-Line - jest to szczególny przypadek czworoboku, który ma jedną parę boków równoległych jest.Termin "Keystone" pochodzi od greckiego słowa τράπεζα, czyli "stół", "stół".W tym artykule weźmiemy pod uwagę rodzaje trapezu i jego właściwości.Ponadto przyjrzymy się, jak obliczyć poszczególne elementy rysunku geometrycznego.Na przykład, przekątna trapezu równobocznego, środkowej linii, obszaru, i innych. Materiał jest prezentowany w stylu popularnej elementarnej geometrii, t. E. W łatwo dostępnej formie.
Ogólne
Najpierw zrozumieć, co czworobok.Liczba ta jest szczególnym przypadkiem wielokąta mającego cztery boki i cztery wierzchołki.Dwa wierzchołki czworokąta, który nie przylegające nazywane są przeciwne.To samo można powiedzieć o dwóch nie sąsiadujących ze sobą boków.Główne rodzaje czworokątów - równoległoboku, prostokąt, diament, kwadrat, trapez i naramienny.
Więc z powrotem na trapezie.Jak już powiedzieliśmy, ta dwa boki są równoległe.Są one zwane zasady.Pozostałe dwa (nie-równoległe) - stron.Materiały, z różnych badań i badań bardzo często można znaleźć zadania związane z trapezów, których rozwiązanie wymaga często wiedzy studenta, nie jest przewidziane przez program.Oczywiście geometria szkoła wprowadza studentów własności kątów i przekątnych i linii środkowej trapezu równoramiennego.Ale poza tym, o których mowa geometryczny rysunek ma inne możliwości.Ale o nich później ... Rodzaje
trapez
Istnieje wiele rodzajów tego rysunku.Jednakże, większość zgodziła się rozważyć dwie z nich - i prostokątne równoramiennego.
1. Prostokątny Trapez - postać, w którym jedna ze stron prostopadłe do podstawy.Ona ma dwa kąty są zawsze dziewięćdziesiąt stopni.
2. trapezu równoramiennego - figura geometryczna, którego boki są równe.A to oznacza, a kąty w par zasad, jak równe.
główne zasady metod do badania właściwości trapezu
podstawowymi zasadami obejmują stosowanie tzw zadaniowy.W rzeczywistości, nie ma potrzeby, aby wejść w geometrii teoretycznej kursu nowych właściwości tego rysunku.Mogą być otwarte lub w procesie opracowywania różnych zadań (lepsza System).Bardzo ważne jest, że nauczyciel wie, jakie zadania należy umieścić z przodu studentów w danej chwili procesu edukacyjnego.Ponadto, każdy trapez właściwość może być reprezentowana jako kluczowy zadania w zadaniu.
Drugą zasadą jest tzw organizacja spirala studiów "niezwykłą" własności trapezu.Oznacza to powrót do procesu uczenia się do indywidualnych cech figury geometrycznej.W ten sposób łatwiej jest zapamiętać ich studenci.Na przykład, cztery punkty fabularne.Można wykazać, jak w przypadku badań podobieństwa, a następnie przy użyciu wektorów.I równych trójkątów sąsiadujących boków rysunku, można wykazać za pomocą nie tylko właściwości trójkąty równe wysokości, wykonanych na bokach, które znajdują się w linii prostej, ale także o wzorze S = 1/2 (ab * sinα).Ponadto, możliwe jest wypracowanie twierdzenie sinusów wpisanych na trapezie lub trójkąta prostokątnego opisanego na trapezie i tak dalej D.
wykorzystanie "pozalekcyjnych" Funkcje geometryczny rysunek w treści kursu szkolnego -. Wielozadaniowych jest technologia ich nauczania.Stała odniesienie do badania właściwości z upływem drugiej pozwala studentom uczyć się trapez głębiej i zapewnia rozwiązania zadań.Tak więc przystępujemy do badania tej niezwykłej postaci.
elementy
i właściwości trapezu równoramiennego
Jak już wspomniano, w tej figury geometrycznej boki są równe.Jednak to znane jako prawo trapezu.A co ona jest tak niezwykłe i dlaczego ma swoją nazwę?Cechy szczególne tej liczby dotyczy, że nie tylko równe boki i kąty przy podstawach, ale także po przekątnej.Ponadto, kąty równoramiennego trapezu jest równa 360 stopni.Ale to nie wszystko!Wszystkich trapezów równoramiennych tylko wokół okręgu może być opisane.Jest to spowodowane tym, że suma kątów przeciwległych na rysunku wynosi 180 °, ale tylko wtedy, gdy stan ten można opisać okrąg wokół quad.Następujące właściwości figur geometrycznych uważa się, że odległość od górnej części podstawy przeciwległej do występu wierzchołka na linii prostej, która zawiera ten bazowa równa środkowej.
