A soma dos ângulos de um triângulo.

triângulo é um polígono que tem três lados (os três ângulos).O lado mais comum representar letras pequenas, a letra correspondente do capital social que designa os vértices opostos.Neste artigo vamos dar uma olhada nestes tipos de formas geométricas, o teorema que determina qual é igual à soma dos ângulos de um triângulo.Tipos

maiores ângulos

seguinte tipos de polígono de três vértices:

• acutângulo em que todos os ângulos agudos;
• rectangular que tem um ângulo reto com o lado de sua imagem, chamados pernas, eo lado que é colocado em frente ao ângulo direito é chamado de hipotenusa;
• obtuso quando um ângulo obtuso é;Isósceles
• , que os dois lados iguais, e eles são chamados de lateral, eo terceiro - a base do triângulo;
• equilátero ter três lados iguais.

Propriedades

Há propriedades básicas que são características de cada tipo de triângulo:

• frente ao lado maior sempre tem um ângulo grande, e vice-versa;
• lados opostos de igual magnitude são ângulos iguais, e vice-versa;
• tem qualquer triângulo tem dois ângulos agudos;
• ângulo externo é maior do que qualquer ângulo interno não está relacionado a ele;
• soma de quaisquer dois ângulos é sempre inferior a 180 graus;
• ângulo externo é igual à soma dos outros dois cantos que não estão mezhuyut ele.

teorema sobre a soma dos ângulos de um triângulo

teorema indica que se somar todos os cantos da figura geométrica, que está localizado no plano de Euclides, a sua soma será de 180 graus.Vamos tentar provar este teorema.

Deixe temos um triângulo arbitrário com vértices KMN.Através top M desenhar uma linha paralela à linha de KN (mesmo esta linha é chamada de linha de Euclides).Deve-se notar o ponto A de tal modo que o ponto K e A foram localizados em lados diferentes MN linear.Ficamos com o mesmo ângulo e AMS MUF, que, como a mentira interior transversalmente para formar interseção MN em cooperação com NC e MA linhas que são paralelas.Disto segue-se que a soma dos ângulos de um triângulo localizado nos vértices de m e n é igual ao tamanho do ângulo de CMA.Todos os três ângulos consistir numa quantia igual à soma dos ângulos CMA e MCS.Uma vez que esses ângulos são internos em relação a linhas paralelas e unilaterais CN MA no KM corte, sua soma é de 180 graus.QED.

De cima deste teorema implica o seguinte corolário: todo o triângulo tem dois ângulos agudos.Para provar isso, vamos supor que esta figura geométrica tem somente um ângulo agudo.Além disso, pode assumir-se que nenhum ângulo não é agudo.Neste caso, deve ser, pelo menos, dois ângulos, a magnitude do qual é igual a ou maior do que 90 graus.Mas, em seguida, a soma dos ângulos é maior do que 180 graus.E isso não pode ser, uma vez que pelo Teorema soma dos ângulos de um triângulo é 180 ° - nem mais, nem menos.Isso é o que tinha que ser provado.

propriedade fora cantos

Qual é a soma dos ângulos de um triângulo, que são externas?A resposta a esta pergunta pode ser obtida usando um dos dois métodos.A primeira é a necessidade de encontrar a soma dos ângulos, que são tomadas uma em cada vértice, isto é, três ângulos.A segunda implica que você precisa para encontrar a soma dos seis ângulos nos vértices.Para começar com o acordo da let com o primeiro.Assim, o triângulo tem seis ângulos exteriores - em cada vértice dos dois.Cada par tem ângulos iguais uns aos outros, porque eles são verticais:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

disso, sabe-se que o ângulo exterior do triângulo é igual à soma dos dois interior, não são mezhuyutsya com ele.Portanto,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Acontece que a soma dos ângulos externos são levados um a um perto do topo de cada um, será igual a:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A ∟S + + + + + ∟A ∟V ∟V ∟S= 2 x (+ ∟A ∟V + ∟S).

Dado o fato de que a soma dos ângulos é igual a 180 graus, pode-se argumentar que ∟A + ∟V ∟S = + 180 °.Isto significa que ∟1 + ∟2 ∟3 + = 2 x = 180 ° 360 °.Se a segunda opção é utilizada, então a soma dos seis ângulos será correspondentemente maior duplicou.Que é a soma dos ângulos exteriores de um triângulo será:

∟1 ∟2 + + + ∟3 ∟4 + ∟5 ∟6 + = 2 (x + ∟1 ∟2 ∟2 +) = 720 °.

triângulo retângulo

O que é igual à soma dos ângulos de um triângulo retângulo é a ilha?A resposta, mais uma vez, do Teorema, que afirma que os ângulos de um triângulo somam 180 graus.E os nossos sons de declaração (propriedade) da seguinte forma: no triângulo retângulo ângulos agudos adicionar até 90 graus.Nós provar a sua veracidade.Vamos lá ser dado um triângulo KMN, que ∟N = 90 °.Temos de provar que ∟K ∟M + = 90 °.

