v priestore rovine možno definovať rôznymi spôsobmi (o jednom bode a vektorom a vektora dvoma bodmi, troch bodov, atď).To je v tejto rovnice roviny môžu mať rôzne druhy.Rovnako za určitých podmienok rovina môže byť paralelný, kolmé, pretínajúca, atď.Na tomto a hovoriť v tomto článku.Naučíme aby celkové rovnicu roviny, a nielen to.
Normal rovnice
Predpokladajme, že je medzera R3, ktorý má obdĺžnikový súradnicového systému XYZ.Definujeme vektor α, ktoré vyjde z počiatočného bodu A. Do konca vektora alfa čerpať rovine P, ktorá je kolmá k tomu.
Nech P na ľubovoľný bod Q = (x, y, z).Polomer Vektor bodu Q podpísať list str.Dĺžka vektora alfa je rovný p = IαI a Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).
To je jednotkový vektor, ktorý je smerovaný na stranu, ako aj vektor α.α, β a γ - je uhol vytvorený medzi vektorom Ʋ a pozitívne smery osí priestoru X, Y, Z, resp.Projekcie bodu na vektora Ʋ QεP je konštanta, ktorá sa rovná p (p, Ʋ) = p (r≥0).
Navrchu rovnice dáva zmysel, keď p = 0.Jediná rovina P v tomto prípade bude pretínať bod D (α = 0), ktorá je počiatkom a jednotkový vektor Ʋ, uvoľní od bodu O bude kolmý k P, cez jeho smeru, čo znamená, že vektor Ʋ určenáup podpísať.Predchádzajúca rovnica je naša lietadlo II, vyjadrené vo vektorovej forme.Ale v súradniciach svojho druhu, aby sa tak:
P je väčší alebo rovné 0. Bolo zistené, rovnice roviny v priestore bežným spôsobom.
všeobecnej rovnice
Ak sa rovnica v súradniciach násobiť akékoľvek číslo, ktoré nie je rovné nule, dostaneme rovnicu rovnocenným s týmto, ktorý definuje samotnú rovinu.To bude mať pohľadu:
Tu A, B, C - je číslo súčasne odlišné od nuly.Táto rovnica sa nazýva rovinou rovnice všeobecnú formu.
rovnice lietadla.Osobitné prípady
rovnice v všeobecnej podobe môže byť upravený s dodatočných podmienok.Zoberme si niektoré z nich.
predpokladať, že koeficient A je rovné 0. To znamená, že rovina je rovnobežná s danou osou Ox.V tomto prípade, zmeniť formu rovnice: Vu + Cz + D = 0.
podobnú formu rovnica sa bude meniť, a to za nasledujúcich podmienok:
- Po prvé, keď B = 0, potom rovnica zmeny Ax + CZ + D = 0, ktoré by naznačovali rovnobežne s osou y.
- Po druhé, v prípade, C = 0, rovnica je transformovaný do Ax + By + D = 0, bude hovoriť o paralelnom k vopred stanovenej ose Oz.
- Po tretie, keď D = 0, rovnica by vyzerala ako ax + by + ČR = 0, čo by znamenalo, že rovina pretína O (pôvod).
- Po štvrté, ak je A = B = 0, potom rovnica zmeny CZ + D = 0, čo sa ukáže byť rovnobežne s Oxy.
- Za piate, v prípade, B = C = 0, rovnica sa Ax + D = 0, čo znamená, že rovina je rovnobežná s Oyz.
- Po šieste, pokiaľ A = C = 0, rovnica má podobu Vu + D = 0, potom bude paralelne k správe Oxz.Typ rovnice
v častiach
V prípade, kedy je počet A, B, C, D sa líši od nuly, forma rovnice (0), môže byť nasledujúce:
x / a + y / b + z / a= 1,
kde a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.
Získajte výsledok rovnice roviny v kusoch.Je potrebné poznamenať, že táto rovina bude pretínať osi Ox na súradniciach (a, 0,0), Dy - (0, b, 0) a Oz - (0,0, s).
