Fourierserier - en representation av en godtyckligt vald funktion till en viss period i rad.I allmänna termer, avses beslutet att expansionselementet av ortogonal bas.Expansionen av funktioner i Fourier-serien är ett ganska kraftfullt verktyg för att lösa olika problem på grund av egenskaperna hos omvandlingen i integrationen, differentiering, och skiftargument uttryck och faltning.
person som inte är bekant med högre matematik, samt med arbetet av den franska vetenskapsmannen Fourier sannolikt kommer inte att förstå vad "leden" och vad de gör.Ändå denna omvandling är ganska tätt kommit in i våra liv.Det används inte bara matematik, utan även fysiker, kemister, läkare, astronomer, seismologer, oceanografer och andra.Låt oss också ta en närmare titt med verk av den store franske vetenskapsmannen som gjort upptäckten, före sin tid.
Man och Fouriertransformen
Fourierserie är en av metoderna (tillsammans med analys och annat) av Fourier-transformen.Denna process sker varje gång en person hör ett ljud.Våra öron omvandlar automatiskt ljudvågen.Vibrations rörelse elementarpartiklar i ett elastiskt medium är anordnade i serie (i spektrumet) successiva värden av volymnivån för tonerna av olika platser.Därefter omvandlar hjärnan data till ljud är bekanta för oss.Allt detta kommer i tillägg till vår vilja eller medvetandet självt, men för att förstå dessa processer kommer att ta flera år att studera högre matematik.
Mer om Fouriertransformen
Fouriertransformen kan utföras analytiska, siffror och andra metoder.Fourier serien är siffran process för sönderdelning eventuella oscillerande processer - från havets tidvatten och vågor av ljus sol cykler (och andra astronomiska objekt) aktivitet.Med hjälp av dessa matematiska metoder kan isär funktioner som representerar några oscillerande processer i ett antal sinusformade komponenter som går från lägsta till högsta och tillbaka.Fouriertransformen är en funktion som beskriver fasen och amplituden hos sinuskurvor som motsvarar en viss frekvens.Detta förfarande kan användas för att ta itu med de mycket komplexa ekvationer som beskriver de dynamiska processer som sker under inverkan av värme, ljus eller elektrisk energi.Även Fourierserien kan du markera de ständiga komponenter i komplexa vågformer, som gör det möjligt att korrekt tolka experimentella observationer inom medicin, kemi och astronomi.
Bakgrund
grundaren av denna teori är den franske matematikern Joseph Fourier.Hans namn därefter kallades denna omvandling.Inledningsvis forskarna använt en teknik för att studera och förklara mekanismerna för värmeledning - värme utbredning i fasta material.Fourier antas att den ursprungliga distributionen av oregelbunden värmeböljan kan delas upp i enkla sinuskurva, som var och en kommer att ha ett lägsta och högsta temperatur samt dess fas.Således varje sådan komponent som ska mätas från lägsta till högsta och vice versa.Den matematiska funktionen som beskriver de övre och nedre topparna av kurvan, och fasen hos varje överton, som kallas Fouriertransformen av uttrycket av temperaturfördelningen.Författaren av teorin om reducerad total fördelningsfunktionen, vilket är svårt att matematisk beskrivning, på ett mycket enkelt att hantera ett antal periodiska funktioner av sinus och cosinus, vilket ger en total av den ursprungliga fördelningen.
principen om konvertering och synpunkter från samtida
samtida vetenskapsman - ledande matematiker början av artonhundratalet - inte acceptera denna teori.Den huvudsakliga invändningen var godkännandet av Fourier att bryta funktion som beskriver en rak linje eller kurva rivs, det kan representeras som en summa av sinus uttryck som är kontinuerliga.Som ett exempel, anser att "steg" Heaviside: dess värde är noll till vänster om gapet och rätt enhet.Denna funktion beskriver beroendet av elektrisk ström från den tillfälliga variabel för stängningen av kretsen.Samtida teori på den tiden, hade aldrig stött på en sådan situation, när en diskontinuerlig uttryck beskriver en kombination av kontinuerliga, normala funktioner, såsom exponentiell, sinus, fyrkant eller linjär.
som förvirrar de franska matematiker i teorin om Fourier?
Trots allt, om en matematiker var korrekt i sina påståenden, då summera en oändlig trigonometriska Fourierserier, du kan få en korrekt återgivning av steget yttrandefrihet, även om det har många liknande åtgärder.I början av artonhundratalet, verkade detta uttalande absurd.Men trots alla tvivel, har många matematiker utökat omfattningen av studien av detta fenomen, flytta den utanför forskarvärmeledningsförmåga.Men de flesta forskare fortsatte att lida frågan: "Kan summan av sinus serien konvergerar till det exakta värdet av diskontinuerliga funktionen"
Konvergens av Fourierserier: exemplet
frågan om konvergens höjs vid behov summering av oändlig serie tal.För att förstå detta fenomen, anser det klassiska exemplet.Kan du någonsin når väggen när varje steg kommer att vara hälften av det tidigare?Anta att du är två meter från målet, det första steget närmare till omkring halvvägs, nästa - till samma nivå som tre fjärdedelar, och efter den femte du övervinna nästan 97 procent av vägen.Men oavsett hur många steg du gör, det avsedda målet når du i strikt matematisk mening.Med hjälp av numeriska beräkningar, kan vi bevisa att i slutändan kan närma sig på ett godtyckligt liten givet avstånd.Detta motsvarar ett bevis som visar att det totala värdet av en halv, en fjärdedel, och så vidare. E. tenderar till enhet.
fråga om konvergens: den andra ankomsten, eller Device Lord Kelvin
återigen frågan uppstod i slutet av artonhundratalet, när Fourier försökte använda för att förutsäga intensiteten av ebb och flod.Vid den tiden var Lord Kelvin uppfunna anordningen är en analog beräkningsanordning, som tillåter sjömän militära och handelsflottan att spåra detta naturliga fenomen.Denna mekanism definierar en uppsättning faser och amplituder i tabellen höjden av tidvatten och motsvarande tids stunder, noggrant mätt i hamnen under året.Varje parameter är en sinusformad komponent våg av uttrycket är en av de vanliga komponenterna.Mätresultaten inmatas till beräkningsanordningen Lord Kelvin, syntes kurva, som förutsäger höjden av vatten som funktion av tiden för nästa år.Mycket snart dessa kurvor gjordes för alla hamnar i världen.
