-Line - este un caz special de un patrulater, care are o pereche de laturi paralele este.Termenul "Keystone" este derivat din cuvântul grecesc τράπεζα, însemnând "masă", "masă".În acest articol vom lua în considerare tipurile de trapez și proprietățile sale.De asemenea, ne uităm la modul de calculare a elementelor individuale ale figurii geometrice.De exemplu, diagonala de trapez echilateral, linia de mijloc, zona, si altele. Materialul este prezentat în stilul popular geometria elementară, t. E. Într-un format ușor accesibil.
General
primul rând, haideți să înțelegem ce patrulaterul.Această cifră este un caz special de un poligon cu patru laturi și patru noduri.Două vârfuri ale patrulaterul care nu sunt adiacente sunt numite opus.Același lucru poate fi spus de cele două părți non-adiacente.Principalele tipuri de dreptunghiuri - un paralelogram, dreptunghi, diamant, pătrat, trapez și deltoidiană.
Deci, înapoi la trapez.Așa cum am spus, această cifră cele două părți sunt paralele.Ele sunt numite baze.Celelalte două (non-paralele) - părți.Materialele diferitelor examinări și examinările de foarte multe ori, puteți găsi sarcini asociate cu trapeze a căror rezolvare necesită adesea cunoștințe elevului, nu este prevăzută de programul.Cursul geometrie școală introduce pe elevi la proprietățile unghiuri și diagonale și linia mediană a unei trapez isoscel.Dar altele decât cele menționate la o figura geometrica are alte caracteristici.Dar despre ele mai târziu ... Tipuri
trapez
Există mai multe tipuri de această cifră.Cu toate acestea, cele mai multe au fost de acord să ia în considerare două dintre ele - isoscel și dreptunghiulară.
1. Rectangular Trapez - o cifră, în care una dintre părți perpendicular pe bază.Ea are două unghiuri sunt întotdeauna nouăzeci de grade.
2. isoscel trapezoidală - o figură geometrică ale cărui laturi sunt egale.Și asta înseamnă, și unghiurile de la perechi de baze ca egal.
principalele principii ale metodelor pentru studierea proprietăților unui trapez
la principiile de bază includ utilizarea de așa-numita abordare sarcină.De fapt, nu este nevoie de a intra într-o geometrie curs teoretic de noi proprietăți ale acestei cifre.Ele pot fi deschise sau în procesul de formulare a diverselor sarcini (sistem mai bine).Este foarte important ca profesorul știe ce sarcini ai nevoie pentru a pune în fața studenților într-un anumit moment al procesului de învățământ.În plus, fiecare trapezoidale proprietate poate fi reprezentat ca o sarcină-cheie în sarcina.
doilea principiu este așa-numita organizarea spirală a studiului "remarcabil" trapez proprietate.Acest lucru implică o întoarcere la procesul de învățare pentru a caracteristicilor individuale ale figurii geometrice.Astfel, este mai ușor pentru elevi pentru a le memoreze.De exemplu, patru puncte facilitate.Se poate demonstra ca în studiul de similaritate, și ulterior folosind vectorii.Și de triunghiuri egale adiacente laturile cifra, este posibil să se dovedească, folosind nu doar proprietățile de triunghiuri cu înălțimi egale, efectuate la părți, care se află pe o linie dreaptă, dar, de asemenea prin formula S = 1/2 (ab * sinα).În plus, este posibil să se lucreze în teorema sinusurilor înscrise pe trapez sau un triunghi dreptunghic descrisă pe trapez, și așa mai departe utilizarea D.
de "extracurriculare" caracteristici o figura geometrica in continutul desigur școală -. Tasking este tehnologia de predare lor.Referire constantă pentru a studia proprietățile trecerea celuilalt permite elevilor să învețe trapez mai profundă și oferă soluția sarcinilor.Deci, vom continua la studiul această cifră remarcabilă.Elemente
și proprietăți ale unui trapez isoscel
Așa cum am observat, în această figură geometrică părțile sunt egale.Cu toate acestea, este cunoscut ca un trapez drept.Și ceea ce este ea atât de remarcabil și de ce a primit numele său?Caracteristicile speciale ale acestui cifră se referă că ea nu numai laturile egale și unghiuri de la baza, dar, de asemenea diagonală.În plus, unghiurile unui trapez isoscel este egală cu 360 de grade.Dar asta nu e tot!Dintre toate trapezoidele isoscele doar în jurul unui cerc poate fi descrisă.Acest lucru se datorează faptului că suma unghiurilor opuse în figură este de 180 de grade, dar numai atunci când această condiție poate fi descrisă printr-un cerc în jurul quad.Următoarele proprietăți ale figurilor geometrice, se consideră că distanța de la partea de sus a opus de bază la proiecția vertex pe o linie dreaptă care conține această bază va fi egală cu linia mediană.