Vzhľadom k rovnice x / a + b + y / z / c = 1, je ľahké si predstaviť umiestnenie v rovine vzhľadom k danému systému súradníc.
súradníc normálne vektor
normálový vektor n k rovine P, má súradnice, ktoré sú koeficienty všeobecné rovnice od roviny, tj n (A, B, C).
Na určenie súradníc normálne n, stačí poznať všeobecnú rovnicu danej rovine.
Pri použití rovníc v segmentoch, ktorý je v podobe x / a + y / b + z / c = 1, keď sa pri použití všeobecnej rovnice možno zapísať súradnice akéhokoľvek bežného vektora s lietadlom: (1 / a + 1 / b +1 / s).
Stojí za zmienku, že normálne vektor pomáha riešiť rôzne problémy.Najbežnejšie sú problémy, je dôkazom kolmých alebo rovnobežných rovín, úlohu nájsť uhly medzi rovinami alebo uhly medzi rovinami a liniek.
pohľad rovina rovnica podľa súradníc bodu a normálne vektora
nenulové vektora n, kolmo k danej rovine, nazývané normálne (normálne) za danej rovine.
predpokladajú, že v súradnicovom priestore (pravouhlý systém súradníc) Oxyz opýtal:
- Mₒ bod so súradnicami (hₒ, uₒ, zₒ);
- nulový vektor n = A * i + j + B C * * k.
nutné, aby rovnica roviny, ktorá prechádza bodom kolmo k normálnemu Mₒ n.V priestore
zvoliť ľubovoľný bod a nechal ju M (x Y, Z).Nech polomer vektor podľa akéhokoľvek bodu M (x, y, z) je r = x * i + y * j + z * k, a polomer vektor bodu Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j + zₒ * k.Bod M patrí k danej rovine, v prípade, že vektor je kolmý k vektora MₒM n.Píšeme ortogonality podmienku pomocou skalárna produktu:
[MₒM, n] = 0.
Od roku MₒM = r-rₒ, bude vektor rovnice roviny vyzerať takto:
[R - rₒ, n] = 0.
Táto rovnica môže mať iný tvar.Pre tento účel, vlastnosti skalárneho súčinu a transformovaného ľavej strane rovnice.[r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Ak je [rₒ, n], označený ako s, dostaneme nasledujúce rovnice: [R, N] - C = 0 alebo [r, n] = S, ktorý vyjadruje súlad výstupky na normálny vektora polomere-vektoroch danými body, ktoré patria k rovine.
Teraz môžete získať ten typ záznamu koordinovať naše lietadlo vektor rovnice [R - rₒ, n] = 0. Pretože r-rₒ = (x-hₒ) * I + (y-uₒ) * J + (z-zₒ) * ka n = A * i + j + B C * * k, máme:
Ukázalo sa, že je vytvorený v našej rovnice roviny prechádzajúcej bodom kolmo k normálnemu n:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.
Typ roviny rovnice podľa súradníc dvoch bodoch a vektor kolineárne rovine
definovať dva body, M '(x', y ', z') a M '(x ", y", z "), rovnako ako Vektor(A ', A "a' '').
Teraz môžeme porovnávať s lietadlom, ktorý sa bude konať v rámci existujúcich bodov M 'a M ", ako aj akýkoľvek bod M so súradnicami (x, y, z) rovnobežne k danému vektora.
Tento M'M vektorov {x, x ', y, y'; zz '} a M "M = {x" -x', y 'y', z "-Z" by mal byť v jednej rovine}vektor A = (A ', A ", je' ''), a že prostriedky (M'M, M" M, a) = 0.