Och om processen kommer att brytas diskontinuerlig funktion?
Vid den tiden verkade det uppenbart att anordningen förutspår en flodvåg, med massor av element konton kan beräkna ett stort antal faser och amplituder, och därmed ge en mer exakt förutsägelse.Dock visade det sig att detta mönster inte observerats i fall där tidvatten uttryck som ska syntetiseras, innehöll en skarp hopp, det vill säga det är diskontinuerligt.I så fall, om data matas in i enheten från en tabell med tidpunkter, beräknar några Fourierkoefficienterna.Den ursprungliga funktionen återställs tack vare den sinusformade komponenten (i enlighet med de funna koefficienter).Skillnaden mellan den ursprungliga och den rekonstruerade uttryck kan mätas när som helst.Under upprepad beräkning och jämförelse visar att värdet på den största felet minskas.De är dock lokaliserade i den region som motsvarar den punkt på brott, och alla andra punkter går mot noll.År 1899, var detta resultatet bekräftades teoretiskt Joshua Willard Gibbs vid Yale University.
Konvergens av Fourierserier och utveckling av matematik i allmänhet
Fourieranalys gäller inte uttryck som innehåller ett oändligt antal skurar vid ett visst intervall.I allmänhet Fourierserier, om den ursprungliga funktionen att presentera resultaten av den faktiska fysiska mätningen alltid konvergera.Frågor om konvergensen av processen för specifika klasser av funktioner har lett till nya grenar av matematiken, såsom teorin om generaliserade funktioner.Det är förenat med sådana namn som L. Schwartz, J .. Mikusiński och J. Temple.Inom ramen för denna teori etablerades klar och tydlig teoretisk grund för sådana uttryck som deltafunktion Dirac (som beskriver regionen enhetligt område, koncentreras i en oändligt närheten av punkten) och "steg" Heaviside.Genom detta arbete Fourierserier blev användbar för att lösa ekvationer och problem där siffran är intuitivt: en punkt avgift, punkt massa, magnetiska dipoler, och den koncentrerade lasten på balken.
Fourierförfarandet
Fourierserie, i enlighet med principerna för interferens, börjar med sönderdelningen av komplexa former till enklare.Exempelvis kan en förändring i värmeflödet på grund av dess passage genom de olika hindren av isolermaterial med oregelbunden form, eller en förändring i jordens yta - en jordbävning, en förändring i omloppsbana av en himlakropp - inverkan av planeterna.Normalt är dessa ekvationer som beskriver enkla klassiska system elementär löst för varje omgång.Fourier visade att enkla lösningar kan sammanfattas som för mer komplexa uppgifter.I språket av matematik, Fourierserien - en metod för inlämning av expressionsmängden av övertoner - cosinus och sinusvågor.Därför är denna analys även känd som "harmonisk analys."
Fourier Series - en idealisk metod för att den "dataåldern»
Före skapandet av datorteknik Fourier teknik är det bästa vapnet i den arsenal av forskare som arbetar med den våg natur av vår värld.Fourierserier i komplex form kan du inte bara lösa enkla problem som lämpar sig för direkt tillämpning av Newtons lagar mekanik, utan också de grundläggande ekvationer.De flesta av de upptäckter av artonhundratalet newtonska vetenskapen blev möjlig först tack vare Fourier metoden.
Fourierserie idag
Med utvecklingen av datorer Fourier stigit till en kvalitativt ny nivå.Denna teknik är fast förankrade i nästan alla områden inom vetenskap och teknik.Som ett exempel kan en digital ljud- och videosignal.Genomförandet har möjliggjorts endast tack vare teorin utvecklats av franska matematiker i början av artonhundratalet.Sålunda har Fourierserien i komplex form tillåtet att göra ett genombrott i studiet av yttre rymden.Dessutom har det påverkat studiet av fysik halvledare och plasma, mikrovågsugn akustik, oceanografi, radar, seismologi.
trigonometriska Fourierserien
I matematik är Fourierserien ett sätt att representera godtyckliga komplexa funktioner som en summa av enklare.I vanliga fall kan antalet sådana uttryck vara oändlig.Ju fler beaktas vid beräkningen, desto mer exakt blir slutresultatet erhålls.Den vanligaste användningen av enkla trigonometriska funktioner cosinus och sinus.I detta fall är Fourier serie som heter trigonometriska, och beslutet av sådana uttryck - harmonisk nedbrytning.Denna metod har en viktig roll i matematik.Först av allt, ger en trigonometriska serier ett organ för bilden och inlärningsfunktionen, är det huvudenheten av teorin.Dessutom gör det oss att lösa ett antal problem i matematisk fysik.Slutligen har denna teori bidragit till utvecklingen för matematisk analys gav upphov till ett antal mycket viktiga grenar av matematiken (gral teori, teorin för periodiska funktioner).Dessutom utgångspunkten för utvecklingen av följande teorier: uppsättningar, funktioner av en reell variabel, funktionsanalys, och markerade början på harmonisk analys.