Teraz przyjrzyjmy się, jak znaleźć rogi trapezu równoramiennego.Rozważmy przypadek rozwiązania tego problemu, pod warunkiem, że w znanych wymiarach boków rysunku.Decyzja
zazwyczaj prostokąt jest oznaczone literami A, B, C, D, gdzie BC i AD - fundacja.W równoramienne strony Trapez są równe.Zakładamy, że X jest równa wielkości i wielkość podstawy jest Y, i Z (mniejszych i większych, odpowiednio).Aby przeprowadzić obliczenia kąta niezbędnego do utrzymywania w wysokości H. wynik jest trójkątem prostokątnym ABN, gdzie AB - przeciwprostokątna i BN i - nogi.Obliczyć wielkość AN tylne: z podstawą zajmuje mniej, a wynik dzieli się przez 2. We zapisu w postaci wzoru: (ZY) / 2 = F. A teraz, w celu obliczenia ostrego kąta trójkąta, przy wykorzystaniu cos funkcyjnych.Otrzymujemy następujący wpis: cos (β) = X / F.Teraz możemy obliczyć kąt: β = Arcos (X / F).Ponadto, wiedząc, jeden róg, możemy określić sekund, bo to jest elementarna operacja arytmetyczna: 180 - β.Wszystkie kąty są zdefiniowane.
Jest drugim rozwiązaniem tego problemu.Na początku możemy pominąć od rogu do obliczenia wartości nogi wysokość H. BN.Wiadomo, że kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równa sumie kwadratów dwóch pozostałych boków.Dostajemy: BN = √ (X2 F2).Następnie używamy funkcji trygonometrycznych tg.Wynikiem jest: β = arctg (BN / F).Kąt ostry znaleźć.Następnie, wyznaczają kąt rozwarty podobny do pierwszego sposobu.
przekątne majątkowych trapezu równoramiennego
pisać pierwsze cztery zasady.Jeśli przekątnej równoramiennego trapezu prostopadłego, a następnie:
- wysokość rysunku jest sumą zasady, podzielonej przez dwa;
- jego wysokość i środkowym wierszu są równe;
- powierzchnia trapezu jest równa kwadratu wysokości (środkowej linii, połowę sumy zasad);
- przekątna kwadratu jest połowa sumy kwadratu podstaw lub dwa razy na placu linii średniej (wysokość).
teraz rozważyć formułę określającą przekątna trapezu równoramiennego.Ta informacja może być podzielony na cztery części:
długości 1. Wzór po przekątnej niej.
przyjmuje się, że - dolna podstawa, B - górna C - równe boki, D - po przekątnej.W tym przypadku, długość może być określona w następujący sposób:
D = √ (C 2 * B +).
2. Wzór na długość przekątnej twierdzenie cosinusów.
przyjmuje się, że - dolna podstawa, B - górną C - równe boki, D - po przekątnej, α (na dolnym poziomie) i β (górna podstawa) - narożniki trapezu.Otrzymujemy następujący wzór, za pomocą którego można obliczyć długość przekątnej:
D = √ - (A2 + S2-2A * Na * cosα);
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).
3. długości formuła przekątnych trapezu równoramiennego.
przyjmuje się, że - dolna podstawa, B - górna, D - przekątna, M - środkowa linia, H - wysokość, P - pole powierzchni trapezu, α i β - kąt między przekątnymi.Określ długość wzorów:
- D = √ (M2 + H2);
- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);
- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M + H / sinα).
Adhoc równość: sinα = sinβ.
4. Wzór po przekątnej długości i wysokości części.
przyjmuje się, że - dolna podstawa, B - górna C - boki, D - przekątna, H - wysokość, α - kąt dolnej podstawy.
określenie długości z następujących wzorów:
- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);
- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);
- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C 2 H 2)).
elementy
i właściwości prostokątnego trapezu
Zobaczmy, co to jest ciekawe geometryczne kształty.Jak już powiedzieliśmy, możemy mieć prostokątny trapez dwa kąty proste.
Oprócz klasycznej definicji, są inni.Na przykład, prostokątny trapez - trapezu, którego jeden bok jest prostopadła do podłoża.Lub kształty mające pod kątami bocznymi.W tego typu wysokości trapezów jest strona, która jest prostopadła do podstawy.Linia środkowa - odcinek łączący środkowe obu stronach.Własność tego elementu jest to, że jest równoległa do podstaw i jest równa połowie ich sumy.