Acum să ne uităm la modul de a găsi colțurile unui trapezoid isoscel.Să considerăm cazul soluțiilor la această problemă, cu condiția ca dimensiunile cunoscute ale laturilor figurii.Decizie
obicei dreptunghi se noteaza cu literele A, B, C, D, unde BC și AD - o fundație.Cele isoscele părți trapez sunt egale.Presupunem că X este egală cu dimensiunea lor, iar mărimea bazei este Y și Z (mai mici și, respectiv, mai mare).Pentru a efectua calculul unghiului necesar de a organiza în înălțime H. Rezultatul este un unghi drept triunghi ABN, unde AB - ipotenuza, iar BN și AN - picioarele sunt.Se calculează mărimea AN piciorului: Cu bază durează mai puțin și rezultatul se împarte la 2. Scriem ca formulă: (ZY) / 2 = F. Acum, pentru calcularea unghiului ascuțit al triunghiului folosim cos funcții.Ne-am următoarea mențiune: cos (β) = X / F.Acum vom calcula unghiul: β = arcos (X / F).Mai mult, știind un colț, putem determina a doua, pentru că este o operație aritmetică elementară: 180 - β.Toate unghiurile sunt definite.
Există un al doilea soluție la această problemă.La început ne-am omite de la colț pentru a calcula valoarea înălțimii H. picior BN.Știm că pătratul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egală cu suma pătratelor celorlalte două părți.Obținem: BN = √ (X2 F2).Apoi, vom folosi functia Tg trigonometrice.Rezultatul este: β = arctg (BN / F).Unghi ascuțit găsit.În continuare, vom defini un unghi obtuz similară prima metodă.
diagonale de proprietate ale unui trapez isoscel
scrie primele patru reguli.În cazul în care într-o diagonală isoscel trapez perpendicular, apoi:
- înălțimea cifra este suma bazelor, împărțit la doi;
- înălțimea sa și linia de mijloc sunt egale;
- zona de trapez este egală cu pătratul înălțimii (linia de mijloc, jumătate suma bazelor);
- pătrat diagonala este jumătate din suma pătratului de baze sau de două ori pătratul liniei medii (înălțime).
Acum ia în considerare formula de stabilire diagonala unui trapez echilateral.Această informație poate fi împărțită în patru părți:
lungime 1. Formula diagonală ei.
admis că A - bază inferioară, B - superior C - părți egale, D - diagonala.În acest caz, lungimea poate fi determinat după cum urmează:
D = √ (C 2 + A * B).
2. Formula pentru lungimea diagonalei de teorema cosinusului.
admis că A - bază inferioară, B - superior C - laturile egale, D - diagonala, α (la baza inferioară) și β (baza superioară) - colțurile unui trapez.Ne-am următoarea formulă, cu care puteți calcula lungimea diagonală:
- D = √ (A2 + S2-2A * La * cosα);
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).
3. lungimi formula diagonalelor unui trapez isoscel.
admis că A - bază inferioară, B - de sus, D - diagonala, M - linia de mijloc, H - inaltimea, P - zona unui trapez, α și β - unghiul dintre diagonale.Determinați lungimea următoarele formule:
- D = √ (M2 + H2);
- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);
- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M + H / sinα).
Adhoc egalitate: sinα = sinβ.
4. Formula diagonală lungimea și înălțimea părții.
admis că A - bază inferioară, B - superior C - fete, D - diagonala, H - inaltimea, α - unghiul de bază inferior.
Determinați lungimea următoarele formule:
- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);
- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);
- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C 2 H 2)).Elemente
și proprietăți ale trapezoidală dreptunghiulară
Să vedem despre ce este forme interesante geometrice.Așa cum am spus, avem un trapez rectangular două unghiuri drepte.
Pe lângă definiția clasică, mai sunt si altele.De exemplu, un trapez dreptunghiular - un trapez, dintre care o parte este perpendicular pe substraturi.Sau forme având cel unghiurile laterale.In acest tip de înălțime trapeze este partea care este perpendicular bazei.Linia de mijloc - un segment de legătură din mijloc ale celor două părți.Proprietatea acestui element este că acesta este paralel cu bazele, și este egală cu jumătate din suma lor.
Acum să ia în considerare formulele de bază care definesc formele geometrice.Pentru a face acest lucru vom presupune că A și B - bază;C (perpendicular bază) și D - partea a trapezului dreptunghiular, M - linia de mijloc, α - un unghi ascuțit, P - Square.
