geometrische progressie belangrijk wiskunde als wetenschap en toegepaste betekenis, omdat het een zeer breed toepassingsgebied, zelfs bij hogere wiskunde, zeg, de theorie van de serie.De eerste informatie over de voortgang kwam bij ons uit het oude Egypte, in het bijzonder in de vorm van een bekend probleem van de Rhind papyrus zeven personen met zeven katten.Variaties van dit probleem vele malen herhaald op verschillende tijden uit andere landen.Zelfs de grote Leonardo van Pisa, beter bekend als Fibonacci (XIII c.), Sprak met haar in zijn 'Boek van het telraam. "
Dus, meetkundige reeks heeft een eeuwenoude geschiedenis.Het is een numerieke reeks met eindige eerste termijn en elk daaropvolgend vanaf het tweede, wordt bepaald door de vorige herhaling formule voor permanente, niet-nul getal, genaamd de noemer (berekend wordt meestal aangeduid met de letter q) vermenigvuldigen.
Vanzelfsprekend kan worden vastgesteld door elke volgende periode van de sequentie delen met de vorige, dat wil zeggen twee z: z 1 = ... = zn: z n-1 = ....Bijgevolg is de taak van de progressie (zn) is voldoende om de waarde kennen van het was het eerste lid van y 1 en de noemer q.
bijvoorbeeld, laat z 1 = 7, q = - 4 (q & lt; 0), dan hebben we de volgende geometrische progressie 7-28, 112-448, ....Zoals u kunt zien, is de resulterende volgorde is niet monotoon.
Bedenk dat een willekeurige sequentie van monotoon (verhogen / verlagen) wanneer elk van zijn toekomstige leden van meer / minder dan de vorige.Bijvoorbeeld, de sequentie 2, 5, 9, ... en -10, -100, -1000, ... - monotone, de tweede daarvan - exponentieel afneemt.
In het geval q = 1, alle leden van de progressie gelijk zijn verkregen en wordt constant genoemd.
Om reeks was de progressie van dit type, moet het voldoen aan de volgende noodzakelijke en voldoende voorwaarde, namelijk: vanaf het tweede, elk van zijn leden moet het meetkundig gemiddelde van de naburige lidstaten.
Deze eigenschap maakt het mogelijk onder bepaalde twee aangrenzende bevinding willekeurige term progressie.
n-de term van een meetkundige reeks is gemakkelijk om de formule te vinden: Zn = z 1 * q ^ (n-1), te weten de eerste term z 1 en de noemer q.
Aangezien de numerieke sequentie waard, enkele eenvoudige berekeningen geven ons een formule voor de som van de eerste termen van de progressie, namelijk berekenen:
Sn = - (zn * q - z 1) / (1 - q).
vervangen in de formule waarde zn de uitdrukking z = 1 * q ^ (n-1) naar een tweede hoeveelheid van de progressie van de formule: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).
aandacht verdient het volgende interessant feit: de kleitablet gevonden bij opgravingen van het oude Babylon, die verwijst naar de VI.BC bevat opmerkelijk de som van 1 + 2 + 22 ... + 29 gelijk aan 2 in de tiende macht minus 1. De verklaring van dit fenomeen is niet gevonden.
We merken een van de eigenschappen van geometrische progressie - een constante werk van haar leden, verdeeld op gelijke afstand van de uiteinden van de reeks.
bijzonder belangrijk vanuit een wetenschappelijk oogpunt, zoiets als een oneindige meetkundige reeks en het berekenen van het bedrag ervan.Ervan uitgaande dat (yn) - een meetkundige reeks met een noemer q, die voldoet aan de voorwaarde | q | & lt;1, zal de grens van het door de reeds bekende ons de som van de eerste leden som genoemd, met onbegrensde toename van n, zodat deze naar oneindig.
vindt bedrag als gevolg van het gebruik van de formule:
Sn y = 1 / (1-q).
En, zoals de ervaring leert, de schijnbare eenvoud van deze vooruitgang is verborgen een enorme toepassingsmogelijkheden.Bijvoorbeeld als we construct een sequentie van vakjes op het volgende algoritme verbindt de middens van de vorige, dan vormen zij een vierkant oneindige meetkundige reeks heeft noemer 02/01.Dezelfde progressie vorm driehoeken en vierkanten verkregen in elke fase van de bouw en de som gelijk aan het oppervlak van het oorspronkelijke veld.