Teraz rozważmy podstawowe wzory, które definiują kształty geometryczne.W tym celu należy przyjąć, że A i B - baza;C (prostopadle do podłoża) i D - część trapezu prostokątnego, M - środkowej linii, α - ostrego kąta, P - Square.
1. boczne, prostopadłe do podstawy, Figura równej wysokości (C = N), i jest równa długości drugiej strony A i sinusa α kąt przy wyższej masy (C = A * sinα).Ponadto, jest równy iloczynowi tangensa kąta ostrego α i różnicę w bazach: C = (A-B) * tgα.
2. strona D (nie prostopadle do podłoża) równej ilorazowi różnicy A i B i cosinus (α) kąt ostry lub prywatne wysokość rysunek H i zatok ostry kąt: = (A-B) / cos α = C / sinα.
3. bocznej, która jest prostopadła do podstawy równej pierwiastek kwadratowy różnicy między kwadratowy D - a - druga z boku kwadratu różnicy pomiędzy wartością:
C = √ (q2 (AB 2)).
4. Partia trapezu prostokątnego jest równa pierwiastek z sumy kwadratu bocznego C, a różnica między kwadratowych bazach geometrycznych kształtów: D = √ (C2 + (B) 2).
5. side C jest równa ilorazowi sumy podwójnego obszarze jego przyczyn: C = P / M = 2n / (A + B).
6. Obszar zdefiniowany przez M produktu (linia środkowa trapezu prostokątnego) do wysokości lub z boku, prostopadle do podstawy: P = M * N = M * C
7. Partia C jest równa ilorazowi dwukrotnie obszarze rysunku w pracach zatok ostrego kąta, a suma jego podstaw: C = P / M * sinα = 2n / ((A + B) * sinα).
boku 8. Formuła trapezu prostokątnego jego przekątna i całej kąta między nimi:
- sinα = sinβ;
- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,
w których D1 i D2 - diagonal trapezu;α i β - kąt między nimi.
boku 9. Wzór poprzez rogu na dolnej podstawy i innych stron: D = (A-B) / cosα = C / sinα = N / sinα.
Od trapezu z kątem prostym jest szczególnym przypadkiem trapezu, inne wzory, które określają te dane będzie poznać i prostokątne.
Właściwości
koła wpisanego
Jeśli warunek jest powiedziane, że w prostokątnym kształcie trapezu wpisanego koła, można korzystać z następujących właściwości:
- kwota jest sumą baz stron;
- odległość od górnej kształcie prostokąta do punktów styczności okręgu wpisanego jest zawsze równa;
- równa wysokości boku trapezu, prostopadłej do podstawy i jest równa średnicy koła;
- Środek okręgu jest punkt, w którym przecinają się dwusieczne kątów;
- jeżeli strona jest podzielony na segmenty w punkcie styku H i M, a promień koła jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z produktem z tych segmentów;
- czworokąt, które tworzą punkty styczności, wierzchołek trapezu i środkiem okręgu wpisanego - jest kwadratem o boku jest równa promieniowi;
- obszar rysunku jest równa iloczynowi niepełnym sumy i podstaw do jego wysokości.
Podobny trapez
Ten temat jest bardzo przydatne do badania własności figur geometrycznych.Na przykład, po przekątnej trapez podzielony na cztery trójkąty i przylega do podstawy są podobne, a po bokach - o równe.Stwierdzenie to można nazwać własnością trójkątów, które są łamane trapez przekątnych.Pierwsza część tej wypowiedzi świadczy wskazanie podobieństwa w dwóch rogach.Aby udowodnić, druga część jest lepiej użyć metody poniżej.
dowód
przyjmuje się, że figura ABSD (AD i BC - podstawa trapezu) jest złamane przekątne HP i AC.Punkt przecięcia - O. Otrzymujemy cztery trójkąty: AOC - w dolnej podstawy, BOS - Na górnej podstawy, ABO i SOD po bokach.Trójkąty SOD i biofeedbacku mają wspólną wysokość w tym przypadku, jeśli segmenty są CD i OD ich podstawy.Uważamy, że różnica w ich obszarach (P) jest równa różnicy między tymi segmentami: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Stąd PSOD PBOS = / K.Podobnie, trójkąty AOB biofeedback i mają wspólną wysokość.Akceptujemy ich segmenty bazowych SB i OA.Dostajemy PBOS / PAOB = CO / OA = k i PAOB PBOS = / K.Wynika z tego, że PSOD = PAOB.