Assim, de acordo com o teorema de a soma dos ângulos ∟K ∟M ∟N + = + 180 °.Nesta condição, é dito que ∟N = 90 °.Acontece ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °.Isso é ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °.Isso é o que deveríamos ter de provar.

Além das propriedades acima de um triângulo retângulo, você pode adicionar estes:

• ângulos que estão contra as pernas são nítidas;
• hipotenusa triangular é maior do que qualquer uma das pernas;
• as pernas mais do que a soma da hipotenusa;
• catetos do triângulo, que se encontra em frente ao canto de 30 graus, uma metade da hipotenusa, isto é, igual a metade.

Como outra propriedade da forma geométrica pode ser identificada teorema de Pitágoras.Ela argumenta em que um triângulo com um ângulo de 90 graus (rectangulares) é igual à soma dos quadrados das pernas para o quadrado da hipotenusa.

soma dos ângulos de um triângulo isósceles

Anteriormente, dissemos que um triângulo isósceles é chamado um polígono com três vértices contendo dois lados iguais.Esta propriedade é conhecida figura geométrica: os ângulos em sua base igual.Vamos provar isso.

Tome triângulo KMN, que é isósceles, SC - sua base.Somos obrigados a provar que ∟K = ∟N.Então, vamos supor que MA - bissetriz é o nosso triângulo KMN.Triângulo MCA com o primeiro sinal de um triângulo é igual MNA.Ou seja, a condição dada, que CM = HM, MA é um lado comum, ∟1 = ∟2, porque o AI - uma bissetriz.Usando a igualdade entre os dois triângulos, pode-se argumentar que ∟K = ∟N.Assim, o teorema está provado.

Mas estamos interessados, o que é a soma dos ângulos de um triângulo (isósceles).Desde a este respeito não tem suas características, vamos começar a partir do teorema discutido acima.Ou seja, podemos dizer que ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, ou 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (como ∟K = ∟N).Esta propriedade não irá revelar como ela teorema soma dos ângulos de um triângulo foi provado anteriormente.

Também considerando as propriedades dos cantos do triângulo, também existem tais considerações importantes:

• dentro de uma altura triângulo equilátero, que foi reduzido para a base, é também a mediana, bissectriz do ângulo que se situa entre as partes iguais, bem como o eixo de simetria do seu fundamento;
• mediana (altura bissectriz), que são realizadas para os lados de uma figura geométrica são iguais.

triângulo equilátero

É também chamado de direita, é o triângulo, que são iguais para todas as partes.E, portanto, também ângulos iguais.Cada um deles é de 60 graus.Provamos essa propriedade.

Vamos supor que temos um triângulo KMN.Sabemos que KM = NM = CL.Isto significa que de acordo com os cantos de propriedades, localizado na base de um triângulo equilátero, ∟K = = ∟M ∟N.Porque de acordo com a soma dos ângulos de um triângulo teorema ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, o 3 x ∟K = 180 ° ou ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °.Assim, o dokazano.Kak indicação vista de cima sobre a base da prova do teorema, a soma dos ângulos de um triângulo equilátero como a soma dos ângulos de qualquer outro triângulo é de 180 graus.Mais uma vez provando este teorema não é necessário.

Existem ainda algumas propriedades características de um triângulo equilátero:

• mediana, bissetriz, altura em uma figura geométrica, tais são os mesmos, e seu comprimento é calculado como (a × √3): 2;
• se descrever um polígono em torno deste círculo, então o seu raio é igual a (a √3 x): 3;
• se um triângulo equilátero inscrito em um círculo, em seguida, o raio vai ser (e x √3): 6;Área
• desta figura geométrica é calculada da seguinte forma: (a2 x √3): 4.

triângulo obtuso

Por definição, triângulo obtuso-angular, um dos seus cantos é entre 90 a 180 graus.No entanto, dado que o ângulo das duas outras formas geométricas são nítidas, pode concluir-se que não excedam 90 graus.Por conseguinte, o teorema da soma dos ângulos de um triângulo de trabalho para o cálculo da soma dos ângulos de um triângulo obtuso.Assim, pode-se dizer com segurança, com base no teorema acima que a soma dos ângulos do triângulo obtuso é de 180 graus.Mais uma vez, este teorema não precisa re-prova.