, un C ir atšķirīgs no nulles, tajā pašā laikā.Arī ņemot plakne šķērso divus punktus (x ', y', z ') un (x ‴ Have ‴, z ‴).Jo šis savienojums būtu jāveic šāda veida nosacījumiem:
Tagad mēs varam izveidot vienotu sistēmu vienādojumu (lineāro) ar nezināmo u, v, w:
mūsu gadījumā, x, y vai z šķiet patvaļīgs punkts, kas atbilstvienādojumu (1).Ņemot vērā, (1) un vienādojumu sistēmu vienādojumu (2) un (3), kas ir par vienādojumu sistēma parādīts attēlā iepriekš, vektora atbilst N (A, B, C), kas ir netriviāls.Tas ir tāpēc, ka noteicošais sistēmas ir nulle.
Vienādojums (1), ko mēs esam ieguvuši, tas ir vienādojums plaknē.Pēc 3. punktā viņa tiešām iet, un tas ir viegli pārbaudīt.Lai to paveiktu, mēs sadalīties noteicošais elementiem, kas atrodas pirmajā rindā.No esošajām īpašībām noteicošais tas nozīmē, ka mūsu plakne, tajā pašā laikā krustiem sākotnēji dotas punkti (x ', y', Z '), (X', Y ', Z'), (X ‴ have ‴, z ‴).Tāpēc mēs nolēmām likt pirms mums.
divskaldnis Leņķis starp plaknēm
divplakņu leņķi ir telpisko ģeometriskas formas, ko veido divas pusi-plaknēm, kas nāk no tās pašas līnijas.Citiem vārdiem sakot, šī telpas daļa, kas ir ierobežots ar pusi plaknē.
Pieņemsim, ka mums ir divas lidmašīnas ar šādiem vienādojumiem:
Mēs zinām, ka vektori N = (A, B, C) un N¹ = (A¹, H¹, S¹) saskaņā ar komplektu perpendikulārās plaknēs.Šajā sakarā leņķis φ starp vektoriem N un N¹ vienāds leņķis (divskaldnis), kas atrodas starp šīm plaknēm.Skalāro produkts izsaka:
NN¹ = | N || N¹ | cos φ,
tieši tāpēc
cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (å ² + V²s² +)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).
ir pietiekami, lai uzskatītu, ka 0≤φ≤π.
faktiski divas lidmašīnas, kas krustojas, veidojot divus leņķus (divskaldnis): φ1 un φ2.Summa ir vienāda ar to π (φ1 + φ2 = π).Runājot par to mājīgumu, to absolūtās vērtības ir vienādas, taču tie ir dažādas pazīmes, tas ir, cos φ1 = -cos φ2.Ja vienādojumā (0) aizstāj ar A, B un C -A, -B un -C attiecīgi vienādojumu, mēs iegūstam, noteiks pašu lidmašīnu, tikai leņķis φ vienādojumā cos φ = NN1 / | N|| N1 | tiks aizstāts ar π-φ.
vienādojumu perpendikulāri plaknei perpendikulāri
sauc plakni, starp kuru leņķis ir 90 grādi.Izmantojot iepriekš iesniegto materiālu, mēs varam atrast vienādojumu plaknē perpendikulāri uz otru.Pieņemsim, ka mums ir divas lidmašīnas: Ax + By + Cz + D = 0 un A¹h + S¹z V¹u + D = 0.Mēs varam teikt, ka tie ir perpendikulāri ja cosφ = 0.Tas nozīmē, ka AA¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.
vienādojums paralēlu līniju
Parallel sauc divas lidmašīnas, kas nesatur kopīgus punktus.
stāvoklis paralēlās plaknēs (to vienādojumi ir tāds pats kā iepriekšējā punktā), ir tas, ka vektori N un N¹, kas tām perpendikulāri, kolineāri.Tas nozīmē, ka šādi nosacījumi proporcionalitātes:
A / A¹ = V / H¹ = C / S¹.
Ja nosacījumi samērīguma tiek paplašināti - A / A¹ = V / H¹ = C / S¹ = DD¹,
tas norāda, ka datu plakni pats.Tas nozīmē, ka vienādība Ax + By + Cz + D = 0 un + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 aprakstītu vienu plakni.
attālums no plaknes, no punkta
Pieņemsim, ka mums ir P plakne, kas ir sniegto vienādojumu (0).Ir nepieciešams atrast savu attālumu no punkta ar koordinātām (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.Lai to izdarītu, jums ir nepieciešams, lai vienādojumu plaknes P normālā veidā:
(ρ, v) = P (r≥0).