Aby skonsolidować materiał jest zalecany dla studentów, aby znaleźć połączenie między obszarami trójkątów otrzymanych, który jest uszkodzony trapez przekątnych, decydując kolejne zadanie.Wiadomo, że trójkąty BOS i ADP obszary są równe, musisz znaleźć obszar trapezu.Od PSOD = PAOB, to PABSD PBOS + = + 2 * PAOD PSOD.Z podobieństwa trójkątów BOS i ADP pokazuje, że BO / OD = √ (PBOS / PAOD).W związku z tym, PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD).Dostajemy PSOD = √ (* PBOS PAOD).Następnie PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.
Właściwościpodobieństwo
Kontynuacja rozwijać tego tematu, można udowodnić inne interesujące cechy trapezów.W ten sposób, przy użyciu podobieństwo może okazać sekcji właściwości przechodzący przez punkt utworzonej przez przecięcie przekątnych tej figury geometrycznej, równoległej do podstawy.Aby to zrobić, będzie rozwiązać następujący problem: trzeba znaleźć długość segmentu RK, która przechodzi przez punkt O. Z podobieństwa trójkątów ADP i biofeedback wynika, że AO / OS = BP / BS.Z podobieństwa trójkątów ADP i ASB wynika, że AB / AC = PO / BS = AD / PN + (BP).Oznacza to, że PO = BS * BP / BS + (BP).Podobnie, z podobieństwa trójkątów MLC i DBS wynika, że OK = BS * BP / BS + (BP).Oznacza to, że PO = OK i RK = 2 * BS * BP / BS + (BP).Segment przechodzącą przez punkt przecięcia przekątnych, równolegle do podstawy i połączenie dwóch boków podzielonej punktu przecięcia dwóch.Jego długość - jest średnią harmoniczną z podstaw rysunku.
Rozważmy następujący jakości trapez, który jest nazywany własnością czterech punktów.Punkty przecięcia się przekątnych (D), przecięcia nadal boki (E) i średnim bazowe (T i G) zawsze znajdują się na tej samej linii.Można to łatwo potwierdzone podobieństwa.Te trójkąty BES i AED są podobne, a w każdym z nich, a mediana ET HEDGEHOG podzielić kąt wierzchołkowy E w równych częściach.W związku z tym, punkt E, T i F są współliniowe.Podobnie, w tej samej linii są rozmieszczone względem T, O i G. Wynika to z podobieństwa trójkątów BOS i ADP.Stąd wnioskować, że wszystkie cztery punkty - E, T, O i F - znajdzie się w linii prostej.
Stosując podobne trapezy, mogą być oferowane do studentów, aby znaleźć długość segmentu (LF), która dzieli się na dwa podobnej figury.Segment ten jest równoległy do podstawy.Od uzyskać trapez ALFD i LBSF podobna, BS / LF = LF / AD.Oznacza to, że LF = √ (BS * BP).Okazuje się, że pierścień zerwania jak trapezu w dwóch, posiada długość równą średniej geometrycznej długości wzoru bazowego.
Rozważmy następującą właściwość podobieństwa.Jest on oparty na segmencie, który dzieli się na dwie równe trapezowego kawałki wielkości.Akceptujemy Keystone ABSD segment ten jest podzielony na dwie części, jak EN.Z górnej części B, obniża wysokość tego segmentu jest podzielony na dwie części - EN B1 i B2.Otrzymujemy PABSD / 2 = (PN-EN +) * B1 / 2 = (AD + PL) * B2 / 2 = PABSD (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Następnym składających się na system, pierwszy równanie (BS EN +) * = B1 (AD + EN) * B2 i drugi (BS EN +) * = (B1 BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Wynika z tego, B2 / B1 = (BS EH +) / (AD + EH) oraz BS EN + = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1).Okazuje się, że długość segmentu podzielenie trapezowego na dwie jednakowej wielkości, równej średniej kwadratowej długości podstawy: √ ((BS2 + W2) / 2).Wnioski
podobieństwa
ten sposób udowodniliśmy, że:
1. odcinek łączący w środku boków trapezowych, równolegle do AD i BC i jest równa średniej BC i AD (długość podstawy trapezu).
2. Linia przechodząca przez punkt przecięcia przekątnych AD równoległe i BC będzie równa średnią harmoniczną liczb BP i BS (2 * BS * BP BS + / (BP)).
3. Wytnij, łamiąc na trapezie jak, ma długość średniej geometrycznej BC baz i AD.
4. Element, który dzieli się na dwie równe postać wielkości, ma długość średnich kwadratowych ilości AD i BC.
Aby utrwalić materiał i zrozumienie powiązań pomiędzy segmentami studenta należy budować je do określonego trapezie.Co to znaczy?