Takže naše rovnice lietadla v priestore by vyzerať takto:
typ rovnice roviny pretínajúce tri body
Predpokladajme, že máme tri body (x ', y', z '), (x', y", z"), (x '' '' '' Have, z '' '), ktoré nepatria k rovnakej linke.Je nutné uviesť rovnicu rovine prechádzajúcej uvedenými tromi bodmi.Teórie geometrie argumentuje, že tento druh lietadla existuje, je to len jeden a jediný.Vzhľadom k tomu, táto rovina pretína v bode (x ', y', z '), forma jeho rovnica je nasledujúca:
Tu A, B, a C sa líši od nuly v rovnakom čase.Aj vzhľadom k tomu, rovina pretína tieto dva body (x ', y', z ') a (x' '' '' 'Have, z' '').V by malo byť toto spojenie vykonané tento druh podmienok:
Teraz môžeme vytvoriť jednotný systém rovníc (lineárnych) s neznámymi u, v, w:
v našom prípade, x, y, alebo z vyzerá ľubovoľný bod, ktorý zodpovedáRovnica (1).Vzhľadom k tomu, rovnice (1) a sústavy rovníc (2) a (3), systém rovníc je znázornené na obrázku vyššie, vektor spĺňa N (A, B, C), ktorý je netriviálne.To preto, že determinant systému je nulová.
rovnice (1), ktoré máme, to je rovnica roviny.Po 3 bodu naozaj ide, a to je ľahko kontrolovateľná.K tomu sme sa rozkladajú determinant prvkov nachádzajúcich sa v prvom rade.Existujúcich vlastností determinant to znamená, že naše lietadlo súčasne tri kríže spočiatku uvedené body (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x '' 'Have' '', z '' ').Tak sme sa rozhodli dať pred nami.
vzopätie uhol medzi rovinami
vzopätie uhol je priestorový geometrický tvar tvorený dvoma polrovine, ktoré pochádzajú z rovnakej linky.Inými slovami, táto časť priestoru, ktorý je obmedzený na polroviny.
Predpokladajme, že máme dve roviny s nasledujúcimi rovnicami:
Vieme, že vektory N = (A, B, C) a N¹ = (A¹, V¹, s¹) podľa sady kolmých rovinách.V tomto ohľade, je uhol φ medzi vektorov N a N¹ rovnoramenné (vzopätie), ktorá sa nachádza medzi týmito rovinami.Skalárny súčin je daný:
NN¹ = | N || N¹ | cos,
práve preto, že
cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (² + V²s² +)) * (√ (A¹) ² + (V¹) ² + (s¹) ²)).
je dosť za to, že 0≤φ≤π.
vlastne dve lietadlá, ktoré pretínajú tvoriť dvoch uhlov (dihedrální): φ1 a φ2.Suma sa rovná ich π (φ1 + φ2 = π).Pokiaľ ide o ich cosines, ich absolútne hodnoty sú rovnaké, ale sú rôzne príznaky, to je, cos φ1 = -cos φ2.Ak sa v rovnici (0) nahrádza A, B a C -A, -B a -C respektíve rovnice získame, určí v rovnakej rovine, ale iba uhol φ v rovnici cos = NN1 / | N|| N1 | bude nahradená hodnotou pí-cp.
rovnice kolmo k rovine kolmej k
nazýva rovinu, medzi ktorými je uhol je 90 stupňov.Použitie materiálu je uvedené vyššie, môžeme nájsť rovnicu rovine kolmej na druhú.Predpokladajme, že máme dve roviny: Ax + By + Cz + d = 0 a A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.Dá sa povedať, že sú kolmé vtedy cosφ = 0.To znamená, že AA¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.
rovnica paralelné rovina
Paralelné volal dve roviny, ktoré neobsahujú spoločné body.
stav rovnobežných rovín (ich rovnice sú rovnaké ako v predchádzajúcom odseku), je to, že vektory N a N¹, ktoré k nim kolmé, kolineárne.To znamená, že tieto podmienky proporcionality:
A / A¹ = V / V¹ = C / s¹.
Ak sú rozšírené podmienky proporcionality - A / A¹ = V / V¹ = C / s¹ = DD¹,
znamená to, že dátové rovine rovnaké.To znamená, že rovnica Ax + By + CZ + D = 0 a + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 popisujú jednu rovinu.
vzdialenosť k rovine od bodu
Predpokladajme, že máme rovine P, ktorá je daná rovnicou (0).Je potrebné nájsť jej vzdialenosť od bodu so súradnicami (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.K tomu je potrebné uviesť rovnicu roviny P v normálnom tvare:
(ρ, v) = p (r≥0).