1. parte, perpendicular pe baza, o cifră egală cu înălțimea (C = N), și este egală cu lungimea a doua latură A și sinusul a α unghi la o bază mare (C = A * sinα).Mai mult decât atât, acesta este egal cu produsul dintre tangenta la α unghi acute și diferența de baze: C = (A-B) * tgα.
2. parte a D (nu perpendicular pe bază) egală cu raportul dintre diferența de A și B și cosinus (α) un unghi ascuțit sau o înălțime figură privat H și unghiul ascuțit sinus: A = (A-B) / cos α = C / sinα.
3. Partea care este perpendicular pe baza egal cu rădăcina pătrată a diferenței dintre pătrat D - doua parte - și pătratul diferenței dintre bazele:
C = √ (Q2 (AB 2)).
4. Partea A trapez rectangular este egal cu rădăcina pătrată a sumei de pătrate cu latura de C, iar diferența dintre bazele patrati de forme geometrice: D = √ (C2 + (A-B) 2).
5. partea C este egală cu raportul dintre suma dubla zona motivele sale: C = P / M = 2n / (A + B).
6. zona definită de M produs (linia de mijloc a unui trapez rectangular) cu înălțimea sau lateral, perpendicular pe baza: P = M * N = M * C.
7. Partidul C este egală cu raportul dintre două ori zona cifra în activitatea de unghi ascuțit sinusurilor și suma bazelor sale: C = P / M * sinα = 2N / ((A + B) * sinα).
partea 8. Formula de trapez rectangular peste diagonală și unghiul dintre ele:
- sinα = sinβ;
- C = (D1 D2 * / (A + B)) * sinα = (D1 D2 * / (A + B)) * sinβ,
unde D1 și D2 - trapez diagonala;α și β - unghiul dintre ele.
partea 9. Formula printr-un colț la baza de jos și celelalte părți: D = (A-B) / cosα = C / sinα = N / sinα.
Deoarece trapezoidală cu un unghi drept este un caz special de trapez, celelalte formule care determină aceste cifre se vor întâlni și dreptunghiulare.
Proprietăți înscris cerc
cazul în care condiția se spune că într-un cerc trapez rectangular înscris, puteți folosi următoarele proprietăți:
- suma este suma bazelor părți;
- distanța de la partea de sus a unui formă dreptunghiulară la punctele de contact ale cercului inscris este întotdeauna egal;
- egal cu înălțimea partea trapez, perpendicular bază, și este egală cu diametrul cercului;
- centrul cercului este punctul în care se intersectează Bisectors ale unghiurilor;
- dacă latura este împărțit în segmente de punctul de contact H și M, apoi raza cercului este egală cu rădăcina pătrată a produsului acestor segmente;
- patrulater, care au format punctele de contact, vârful trapezului și centrul cercului înscris - un pătrat a cărui latură este egală cu raza;
- zona din cifra este egală cu produsul dintre baza de jumătate de sumă și motive pentru înălțimea.
trapez similare
Acest subiect este foarte util pentru studierea proprietăților figuri geometrice.De exemplu, împărțiți în diagonală trapez în patru triunghiuri, și adiacent la bazele sunt similare, iar pe părțile laterale - de egale.Această declarație poate fi numit o proprietate de triunghiuri, care sunt trapez rupt diagonalele sale.Prima parte a acestei afirmații este dovedită de o indicație de similitudine în cele două colțuri.Pentru a demonstra a doua parte este mai bine să folosească metoda de mai jos.
Dovada
acceptat că cifra ABSD (AD și BC - baza trapezului) este diagonale rupt HP și AC.Punctul de intersecție - O. Ne patru triunghiuri: AOC - la baza de jos, BOS - la baza de sus, ABO și SOD la părțile laterale.Triunghiuri SOD și biofeedback au o înălțime comun în acest caz, dacă segmentele CD și OD sunt bazele lor.Constatăm că diferența în domeniile lor (P) este egală cu diferența dintre aceste segmente: OUP / PSOD = BO / ML = K. Prin urmare PSOD OUP = / K.În mod similar, AOB triunghiuri și biofeedback-ul să aibă o înălțime comun.Acceptam segmentele lor de bază SB și OA.Ne-am OUP / PAOB = CO / OA = K și PAOB OUP = / K.Rezultă că PSOD = PAOB.
