metóda jednoduché iterácie, tiež volal metódu postupných aproximáciou - matematický algoritmus pre nájdenie hodnoty neznámych veličín postupne objasniť to.Podstatou tejto metódy je, že, ako názov napovedá, sa postupne vyjadrujú počiatočné aproximáciu následnej žiadosti, sú stále viac presnejších výsledkov.Táto metóda sa používa pre nájdenie hodnoty premennej v danej funkcie, a riešenie sústavy rovníc, ako lineárne a nelineárne.
Zoberme si, ako je tento spôsob vykonávaný v roztoku lineárnych systémov.Spôsob jednoduchého iteračným algoritmu je nasledujúce:
1. Skontrolujte stav konvergencie v pôvodnej matrici.Veta konvergencie, keď počiatočná matricový systém má diagonálnu dominancie (tj, každý riadok z hlavných diagonálnych prvkov musí byť väčší čo do veľkosti, než je súčet diagonálnych prvkov strane modulu), spôsob jednoduchého iterácie - konvergentné.
2. Matica pôvodného systému nie je vždy uhlopriečka dominancie.V týchto prípadoch, môže systém previesť.Rovnice, ktoré spĺňajú konvergenčné stav je ponechaný bez zmeny, ale s neuspokojivý, aby lineárna kombinácia, tjnásobenie, odčítanie, sčítať rovníc dohromady získať požadovaný výsledok.
Ak je výsledný systém v hlavnej diagonále koeficienty sú nepohodlné, potom na obe strany tejto rovnice sa pridá hľadiska formy ci * xi, označenia, ktoré sa musí zhodovať so príznaky diagonálnych prvkov.
3. previesť výsledný systém do normálneho zobrazenia:
x- = β- + alfa * x-
To môže byť vykonané mnohými spôsobmi, napríklad: z prvej rovnice Express x1 cez iné neznáme z vtorogo- x2 ztretego- x3 atd.Zároveň používame vzorec:
αij = - (AIJ / aii)
i = bi / aii
by mala opätovne zabezpečiť, aby systém bežného typu odpovedá konvergenčnom podmienku:
å (j = 1) | αij | ≤ 1,pričom i = 1,2, ... n
4. Začiatok na použitie, v skutočnosti, spôsob postupných aproximáciou.
x (0) - počiatočné aproximácie, vyjadrujeme skrze x (1), nasledovaný x (1) expresnej x (2).Všeobecný vzorec maticové podobe vyzerá takto:
x (n) = β- + α * x (n-1)
počítať, kým nedosiahnete požadovanú presnosti:
max | xi (K) -xi (k + 1) ≤ ε
Takže, poďme sa pozrieť na prax metódy prosté iterácie.Príklad:
riešiť lineárne systémy:
4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 s presnosťou e = 10-3
Poďme sa pozrieť, či dominuje diagonálnych prvkov modulu.
Vidíme, že konvergencia stav vyhovuje iba tretiu rovnicu.Prvej a druhej previesť na prvý rovnice pridáme druhý:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
odpočítať prvá z tretej:
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
sme sa transformovali originálekvivalentný systém:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
teraz dať systém do normálneho tvaru:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Skontrolujte konvergencie iteračné proces:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, tj,podmienka je splnená.
0,3947
počiatočnej aproximácie x (0) = 0,4762
0,8511
nahraďte tieto hodnoty do rovnice normálneho tvaru, dostaneme nasledujúce hodnoty:
0,08835
x (1) = 0,486793
0, 446639
nahradiť nové hodnoty, dostaneme:
0,215243
x (2) = 0,405396
0,558336
naďalej počítať až do chvíle ešte neprišla blízke hodnotám, ktoré spĺňajú stanovené podmienky.
0,18813
x (7) = 0,441091
0,544319
0,188002
x (8) = 0,44164
0,544428
overiť správnosť výsledkov:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0,544 = 3,9977 výsledky
získané dosadením hodnoty nájdené v pôvodnej rovnice, plne uspokojiť rovnicu.
Ako môžeme vidieť, metóda prosté iterácie dáva pomerne presné výsledky, ale aj pre riešenie tejto rovnice sme museli stráviť veľa času a robiť ťažkopádne výpočty.