V tomto prípade, ρ (x, y, z) je polomer vektor nášho bodu Q, ktorý sa nachádza na n, P - je kolmá vzdialenosť P, ktorý bol prepustený z nulového bodu, v - je jednotkový vektor, ktorý sa nachádza v smere,
rozdiel ρ-ρº polomer vektor z bodu Q = (x, y, z), vo vlastníctve P a polomer vektor príslušného bodu Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) je taký vektor, je absolútna hodnotaktorého projekcia tým, V. rovná vzdialenosť d, ktoré je nutné nájsť od Q0 = (x ₒ, majú ₒ, z ₒ) až P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, ale
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = P (ρ0, v).
Ukazuje sa,
d = | (ρ0, v) p |.
teraz videný vypočítať vzdialenosť d od Q0 k rovine P, musíte použiť normálne formu rovnice roviny, posun k ľavej strane rieky, a posledné miesto x, y, z Náhradník (hₒ, uₒ, zₒ).
Preto sme nájsť absolútnu hodnotu výsledného výrazu, ktorý je požadovaný d.
Pomocou nastavenia jazyka, získame jasnú:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (² + V² + s?).
Ak daný bod Q0 je na druhej strane od roviny P, ako pôvod, medzi vektora pM-ρ0 a v je tupý uhol, tak:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) -p & gt; 0.
V prípade, že sa bod Q0, pôvod sa nachádza na rovnakej strane U, vytvorený uhol je ostrý, že je:
d = (ρ-ρ0, v) = p - (ρ0, v) & gt;0.
Výsledkom je, že v prvom prípade (ρ0, v) & gt; p, druhá (ρ0, v) & lt; p.
tangenciálna rovina a jeho rovnice
Pokiaľ ide o lietadlo k povrchu v mieste kontaktu mô - lietadlo obsahujúce všetky možné tangentu k krivkou vedenou cez tohto bodu na povrchu.
V tomto type rovnice povrchovej F (x, y, z) = 0 rovnica dotýkajúcej roviny v točným bodom mô (hº, uº, zº) bude vyzerať takto:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.
Ak zadáte výslovne povrch z = f (x, y), dotyková rovina je popísaná rovnicou:
z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y- uº).
prienik dvoch rovín
v trojrozmernom priestore je systém súradníc (obdĺžnikový) Oxyz, vzhľadom k tomu, dve roviny P 'a P ", ktoré sa prekrývajú a nie sú rovnaké.Vzhľadom k tomu, akejkoľvek rovine, ktorá je v pravouhlom súradnicovom systéme je definovaná všeobecnou rovnicou, predpokladáme, že n 'a n "sú dané rovnicami A'x + + V'u S'z + D' = 0 a A" x + B "+ y"D + z" = 0.V tomto prípade máme normálny n '(A', B ', C') a rovinou P "a normálne n '(A', B ', C') v rovine P".Ako naše lietadlo nie sú rovnobežné a nesplývajú, tieto vektory nie sú kolineárne.Použitie jazyka matematiky, musíme tento stav môže byť zapísaný ako: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * V ", λ * C"), λεR.Nechajte priamku, ktorá leží na križovatke P 'a P ", bude označená písmenom A, v tomto prípade = n' ∩ P".
a - to je priame, pozostávajúci z množiny bodov (celkovo) lietadlá P 'a P ".To znamená, že sa súradnice akomkoľvek mieste, ktoré patria k linke, a musia spĺňať súčasne rovnicu A'x + + V'u S'z + D '= 0 a A "x + B + C" y "z + D" = 0.Potom budú súradnice bodu byť konkrétne riešenia týchto rovníc:
Výsledkom je to, že rozhodnutie (General) systému rovníc určí súradnice každého bodu čiary, ktorý bude priesečníkom P 'a P "a stanoviť priamu av Oxyz (obdĺžnikový) priestor systém súradníc.