Consolidarea materialul este recomandat pentru ca elevii să găsească o legătură între zonele de triunghiuri obținute, care este trapez rupt diagonalele sale, decide următoarea sarcină.Este cunoscut faptul că zonele triunghiuri BOS și ADP sunt egale, trebuie să găsiți aria unui trapez.Deoarece PSOD = PAOB, apoi PABSD OUP + = PAOD + 2 * PSOD.De similitudinea de triunghiuri BOS și ADP arată că BO / OD = √ (OUP / PAOD).Prin urmare, OUP / PSOD = BO / OD = √ (OUP / PAOD).Ne-am PSOD = √ (* OUP PAOD).Apoi PABSD OUP + = PAOD + 2 * √ (PAOD OUP *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.
Proprietăți similitudine
continuă să dezvolte această temă, puteți dovedi alte caracteristici interesante ale trapezoidele.Astfel, folosind similaritatea pot dovedi secțiune proprietate care trece prin punctul de format prin intersecția diagonalelor această cifră geometrică, paralel cu baza.Pentru a face acest lucru va rezolva următoarea problemă: aveți nevoie pentru a găsi lungimea segmentului de RK, care trece prin punctul O. Din similitudinea triunghiuri ADP și biofeedback rezultă că AO / OS = BP / BS.De similitudinea de triunghiuri ADP și ASB rezultă că AB / AC = PO / BS = AD / BS (+ BP).Aceasta implică faptul că PO = BS * BP / (BS + BP).În mod similar, de la similitudinea de triunghiuri MLC și DBS Rezultă că OK = BS * BP / (BS + BP).Aceasta implică faptul că PO = OK și RK = 2 * BS * BP / (BS + BP).Segmentul care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor, paralel cu baza și care leagă cele două părți ale punctului divizat intersecție a două.Lungimea sa - este media armonică a bazelor de cifra.
Luați în considerare următoarele trapez calitate, care se numește proprietatea cele patru puncte.Punctele de intersecție a diagonalelor (D), intersecții continua părți (E) și baza de mijloc (T și G) se află întotdeauna pe aceeași linie.Acest lucru este ușor de dovedit de similitudine.Aceste triunghiuri BES și AED sunt similare, iar în fiecare dintre ele, iar mediana ET HEDGEHOG împărți unghiul la vârf E în părți egale.Prin urmare, punctul E, T și F sunt coliniare.În mod similar, pe aceeași linie sunt aranjate în funcție de T, O, și G. Acest lucru rezultă din similitudinea triunghiuri BOS și ADP.Prin urmare, putem concluziona că toate cele patru puncte - E, T, O și F - se va intinde pe o linie dreaptă.
Folosind trapeze similare, pot fi oferite elevilor pentru a găsi lungimea segmentului (LF), care împarte în două cifre similare.Acest segment trebuie să fie paralel cu bazele.Deoarece trapez obținut ALFD și LBSF similare, BS / LF = LF / AD.Aceasta implică faptul că LF = √ (BS * BP).Considerăm că segmentul de rupere ca un trapez în două, are o lungime egală cu lungimea medie geometrică a figurii bază.
Luați în considerare următoarea proprietate de similitudine.Ea se bazează pe segment, care împarte trapezului în două bucăți de mărime egale.Noi acceptăm că segment Keystone ABSD este împărțită în două ca EN.Din partea superioară a B a redus înălțimea segmentului este împărțită în două părți EN - B1 și B2.Vom obține PABSD / 2 = (BS EN +) * B1 / 2 = (AD + RO) * B2 / 2 = PABSD (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Următorul compun sistemul, prima ecuație este (BS EN +) * B1 = (AD + RO) * B2 și două (BS EN +) * B1 = (S + BP) * (B1 + B2) / 2.Rezultă că B2 / B1 = (BS EH +) / (AD + EH) și BS EN + = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1).Găsim că lungimea segmentului, împărțind trapezului în două dimensiuni egale, egală cu lungimea medie pătratică a bazei: √ ((BS2 + w2) / 2).Concluzii
similitudinii
Astfel, am demonstrat că:
1. Segmentul linie care unește în mijlocul laturilor trapezoidale, paralel cu AD si BC si este egal cu BC mediu și AD (lungimea bazei de trapez).
2. Linia care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor paralele AD și BC va fi egal cu numărul BP medii armonice și BS (2 * BS * BP / (BS + BP)).
3. Cut, de rupere pe trapez ca, are o lungime de media geometrică a bazelor BC și AD.
4. Elementul care împarte cifra în două dimensiuni egale, are o lungime de numere medii pătrate ale AD si BC.
a consolida materialul și înțelegerea legăturilor dintre segmentele de studentul este necesar pentru a le construi pentru un anumit trapez.Ce inseamna?
.