Šajā gadījumā, ρ (x, y, z) ir rādiuss vektors mūsu punkts Q, kas atrodas uz n, P - ir perpendikulāra attālums P, kas ir atbrīvots no nulles punkta, v - ir vienība vektors, kas atrodas virzienā uz.
atšķirība ρ-ρº rādiuss vektors of punktu Q = (x, y, z), kas pieder P un rādiuss vektors no konkrētā punktā Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) ir šāda vektors, absolūtā vērtībakura prognozes v vienāds ar attālumu d, kas ir nepieciešams, lai atrastu no Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, bet
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = P (ρ0, v).
Izrādās,
d = | (ρ0, v) p |.
tagad redzams, lai aprēķinātu attālumu d no Q0 uz P plakni, jums ir izmantot parasto formu vienādojumu plaknei, pāreju pa kreisi no upes, un pēdējo vietu x, y, z aizstājējs (hₒ, uₒ, zₒ).
Tādējādi, mēs atrast absolūto vērtību iegūtā izteiksme, kas tiek prasīta d.
Izmantojot valodas iestatījumus, mēs iegūstam acīmredzama:
D = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (å ² + V² + s²).
Ja kāds punkts Q0 ir otrā pusē P plakni kā izcelsmi, starp vektoru P-ρ0 un v ir stulbs leņķis, tādējādi:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) -p & gt; 0.
Gadījumā, kad punkts Q0 kopā ar izcelsmi, kas atrodas tajā pašā pusē, U, izveidotais leņķis ir akūts, kas ir:
d = (ρ-ρ0, v) = P - (ρ0, v) & gt;0.
Rezultāts ir tāds, ka pirmajā gadījumā (ρ0, v) & gt; p, otrais (ρ0, v) & lt; p.
plakni un tās vienādojums
Attiecībā uz plaknes virsmai pie kontaktpunkta Mº - plakne, kas satur visu iespējamo pieskaras līkni caur šo punktu uz virsmas.
Šāda veida virszemes F (x, y, z) = 0 vienādojums plakni pie pieskares punkts Mº vienādojuma (hº, uº, zº) varētu izskatīties šādi:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.
Ja jūs norādiet skaidri virsmas z = f (x, y), tad pieskares plakne tiek aprakstīta ar vienādojumu:
z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y- uº).
krustojumā divām plaknēm
trīsdimensiju telpā ir koordinātu sistēma (taisnstūra) Oxyz, ņemot vērā divas lidmašīnas P "un P", kas pārklājas un nav vienādas.Tā jebkurā plaknē, kas ir taisnstūra koordinātu sistēmu definē vispārējo vienādojumu, mēs pieņemam, ka n 'un n "ir doti ar vienādojumu A' X + + V'u S'z + d '= 0 un A" x + B "y +Ar "D + Z" = 0.Šajā gadījumā mums ir normāla n "(A ', B', C ') no plaknes P" un normālā n "(A", B ", C") no plaknes P ".Tā kā mūsu lidmašīna nav paralēlas un nesakrīt, šie vektori nav kolineāri.Izmantojot valodu matemātiku, mums ir šis nosacījums var uzrakstīt kā: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * In ", λ * C"), λεR.Ļaujiet taisnu līniju, kas atrodas krustojumā P "un P", tiks apzīmēts ar burtu A, šajā gadījumā a = n '∩ P ".
a - tas ir tiešs, kas sastāv no kopumu punktiem (kopumā) lidmašīnas P "un P".Tas nozīmē, ka koordinātes jebkurā punktā, kas pieder pie līnijas un ir vienlaicīgi apmierināt vienādojumu A 'X + + V'u S'z + D' = 0, un "X + B" Jā + C "Z + D" = 0.Tad koordinātas vietai, būs īpaši risinājums no šādiem vienādojumiem:
Rezultāts ir tāds, ka lēmums (General) sistēmas vienādojumu noteiks koordinātes katru punktu līnijas, kas būs krustpunkts P "un P", un noteikt tiešo unkoordinātu sistēmā Oxyz (taisnstūra) telpā.
